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西安市西光中学
2024—2025学年度第二学期期中考试高一年级数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分150分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若是关于的方程的虚数根，且，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 下列命题中正确命题的个数为
（1）平面内有且仅有一条直线和这个平面外的一条直线垂直
（2）经过一点和已知直线垂直的平面有且仅有一个
（3）经过平面外一点和这个平面平行直线有且仅有一条
（4）经过平面外一点有且仅有一条直线和这个平面垂直
A 3 B. 2 C. 1 D. 0
3. 如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等边的边长为，D为中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在母线长为4的圆锥中，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知、是互相垂直的两个单位向量，若向量与的夹角为，则实数（ ）
A. B. C. D.
7. 如下四个正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，为正方体的顶点．则满足的共有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.共18分）
9. 如图，是边长为的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ）
A. ，，，四点共面
B. 该几何体的体积为
C. 过四点，，，四点的外接球表面积为
D. 截面四边形周长的最小值为
10. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中错误的是（ ）
A. 若，则定为等腰三角形
B. 若，则一定是锐角三角形
C. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
11. 如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B C D三点重合于点S，得到四面体（如图2）.下列结论正确的是（ ）
A. 平面平面SAF
B. 四面体的体积为
C. 二面角正切值为
D. 顶点S在底面AEF上的射影为的垂心
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 若，则最大值为________．
13. 如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________.
14. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）没有水的部分始终呈棱柱形
（2）水面所在四边形的面积为定值
（3）当容器倾斜如图②所示时，为定值
（4）当容器倾斜如图③所示时，为定值
其中所有正确命题的序号是______________
四、解答题（共77分）
15. 已知向量与的夹角为，，，求：
（1）；
（2）与；
（3）与的夹角．
16. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点.
（1）求四棱锥的体积；
（2）证明：平面；
（3）证明：.
17. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
18. 如图，在四棱锥中，，，，为边的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．
19. 如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形矩形，且，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
西安市西光中学
2024—2025学年度第二学期期中考试高一年级数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分150分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
二、多选题（每小题6分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.共18分）
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】BD
三、填空题（每小题5分，共15分）
【12题答案】
【答案】6
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】（1）（3）（4）
四、解答题（共77分）
【15题答案】
【答案】（1）4 （2），
（3）
【16题答案】
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【17题答案】
【答案】(1);(2) .
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）

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