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2025年九年级毕业会考试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
2．传统竹编工艺有着悠久的历史和文化内涵，凝结着中华民族的智慧结晶．如图，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列竹工艺品的形状最为近似的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．2024年8月20日《黑神话：语空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．从河南省省文旅厅获悉，2024年国庆假期，河南省44个重点监测景区累计接待游客7991.6万人次，数据7991.6万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则∠3的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
6．为了备战中考，某校九年级全体学生开展了体育加试模拟测试（满分70分），细心的小明统计了本班36名同学的成绩，如下表所示：
成绩/分 70 68 66 65 63 61 60 58 57 55 53 42
人数/人 3 6 5 5 4 7 1 1 1 1 1 1
关于成绩这组数据，下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的众数为68 B．该组数据中前5名的方差大于最后5名的方差
C．该组数据的平均数是65.25 D．该组数据的中位数是65
7．如图，已知在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A（0，3），B（3，0），．函数的图象经过点C，则AC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．π
9．如图，△ABC是等边三角形，，，垂足为点D，点P从点B出发，沿的路径运动，运动到点A停止，过点P作交边AB于点E，过点P作交边AC于点F，设点P运动的路程为x，四边形AEPF的面积为y，则能正确反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A、C的坐标分别为（1，1），（0，2），将风车绕点O逆时针旋转，每次旋转30°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（-3，1） B．（3，-1） C．（1，-3） D．（-1，-3）
二、填空题（每题3分，共15分）
11．因式分解：________．
12．定义一种新运算：对于任意非零实数a，b，满足．若，则x的值为________．
13．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作，交CD于点N．若四边形MOND的面积是7，则AB的长为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为A（-6，8），B（-4，0）．以原点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的一半，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________．
15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（6，0），C（0，8），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿CO向点O运动．过点B作于点D．
（1）当时，点P的坐标为________．
（2）当BD的值最大时，点D的坐标为________．
三、解答题（共8题，共75分）
16．（8分）（1）计算：；
（2）解不等式组．
17．（9分）如图，在等腰△ABC中，，BO平分∠ABC，过点A作交BO的延长线于D，连接CD，过点D作交BC的延长线于E．
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若，，求DE的长．
18．（9分）某市教育局在全市中小学中选取了56所学校进行了课外学习调查．评价小组在选取的某中学九年级全体学生中随机抽取了若干名学生家长进行了问卷调查，了解他们的孩子每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生家长人数是________，扇形统计图中的圆心角α等于________；
（2）补全统计直方图；
（3）被抽取家长的孩子还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小创、小意两名学生被分到同一个小组．请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率（共五个道次）．
19．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点C、点D为⊙O上异于A、B的两点，连接CD，过点C作，交DB的延长线于点E，连接AC、AD．
（1）若，求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，，求AC的长．
20．（9分）某企业准备将购买的100t蔬菜运往某市，现有甲、乙两种货车可以租用，已知2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运44t蔬菜；3辆甲种货车和2辆乙种货车一次可运46t蔬菜．
（1）每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运多少吨蔬菜？
（2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用甲、乙两种货车12辆，设租用甲种货车a辆．求租车总费用w（单位：元）与a之间的函数关系式，并求出自变量a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计出费用最少的方案，并求出最少的租车费用．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O为坐标原点，顶点A、C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为，点C的纵坐标为，点B的坐标为（a，a）．
（1）利用无刻度的直尺，在反比例函数的图象上作出点D，使（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）求k的值；
（3）直接写出a的值．
22．（10分）小亮类比实际生活中的现象，在电脑上设计了一个动画，这个动画是一个装有水的瓶子（如图1）倾斜，倒水．该水瓶是轴对称图形，两轮廓线AB、DC在同一条抛物线上，水瓶最上侧，瓶底，且，AD、BC相距12.5cm．以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
（1）求两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式；
（2）如图（1），水瓶内水的高度为4.4cm，求水面宽EF的长；
（3）将水倒出一部分后，倾斜水瓶，水面恰好经过点B，且与BC成45°角，如图（2）所示，求此时水面的宽度BG．（结果精确到1cm，参考数据：）
23．（11分）【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，E是AC的一个三等分点，且．连接AD，BE交于点G，则________；________．
【尝试应用】
（2）如图2，在△ABC中，E为AC上一点，，，若，，，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在中，F为BC上一点，E为CD中点，BE与AC，AF分别交于点G，M，若，，，，求AM的长．
2025年九年级毕业会考试卷数学参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 9．D 10．B
二、填空题
11．3a（1-2y）（1＋2y） 12．x＝3 13． 14．（-3，4）或（3，-4） 15．（1）（6，3） （2）（3，4）
三、解答题
16．解：（1）原式
（2） 解不等式①，得：x＞-1 解不等式②，得：x≤4
所以-1＜x≤4
17．解：（1）四边形ABCD是菱形，理由：∵AB＝BC BO平分∠ABC
∴AO＝CO ∵AD∥BE ∴∠DAO＝∠ACB ∠ADO＝∠CBO
∴△ADO≌△CBO（AAS） ∴DO＝BO
∴四边形ABCD是平行四边形 ∵AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形
（2）∵BO平分∠ABC ∠ABE＝120° ∴∠DBC＝∠ABE＝60°
∵四边形ABCD是菱形 ∴BC＝CD＝AB＝6 ∴△BCD是等边三角形
∴BD＝BC＝6 ∵BD⊥DE ∴∠BDE＝90° ∴∠E＝90°-∠DBC＝30°
∴BE＝2BD＝12 ∴
∴DE的长为
18．解：（1）本次抽取的学生家长人数为：6÷20％＝30（人）
扇形统计图中的圆心角
故答案为30，144°
（2）30-3-7-6-2＝12（人）
补全统计图如图所示：
（3）根据题意列表如下：
设竖列为小创抽取的跑道，横排为小意抽取的跑道，
小创 小意 1 2 3 4 5
1 （2，1） （3，1） （4，1） （5，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2） （5，2）
3 （1，3） （2，3） （4，3） （5，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （5，4）
5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5）
共有20个等可能得结果，小创、小意在抽道次时抽在相邻两道的结果有8个，
记小创和小意抽在相邻两道为事件A，
∴
19．解：（1）连接OC
∵OC＝OA ∠OCA＝∠OAC ∴∠COB＝2∠OAC
∵∠BDC＝∠OAC ∠ABD＝2∠BDC ∴∠COB＝∠ABD ∴OC∥DE
∵CE⊥DB ∴∠CED＝90°
∴∠OCE＝90° ∴OC⊥CE
∴CE是⊙O的切线
（2）连接BC ∵∠BDC＝∠BAC ∴tan∠BAC＝tan∠BDC＝
∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90° ∴
设BC＝x，AC＝3x， ∴，
∵⊙O的半径为
∴x＝4，∴AC＝3x＝12
20：解：（1）设每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运x t和y t蔬菜
根据题意得，解得
答：每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能运10t和8t蔬菜
（2）根据题意得w＝500a＋450（12-a）＝50a＋5400
因为10a＋8（12-a）≥100，所以a≥2
又a≤12，所以自变量a的取值范围是2≤a≤12，且a为整数
（3）由（2）知w＝50a＋5400
因为50＞0，所以w随a的增大而增大
所以当a＝2时，w最小值＝50×2＋5400＝5500
此时12-a＝10
费用最少的方案为：租用2辆甲种货车，10辆乙种货车，最少的租车费用为5500元
21．解：（1）如图（1），点D即为所求（答案不唯一）
解法提示：根据反比例函数的图象，直线AD均是关于点O的中心对称图形
∴点D，A关于点O对称 ∴OD＝OA
又∵OA∥BC ∴S△OBD＝S△OAB＝S菱形OABC
（2）如图（2），过点C作CE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F，则
∵四边形OABC是菱形 ∴∠AOB＝∠COB OA＝OC ∵B（a，a）
∴点B在∠FOE的平分线上 ∴∠FOB＝∠EOB ∴∠AOF＝∠COE
又∵∠AFO＝∠CEO ∴△OAF≌△OCE ∴
∴A（，） 将A（，）代入，得k＝-9
（3）a的值为 解法提示：易得C（，）
如图（2），连接AC交OB于点P，则PO＝PB，PA＝PC
∴xA＋xC＝2xP＝xO＋xB ∴ ∴
22．解：（1）由题意可知，该抛物线的对称轴为y轴，故设抛物线的表达式为y＝ax2＋b
由题意可知，D（3，12.5），C（2，0）
分别代入y＝ax2＋b，得，解得
故两轮廓线AB、DC所在抛物线的表达式为y＝2.5x2-10
（2）4.8
解法提示：令y＝4.4，得2.5x2-10＝4.4，解得x1＝2.4，x2＝-2.4
∴点E，F的横坐标分别为-2.4，2.4
∴EF＝4.8cm
（3）如图，∵∠GBC＝45° ∴可设直线BG的表达式为y＝x＋h
将B（-2，0）代入，得0＝-2＋h，解得h＝2
∴直线BG的表达式为y＝x＋2
令x＋2＝2.5x2-10，解得x1＝-2，x2＝2.4
∴xG＝2.4 ∴yG＝4.4
过点G作GH⊥x轴于点H，则GH＝4.4cm
∴
故此时水面的宽度BG约为6cm
23．解：（1）如图1，作交BE于H
则∠EAG＝∠HDG ∠AEG＝∠DHG
∵D是BC的中点 ∴BD＝CD ∴
∴BH＝EH ∴DH＝CE
∵E是AC的一个三等分点，且CE＝AC ∴AE＝CE
∴AE＝DH ∴△AGE≌△DGH（ASA） ∴AG＝GD GE＝GH
∴AG︰GD＝1︰1 ∵BH＝EH＝2GE ∴BG＝BH＋GH＝2GE＋GE＝3GE
∴BG︰GE＝3︰1，故答案为1︰1，3︰1
（2）设BE交AD于点L，作EF∥AD交BC于点F
∵CE＝1 AE＝3 ∴AB＝AE＝3 CA＝CE＋AE＝4
∴FD＝3CF ∵AD⊥BE于点L
∴∠ALB＝∠ALE＝90° ∵AL＝AL
∴Rt△ALB≌Rt△ALE（HL） ∴BL＝EL ∠BAD＝∠CAD
∴ ∴BD＝FD＝3CF ∵∠BAD＝∠C ∴∠CAD＝∠C
∴∠CEF＝∠CAD＝∠C ∴EF＝CF ∵△CEF～△CAD ∴
∵∠BAD＝∠C ∠DBA＝∠ABC ∴△DBA～△ABC ∴
∴BD·BC＝AB2＝32＝9 设CF＝m，则BD＝3m，BC＝7m
∴3m×7m＝9 ∴解得，（不符合题意，舍去）
∴AD＝4EF＝4CF＝4m＝ ∴AD的长为
（3）如图3，作MN∥BC交CG于点N，设NG＝n
∵BM＝2MG ∴ ∴CN＝2NG＝2n
∵AB＝AG ∴∠ABG＝∠AGB
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴CD∥AB
∴∠CEG＝∠ABG＝∠AGB＝∠CGE ∵E为CD中点
∴DE＝CE＝CG＝CN＋NG＝2n＋n＝3n ∴AB＝AG＝CD＝DE＋CE＝3n＋3n＝6n
∴AN＝AG＋NG＝6n＋n＝7n AC＝AG＋CG＝6n＋3n＝9n
∵∠BAF＝∠DAC ∠BCA＝∠DAC ∴∠BAF＝∠BCA ∵∠FBA＝∠ABC
∴△FBA～△ABC ∴ ∴
∵ ∴
∴AM的长为

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