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6.2黄金分割
一、单选题
1．线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，则BP的长度为（　　）
A．44 B．88 C．88 D．44
2．若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2（AC＞BC），则AC等于（　　）
A．1 B．3
C． D．1或3
3．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为（　　）
A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm
4．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF＝BE，以AF为边作正方形AFGH，则点H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形HICB的面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能确定
二、填空题
6．已知点C是AB的黄金分割点（AC＜BC），若AB＝4cm，则BC的长为 　cm．
7．如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 　 　．
8．新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为 　 　．
9．如图，线段AB＝1，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，S1表示以PA为边长的正方形面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积，则S1﹣S2＝　 　．
10．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是AB的黄金分割点，则CD的长为 　 　．
三、解答题
11.如图，点是线段的黄金分割点，，计算线段的黄金比的值．
12.（1）已知，，是，的比例中项，求．
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
13.已知顶角为的等腰三角形称为黄金三角形（底边与腰的比值为黄金分割比）．如图，，，都是黄金三角形，已知，求的长度．
14.如图所示，以长为2的定线段为边作正方形，取的中点，连接，使，在的延长线上取点，使以为边作正方形，点在上．
（1），的长分别为 　　，　　．
（2）是的黄金分割点吗？请说明理由．
15.在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计为多高？
16．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；
第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．
17．再读教材：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝　 　（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
18．阅读理解：
如图1，点C将线段AB分成两部分，若，则点C为线段AB的黄金分割点．
某研究学习小组，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，而给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
问题解决：
如图2，在△ABC中，若点D是AB的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于E，过D作DF∥CE，交AC于F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．
19.关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数．
（1）求黄金分割数；
（2）已知实数，满足：，，且，求的值；
（3）已知两个不相等的实数，满足：，，求的值．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】根据黄金分割的定义解决问题即可．
【解答】解：∵线段AB＝8，P是AB的黄金分割点，且AP＜BP，
∴BPAB8＝44．
故选：A．
2．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．
【解答】解：根据黄金分割点的概念得：ACAB1．
故选：A．
3．
【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6＝96cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：0.618，
解得：y≈8cm．
故选：D．
4．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠C＝72°，再利用角平分线的定义可得∠DBC＝36°，从而利用三角形内角和定理可得∠BDC＝72°，进而可得∠C＝∠BDC＝72°，然后利用等角对等边可得BC＝BD，从而可得△BDC是“黄金三角形”，最后进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣∠A）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BC＝BD，
∴△BDC是“黄金三角形”，
∴，
∵BC＝2，
∴DC1，
故选：A．
5．
【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出BE，求出EF，求出AF，再根据面积公式求出S1与S2即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAB＝90°，
设正方形ABCD的边长为2a，
∵E为AD的中点，
∴AE＝a，
在Rt△EAB中，由勾股定理得：，
∵EF＝BE，
∴，
∴，
即，
∴，，
即S1＝S2，
故选：C．
二、填空题
6．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．BC＝42（1）．
【解答】解：由题意知：BCAB＝42（1）＝（22）cm．
故答案为：（22）．
7．
【分析】黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解．
【解答】解：弦AB＝80cm，点C是靠近点B的黄金分割点，设BC＝x，则AC＝80﹣x，
∴，解方程得，，
点D是靠近点A的黄金分割点，设AD＝y，则BD＝80﹣y，
∴，解方程得，，
∴C，D之间的距离为，
故答案为：．
8．
【分析】作△ABC的中线CM，由精准三角形的定义得到，求出CM的长，由线段中点定义得到AM＝MBAB＝1，令DM＝x，由勾股定理得到x2＝22﹣（x+1）2，求出x，得到DM即可求出BD的长．
【解答】解：作△ABC的中线CM，
∵△ABC是“精准三角形”，
∴，
∵AB＝2，
∴CM1，
∵M是AB中点，
∴AM＝MBAB＝1，
令DM＝x，则AD＝x+1，
∵CD2＝CM2﹣MD2＝AC2﹣AD2，
∴x2＝22﹣（x+1）2，
∴x，
∴DM，
∴BD＝MB﹣DM．
故答案为：．
9．
【分析】根据黄金分割的定义得到PA2＝PB AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1＝PA2，S2＝PB AB，那么S1＝S2，即S1﹣S2＝0．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2＝PB AB，
又∵S1表示以PA为边长的正方形的面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形面积，
∴S1＝PA2，S2＝PB AB，
∴S1＝S2，
∴S1﹣S2＝0
故答案为0．
10．
【分析】根据黄金分割的定义得到，继而将，代入得：，解之即可求解．
【解答】解：∵C，D两点都是的黄金分割点，
∴，
∵AB＝AD+CD+BC，，
∴，
将，代入，
得：，
∴，
整理得：，
∴CD＝1，
故答案为：1．
三、解答题
11.解：点是线段的黄金分割点，，
，
线段的黄金比的值为．
12.解：（1）是，的比例中项，
，
，，
为3或；
（2）是的黄金分割点，且，，
．
13.解：，，都是黄金三角形，
，，，，，
，
．
14.解：（1）在中，，，由勾股定理知，
，
．
故的长为，的长为；
故答案为：，；
（2）结论：点是的黄金分割点．
由于，
点是的黄金分割点．
15.解：设雕像的下部高为 ，则题意得：
，
整理得：，
解得，（舍去），
答：雕像的下部高为 ．
16.证明：在正方形ABCD中，取AB＝2a，
∵N为BC的中点，
∴NCBC＝a．
在Rt△DNC中，．
又∵NE＝ND，
∴CE＝NE﹣NC＝（1）a．
∴．
故矩形DCEF为黄金矩形．
17.解：（1）∵四边形MNCB是正方形，
∴NC＝MN＝2，
由折叠的性质得：ACNC＝1，
在Rt△ABC中，AB；
故答案为；
（2）四边形BADQ是菱形．
证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，
∵BQ∥AD，
∴∠AQB＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠BAQ，
∴AB＝BQ，
即AD＝AB＝BQ＝BD，
∴四边形BADQ为菱形；
（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE；
理由：∵AD＝AB，AN＝AC＝1，
∴CD，ND，
∴，
故矩形BCDE是黄金矩形；
∴，
故矩形MNDE是黄金矩形．
18.解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：
∵点D是AB的黄金分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）∵三角形的中线把AB分成相等的两条线段，即AD＝BD，
∴，1，
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线；
（3）∵DF∥CE，
∴S△FDE＝S△FDC，S△DEC＝S△FEC，
∴S△AEF＝S△ADC，S四边形BEFC＝S△BDC，
∵，
∴，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
19.解：（1）由题意，将代入得，，
．
黄金分割数大于0，
黄金分割数为．
（2），
．
．
又，
，是一元二次方程的两个根．
．
．
（3）由题意，令①，②，
①②得，，
．
又①②得，，
，为两个不相等的实数，
，
．
．
又．
．
．
．
．

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