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10．3　几个三角恒等式
一、 单项选择题
1 在△ABC中，若sin A sin B＝cos2，则△ABC是(　　)
A．等边三角形 B. 等腰三角形
C. 钝角三角形 D. 直角三角形
2 若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β的值为(　　)
A. － B. －
C. D.
3 (2023镇江扬中第二高级中学期中)设a＝cos 7°－sin 7°，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. cC. a4 (2023镇江期中)已知角α以x轴的非负半轴为始边，终边落在直线y＝3x上，则 sin 2α 的值为(　　)
A. B. －
C. － D.
5 (2024临沂月考)函数y＝sin ＋sin 的最大值是(　　)
A. 2 B. 1 C. D.
6 (2024连云港期中)若tan ＝，则cos (－2α)的值为(　　)
A. B.
C. D. －
二、 多项选择题
7 已知0<θ<，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tan 恒相等的有(　　)
A. B.
C. D.
8 下列关系式中，正确的是(　　)
A. sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ
B. cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C. sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D. sin θsin α＝[cos (θ－α)－cos (θ＋α)]
三、 填空题
9 若θ是第四象限角，且25cos2θ＋cosθ－24＝0，则sin2＝________．
10若cos α＝－，α是第三象限角，则的值为________．
11 (2024上海期中)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，已知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积之比为，记∠ABC＝α，则cos 2α＝________．
四、 解答题
12 (1) 已知cos θ＝－，且<θ<π，求 tan 的值；
(2) 已知＝－5，求3cos 2θ＋4sin 2θ的值．
13 已知cos θ＝，求证：tan2＝.　
10．3　几个三角恒等式
1. B　由题意，得[cos (A－B)－cos (A＋B)]＝(1＋cos C).又A＋B＝π－C，所以cos (A－B)－cos (π－C)＝1＋cos C，所以cos (A－B)＝1.又－π2. D　由题意，得2sin cos ＝×2sin sin .因为0<<π，－<<，所以sin >0，所以tan ＝，所以α－β＝.
3. A　因为a＝cos 7°－sin 7°＝cos 60°cos 7°－sin 60°sin 7°＝cos 67°＝sin 23°，b＝＝2tan12°·cos212°＝sin24°，c＝＝＝sin22°，所以由y＝sin x的单调性可知c4. D　设P(x，y)为角α终边上一点，则tan α＝＝3，故sin 2α＝＝.
5．B　因为y＝sin ＋sin ＝2sin x cos ＝sin x≤1，所以y＝sin ＋sin (x－)的最大值为1.
6. A　因为tan ＝，所以cos ＝cos (2α－)＝＝＝.
7．AD　tan ＝＝.因为＝＝＝，所以A正确；又＝＝＝，所以D正确．故选AD.
8. AD　由sin 5θ＝sin (4θ＋θ)＝sin 4θcos θ＋cos 4θsin θ，sin 3θ＝sin (4θ－θ)＝sin 4θcos θ－cos 4θsin θ，cos 5θ＝cos (4θ＋θ)＝cos 4θcos θ－sin 4θsin θ，cos 3θ＝cos (4θ－θ)＝cos 4θcos θ＋sin 4θsin θ，得sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，故A正确；cos 3θ－cos 5θ＝2sin 4θsin θ，故B错误；sin 3θ－sin 5θ＝－2cos 4θsin θ，故C错误；－[cos (θ＋α)－cos (θ－α)]＝－[(cos θcos α－sin θsin α)－(cos θcos α＋sin θsin α)]＝－(－2sin θsin α)＝sin θsin α，故D正确．故选AD.
9. 　由25cos2θ＋cosθ－24＝0，解得cos θ＝或cos θ＝－1.因为θ是第四象限角，所以cos θ＝，所以sin2＝＝.
10. －　因为α为第三象限角，所以为第二或第四象限角，所以tan ＝－＝－3，所以＝－.
11. 　易知以直角边AC，AB为直径的半圆的面积分别为×π×＝，×π×＝，由面积之比为，得＝，即在Rt△ABC中，tan α＝tan ∠ABC＝＝，所以cos 2α＝＝＝.
12．(1) 因为<θ<π，
所以<<，所以tan >0.
因为cos θ＝＝－，
解得tan2＝4，所以tan＝2.
(2) 因为＝－5，
所以＝－5，所以tan θ＝2.
又cos 2θ＝＝－，
sin2θ＝＝，
所以3cos2θ＋4sin 2θ＝－＋＝.
13. tan2＝＝＝＝.

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