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10．1.4　两角和与差的三角函数习题课
一、 单项选择题
1 (2024保定月考)设α∈，β∈，且tan α＋tan β＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. 2α＋β＝ B. 2α－β＝
C. 2β－α＝ D. 2β＋α＝
2 (2023葫芦岛第一高级中学期中)已知0<β<α<，且cos (α－β)＝，cos 2β＝，则sin (α＋β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
3 (2024安徽月考)在△ABC中，已知sin A＝2 024sin B sin C，cos A＝2 024cos B cos C，则tan A的值为(　　)
A. －2 025 B. －2 024
C. 2 024 D. 2 025
4 (2024扬州月考)若－<α<β<，且cos αsin β＝，＝，则cos (α－β)的值为(　　)
A. B. －
C. D. －
5 (2024金华期末)若tan 2α＝3tan (α－β)，则tan (α＋β)的最大值为(　　)
A. B. 1
C. 2－ D.
6 (2023苏州中学期中)已知α，β均为锐角，且sin α＝2sin β，cos α＝cos β，则sin (α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
二、 多项选择题
7 (2023广州月考)满足cos αcos β＝－sin αsin β 的一组α，β的值是(　　)
A. α＝，β＝ B. α＝，β＝
C. α＝，β＝ D. α＝，β＝
8 (2024齐齐哈尔月考)已知α，β∈，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则下列结论中正确的是(　　)
A. sin (α＋β)＝－
B. cos (α－β)＝
C. sin 2α＝
D. tan (α＋β)＝
三、 填空题
9 (2024辽宁期中)已知向量＝(4，3)，将　　绕原点O沿逆时针方向旋转45°到的位置，则点P1的坐标为________．
10 (2024上海期末)已知(4tan A＋1)(1－4tan B)＝17，则tan (A－B)＝________．
11 (2024连云港期中)已知2sin α＋cos β＝，2cos α＋sin β＝－，则sin (α＋β)的值为________．
四、 解答题
12 (2024天水期中)已知角α，β∈(0，π)，tan (α＋β)＝，cos β＝.
(1) 求的值；
(2) 求tan (2α＋β)的值．
13 (2024湖北月考)已知△ABC的三个内角A，B，C满足：cos A＝，tan C＝.
(1) 求cos (A＋B)的值；
(2) 求角B的大小．
10．1.4　两角和与差的三角函数习题课
1. D　由tan α＋tan β＝，得＋＝，即sin αcos β＋cos αsin β＝cos β，即sin (α＋β)＝sin .由α∈，β∈，得0<α＋β<π，0<－β<，所以α＋β＝－β或α＋β＋－β＝π，即2β＋α＝或α＝(舍去)，故2β＋α＝.
2. A　因为0<β<α<，所以0<α－β<.又cos (α－β)＝，所以sin (α－β)＝＝＝.因为0<β<，所以0<2β<π.因为cos2β＝，所以sin 2β＝＝＝，所以sin(α＋β)＝sin [(α－β)＋2β]＝sin (α－β)cos 2β＋cos (α－β)sin 2β＝×＋×＝.
3. D　两式作差，得cos A－sin A＝2 024cos B cos C－2 024sin B sin C＝2 024cos (B＋C)＝－2 024cos A，所以sin A＝2 025cos A，即tan A＝2 025.
4. C　因为＝，所以＝，则sin αcos β＝cos αsin β＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.又－<α<β<，所以－<α－β<0，所以cos (α－β)＝＝.
5．D　因为α＋β＝2α－(α－β)，所以tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]＝＝，设tan(α－β)＝t，则＝＝≤＝，当且仅当?＝3t，
t>0，?即t＝时，等号成立，所以tan (α＋β)的最大值为.
6. C　由sin α＝2sin β，cos α＝cos β，得sin2α＋cos2α＝4sin2β＋cos2β＝1.又4sin2β＋cos2β＝sin2β＋sin2β＋cos2β＝1，所以sin2β＝.因为α，β均为锐角，所以sinβ＝，cos β＝，sin α＝，cos α＝，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
7. BD　因为cos αcos β＝－sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝.当α＝，β＝时，α－β＝，则cos (α－β)＝，故A错误；当α＝，β＝时，α－β＝，则cos (α－β)＝，故B正确；当α＝，β＝时，α－β＝，则cos (α－β)＝，故C错误；当α＝，β＝时，得α－β＝－，则cos (α－β)＝，故D正确．故选BD.
8. BCD　因为α，β∈，cos (α＋β)＝，sin (α－β)＝，所以α＋β∈，α－β∈，sin (α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝＝＝，故A错误，D正确；cos (α－β)＝＝，故B正确；sin2α＝sin [(α＋β)＋(α－β)]＝sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)＝×＋×＝，故C正确．故选BCD.
9. 　由题意，得||＝＝5，设∠xOP＝θ，则sin θ＝，cos θ＝，设P1(x1，y1)，则x1＝5cos (θ＋45°)＝5(cos θcos 45°－sin θsin 45°)＝，y1＝5sin (θ＋45°)＝5(sin θcos 45°＋cos θsin 45°)＝，故点P1的坐标为.
10. 4　因为(4tan A＋1)(1－4tan B)＝17，所以tan A－tan B＝4(1＋tan A tan B)，所以tan (A－B)＝＝4.
11. －　由2sin α＋cos β＝，两边平方可得4sin2α＋4sinαcos β＋cos2β＝①，由2cosα＋sin β＝－，两边平方可得4cos2α＋4cosαsin β＋sin2β＝②，①＋②，可得5＋4sinαcos β＋4cos αsin β＝3，即4sin (α＋β)＝－2，即sin (α＋β)＝－.
12. (1) 已知角α，β∈(0，π)，
由cos β＝，得sin β＝＝，
则tanβ＝＝，
所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝＝＝－，
所以＝＝＝－.
(2) tan (2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]＝＝＝.
13. (1) 因为tan C＝>0, C∈(0，π)，
所以C为锐角且cos C＝＝，
所以cos (A＋B)＝－.
(2) 因为cos A＝，A∈(0，π)，
所以A为锐角且tan A＝4，
则tan (A＋C)＝＝－，
可得tan B＝.
又B∈(0，π)，所以B＝.

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