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菏泽市2024-2025学年高二下学期阶段性复习检测试题
一、单选题
1．随机变量X服从两点分布，且，，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（ ）
A．事件A发生的概率
B．事件B发生的概率
C．事件B不发生条件下事件A发生的概率
D．事件A、B同时发生的概率
3．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
4．袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（ ）
A． B． C． D．
5．设，随机变量的分布列,如下,则当在内增大时（ ）
1 2 A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．增大 D．减小
6．某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ）
A．630种 B．360种 C．240种 D．180种
7．如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某商场在五一节开展促销抽奖活动，用编号分别为的三个箱子装了一定数量的红球和白球，总数之比为，三个箱子中白球所占的比例分别为，，，顾客从这三个箱子中任意摸取1球，取到红球获奖．记事件“此球来自编号为的箱子”，事件“顾客获奖”，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则
D．若，则一定是函数的极值点
11．已知，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，则 .
13．袋中装有5个相同的红球和2个相同的黑球，每次从中抽出1个球，抽取3次按不放回抽取，得到红球个数记为X，得到黑球的个数记为Y；按放回抽取，得到红球的个数记为.下列结论中正确的是 .①；②；③；④.
14．，且恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题
15．假定某射手每次射击命中的概率为，且只有3发子弹．该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X，求：
（1）目标被击中的概率；
（2）X的概率分布列；
（3）均值，方差D（X）．
16．一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球2个，黑球3个，白球5个．
从中1次随机摸出2个球，求2个球颜色相同的概率；
从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望；
每次从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续取3次，求取到红球的次数大于取到白球的次数的概率．
17．在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这四场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率都相等．已知这四场比赛结束后，该班胜场多于负场．
（1）求该班胜场多于负场的所有可能情况的种数；
（2）若胜场次数为，求的分布列．
18．某公司举办公司员工联欢晩会，为活跃气氛，计划举行摸奖活动，有两种方案：
方案一：不放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元：
方案二：有放回从装有个红球和个白球的箱子中随机摸出个球，每摸出一红球奖励元，分别用随机变量、表示某员工按方案一和方案二抽奖的获奖金额.
(1)求随机变量的分布列和数学期望：
(2)用统计知识分析，为使公司员工获奖金额相对均衡，应选择哪种方案 请说明理由.
19．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设函数，若恒成立，求的最大值；
(3)已知，证明：.
山东省菏泽市高二下学期阶段性复习试题
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B A B C D BCD BC
题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以.
.
整理得，解得，.
当时，，；
当时，，故不合题意.
综上，可得.
故选：A.
2．A
【分析】理解条件概率和的含义，可得阴影部分面积表示的含义.
【详解】由题意可知：
表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率，结合在一块就是事件A发生的概率.
故选：A.
3．C
【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可.
【详解】由题设，
所以.
故选：C
4．B
【分析】“放回4个球”也即是第5次抽取到了红球，由此求得的值.
【详解】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.
故选：B.
5．A
【分析】根据方差的计算公式得到关于的二次函数，结合二次函数的单调性进行判断即可.
【详解】根据题意，，
方差，
该二次函数的对称轴为，开口向上，
所以当在内增大时，先减小后增大.
故选：A.
6．B
【分析】分物理学科2人参会，3人参会和4人参会进行求解.
【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会，
有种，
物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会，
有种，
物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会，
有种，
所以共有种不同的参会方案.
故选：B
7．C
【详解】设，则，再根据二项分布的概率公式及期望方差公式逐一分析即可．
【分析】设，依题意，，
对于A选项，，A对；
对于B选项，，
则，
所以，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，，D对.
故选：C.
8．D
【分析】先写出所求式子的通项，再利用组合数的定义化简通项，从而将原式化为奇数项的二项式系数之和，由二项式定理和赋值法即可求出其值.
【详解】注意到原式中每一项都可以写成，
由组合数的定义可得，
所以原式，
由二项式定理可知，
，
两式相加再除以2可得，
所以原式.
故选：D.
9．BCD
【分析】利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯概率公式进行求解即可．
【详解】对于A，由题意可知，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，
，故D正确；
故选：BCD．
10．BC
【分析】根据求导公式，导数的定义，极值点概念分别对选项进行分析.
【详解】对于选项A：对于，其导数为，而不是，所以选项A错误.
对于选项B：先将化简，.
对求导可得.
将代入可得：，所以选项B正确.
对于选项C：根据导数的定义,.
对求导，根据复合函数求导公式，则.
将代入可得.
所以，选项C正确.
对于选项D：若，不一定是函数的极值点.
例如函数，对其求导可得，令，即，解得.
当和时，，函数在上单调递增，所以不是函数的极值点，选项D错误.
故选：BC.
11．ACD
【详解】由题意知，且，，即，
令，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，，
结合，，即，知，A正确；
令，
，
由于，则，故，
即，故在单调递增，则，
故，结合可得，
由于，故，即，B错误；
先证明不等式，
设，则即，
即证；
设，则，
由于，但等号取不到，
故，则，则在上单调递增，
故，即成立，即成立，
对于两边取自然对数，得，
即，则，
故，则，C正确；
设，则，
当时，，即在上单调递增，
故，则，D正确，
故选：ACD
12．
【分析】根据二项式定理，，推导出，由，能求出．
【详解】解：，
，
，
由，解．
故答案为2．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查组合数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13．①③④
【分析】根据不放回抽取，确定红球个数的可能取值以及黑球个数为的可能取值，求出每个值对应的概率，即可求得，的期望和方差，判断①，②；按放回抽取，可知，求出其期望和方差，即可判断③，④.
【详解】由题意抽取3次按不放回抽取，可得红球个数的可能取值为，黑球个数Y的可能取值为，
则，
，
，
，
由，可得，，，
故，
所以，故①正确；
，
，所以，故②错误；
抽取3次按放回抽取，每次抽取到红球的概率为，得到红球的个数记为，则，
所以，，
所以，，故③④正确.
故答案为：①③④.
14．
【分析】先根据题意把原不等式转化为恒成立，构造函数，利用导数判断出单增，得到. 记.利用导数求出，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为关于的不等式恒成立，即为恒成立，
可化为，
即为，
亦即：，
构造，
所以原不等式转化为：.
因为，所以在上单调递增，
，
记，
所以，令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
所以，
所以，
又，所以.
故实数的范围为.
故答案为：
15．（1）；（2）详见解析；（3）；．
【分析】（1）利用独立重复实验的概率，先求得目标没有被击中的概率，再用对立事件的概率求解.
（2）X可能取的值为：1，2，3．分别求得相应的概率，列出分布列.
（3）由（2）利用期望和方差的公式求解．
【详解】（1）由题意可得：目标没有被击中的概率为：，
所以目标被击中的概率为：．
（2）X可能取的值为：1，2，3．
所以，
，
，
所以X的分布列为：
X 1 2 3
P
（3）由（2）可得：均值．
.
【点睛】本题主要考查独立重复实验的概率，离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
16．（1）；（2）详见解析；（3）.
【分析】利用互斥事件的概率求和公式计算即可；
由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值；
由题意知事件包含一红两黑和两红一黑，两红一白，全红，求出对应的概率值．
【详解】解：从袋中1次随机摸出2个球，则2个球颜色相同的概率为
；
从袋中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2，3；
则，
，
，
，
随机变量X的概率分布为；
X 0 1 2 3
P
数学期望；
记3次摸球后，取到红球的次数大于取到白球的次数为事件A，则
．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的概率分布与数学期望的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．
17．（1）31种；（2）分布列见解析.
【解析】（1）根据题中条件，分别讨论胜一场，胜两场，胜三场，胜四场，求出对应的胜场多于负场的情况，即可求出结果；
（2）根据题中条件，先确定的可能取值，根据（1）的结果，分别求出对应的概率，即可得出分布列.
【详解】（1）若胜一场，则其余为平，共有种情况；
若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有种情况；
若胜三场，则其余一场为负或平，共有种情况；
若胜四场，则只有1种情况．
综上，共有种情况．
（2）的可能取值为1,2,3,4，
由（1）可得：，，，
所以的分布列为：
1 2 3 4
【点睛】思路点睛：
求离散型随机变量的分布列的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式，简化计算）
18．(1)分布列见解析，
(2)应选择方案一，理由见解析
【分析】（1）分析可知的值可能为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值；
（2）法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则，利用二项分布的期望、方差公式结合期望、方差的性质求出、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论；
法二：分析可知，的值可能为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得、的值，可知，再比较、的大小关系，可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，的值可能为、、，
，，.
.
（2）解：法一：用随机变量表示某员工按方案二摸到的红球的个数，则.
，，
，，.
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一；
法二：的值可能为、、、，
，，
，，
则，
，
因为，按方案一员工抽奖的获奖金额相对均衡，应选择方案一.
19．(1)递减区间为，递增区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导函数，解导数不等式既得单调区间；
（2）利用导数研究含的单调性，找到函数的极值点，从而得到最小值，然后利用导数研究最值函数的范围即可求解；
（3）由（1）可得，变形得.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
当，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以单调递减区间为，单调递增为；
（2），则，
所以，所以在上单调递增，
又，，
故存在唯一的实数，使得即成立.
故时；时.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，
其中，令，，
因为，，
所以在上单调递减，所以即，
故，故所求的最大值为
（3）由（1）可得，则，
可得，即，即，
令，所以，所以，即，
所以，，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，故，则，
所以，，
所以
.

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