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浙江省杭州学军中学2024 2025学年高三下学期2月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知非零向量满足，且，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
5．等差数列的前n项和为满足若成等比，则（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为（ ）
A．270 B．240 C．180 D．150
7．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的取就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．下列选项中，曲线与在上的交点个数不一样的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知定圆，点是圆所在平面内异于的定点，点是圆上的动点，若线段的中垂线交直线于点．则点的轨迹可能为（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．圆
10．如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱的中点，点N为正方形内（包含边界）的动点，若平面，下列结论正确的为（ ）

A．点N的轨迹和正方形的内切圆相切
B．存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面
C．无论点N在何位置，总有
D．长度的取值范围为
11．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的值域为
C．当时，桓成立
D．若在上恰有1012个不同解，则符合条件的a只有一个
三、填空题（本大题共3小题）
12．若“”是假命题，则实数a的取值范围是 .
13．将正整数n分解成两个正整数，的积，即，当，的两数差的绝对值最小时，称为正整数n的最优分解，如为20的最优分解．当为n的最优分解时，定义，则数列的前2025项和为 ．
14．已知椭圆，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，记为在椭圆上的切线，过作直线，垂足为，则面积的最大值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建养殖网箱，已知．
(1)求岸线上点A与点B之间的直线距离；
(2)如果线段上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得4万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
16．如图，由半径为2的四分之一圆面绕其半径所在直线旋转一周，形成的几何体底面圆的圆心为，是几何体侧面上不在上的动点，是的直径，为上不同于A，的动点，为的重心，.
（1）证明：平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求直线与面所成角的正弦值.
17．已知函数（且）
(1)判断的单调性；
(2)若m，n为方程的两个根，求的最小值．
18．已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，求证：；
(3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．设p为素数，对任意的非负整数n，记，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”．
(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；
(2)判断并证明在，，，…，这个数中，有多少个数对p“协调”；
(3)计算前个对p“协调”的非负整数之和．
参考答案
1．D
2．B
3．B
4．C
5．B
6．B
7．D
8．C
9．AC
10．BCD
11．ACD
12．
13．/
14．
15．（1）在中，由余弦定理得，
即岸线上点与点之间的直线距离为千米；
（2）在中， ，
则，，
设两段网箱获得的经济总收益为万元，则
，
因为，所以，所以，
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．
16．（1）连接并延长交于点，连接，
因为为的重心，
所以.
因为，
所以，
则，
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）当三棱锥体积最大时，
平面平面，且和为等腰直角三角形，
则，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设面的法向量为，
则，
取，则，，故，
设与面所成角为，
则.
17．（1）根据题意，，
令，可得或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在和上单调递减.
（2）由，，
可得，是关于的方程的两个不同的实根，
其中，得，
故，，即.
故
，
设，
，
设，
则，所以为上的增函数，
则.，
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，即，
所以为上的增函数，
的最小值为，
故的最小值为.
18．（1）因为双曲线的渐近线方程为，
所以设双曲线方程为，又双曲线过点，
则，
所以双曲线的方程为，即.
（2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为，
联立，消去得，
设，由题意得，
所以，且，
所以
，
所以，即得证.
（3）由(2)可知恒成立，，
所以圆心到的距离，
半径，
设所对圆心角为，
则，
因为为劣弧，所以，
所以，所以，即所对圆心角的大小为定值.
19．（1）因为，所以，
，所以，
，所以，
所以194，196对3“协调”，195对3不“协调”；
（2）先证引理：对于任意的非负整数t，在中有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：设，由于pt是p的倍数，所以，所以，即对于这一项的系数为，
所以，
根据整除原理可知，在中有且仅有一个数能被p整除，
所以在中有且仅有一个数对p“协调”，
接下来把以上个数进行分组，分成以下p组（每组p个数）：
根据引理可知，在以上每组里恰有1个数对p“协调”，所以共有p个数对p“协调”；
（3）继续考虑这个数分成p组，每组p个数：
由（2）的引理可知每一行里有且只有一个数对p“协调”，下面证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”．证明如下：
设某一列第一个数为，
则，所以，
同理当时，，所以当时，
集合中的p个数中有且只有1个数对p“协调”，
注意到数阵中每一个数向右一个数增加1，向下一个数增加p，
所以p个数对p“协调”的数之和为：，
进一步，前个对p“协调”的非负整数之和为：
.

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