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6.5 相似三角形的性质
一、单选题
1．在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE的面积：△BCD的面积＝（　　）
A．1：6 B．1：4 C．2：3 D．1：3
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AE、AF，BD交AF于点G，若BE＝3，∠EAF＝∠ABD，则DG的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E在AC上，分别连接BE，DE．若ED⊥AD，BC⊥AC，，∠ABE＝30°，则BC：BE的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝3，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若，则 　 　．
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，联结BE，如果△ADE和△BEC的面积都为1，则△DEB的面积为 　 　．
8．如图，菱形ABCD的边长为3，∠ADC＝60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交BD，AD于点G，F，则FG的长为 　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是△ABC的一条角平分线，过点A作AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F．若，△AFD的面积为 ，则BE＝　 　．
10．如图，点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC），点E为上一动点，（不与点A、C重合），过点B作BF⊥AB与EC的延长线交于点F，过点B作BG⊥OC于点G，交EC于点H，若OG＝2，H为CE的三等分点，EH的长为 　 　．
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，连接AC，点E，F分别在边AD，CD上，连接BE，BF分别交AC于点M，N．若∠EBF＝45°，CF＝2，则DE的长为　 　．
三、解答题
12．如图，在菱形ABCD中，过D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，过E作EF⊥AB交AB于点F．
（1）求证△DEC∽△EFB；
（2）若BC＝6，CE＝2，求AF的长．
13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BC，AD，AD与BC交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若，求AD的长度．
14．如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的边BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知AB＝AC＝10，BC＝12．
（1）当矩形EFGD为正方形时，求正方形的边长；
（2）联结EG，当△GEC以GC为腰的等腰三角形时，求矩形EFGD的面积．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．有一点到终点运动即停止．问：
（1）几秒后△PBQ的面积等于5；
（2）几秒后PQ⊥DQ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过点C作CE⊥AD，垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．
（1）求证：CD2＝ED AD；
（2）已知D为BC的中点，求证：∠DBE＝∠DAB．
17．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝8，BM＝6，求AE的长．
18．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝mAC，AD＝mAE（m＞1），∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点O．求证：
（1）△ABD∽△ACE；
（2）∠BAC＝∠BOC．
19.如图，在中，，为延长线上一点，，，过作，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）求长度．
20.如图，平分，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】由AD：DB＝1：2，推导出，由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，得，则（）2，求得S△ADC＝3，S△ABC＝9，所以S△BCD＝6，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AD：DB＝1：2，
∴，
∵DE∥BC，△ADE的面积为1，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴S△ADC＝3S△ADE＝3×1＝3，S△ABC＝9S△ADE＝9×1＝9，
∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ADC＝9﹣3＝6，
∴△ADE的面积：△BCD的面积＝1：6，
故选：A．
2．
【分析】连接AC，交BD于点O，先证明∠BAE＝∠CAF，∠ACF＝∠BAC＝∠ABD，进而可得△ABE∽△ACF，由，求出CF＝5，DF＝1，再由△ABE∽△ACF，得，即可求出DG的长．
【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F分别是BD、CD边上一点，连接AC，交BD于点O；
∴AB＝CD＝6，∠BAD＝90°，
在直角三角形ABD中，，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝5，
∴∠ABD＝∠BAC，
∵∠EAF＝∠ABD，
∴∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAF．
∵AB∥CD，
∴∠ACF＝∠BAC＝∠ABD，
∴△ABE∽△ACF，
∴，即，
解得：CF＝5，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣5＝1，
∵AB∥CD，
∴△ABG∽△FDG，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
3．
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据角平分线的性质可得∠DAE＝∠CAB，EF＝ED，再根据垂直定义可得∠BCA＝∠EDA＝90°，从而证明△ADE∽△ACB，然后利用相似三角形的性质可得，最后再根据含30度角的直角三角形，进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵ED⊥AD，AC平分∠BAD，
∴EF＝ED，∠DAE＝∠CAB，
∵BC⊥AC，
∴∠EDA＝∠BCA＝90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
∵∠ABE＝30°，∠EFB＝90°，
∴BE＝2EF，
∴，
故选：A．
4．
【分析】首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2，
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF2，
∵OH∥AE，
∴，
∴OHAE，
∴OF＝FH﹣OH＝2，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴，
∴AMAF，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴，
∴ANAF，
∴MN＝AN﹣AM．
故选：D．
5．
【分析】先利用菱形的性质得到AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB∥CD，则∠EAD＝60°，∠ABD＝30°，再在Rt△ADE中计算出AE，DE，则利用勾股定理可计算出CE，接着证明△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质和比例的性质得到EG，利用同样方法可计算出EF，然后计算EG﹣EF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB∥CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AEAD，
∴DEAE，
在Rt△CDE中，CE，
∵BE∥CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴，
∴，
∴EG，
∵AE∥CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
∴，
∴EF，
∴FG＝EG﹣EF．
故选：B．
二、填空题
6．
【分析】根据AC∥BD．可以得到△AOC∽△BOD，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值．
【解答】解：∵AC∥BD．
∴△AOC∽△BOD，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
7．
【分析】设△DEB的面积为S，利用三角形面积公式得到，则利用比例性质得到，再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得（）2，整理得S2+S﹣1＝0，然后解方程求出S即可．
【解答】解：设△DEB的面积为S，
∵，
∴，
∴，
即，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2，
∴（）2，
整理得S2+S﹣1＝0，
解得S1，S2（舍去），
即△DEB的面积为．
故答案为：．
8．
【分析】由DE⊥AB，得∠AED＝90°，因为四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC＝60°，所以AD＝AB＝CD＝3，AB∥CD，则∠EDC＝90°，∠ADE＝30°，所以EAAD，求得EB，DE2＝AD2﹣EA2，则CE，可证明△CDG∽△EBG，得，则CGCE，再证明△EAF∽△CDF，得，则EFCE，即可求得FG，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵DE⊥AB，交BA的延长线于点E，
∴∠AED＝90°，
∵四边形ABCD是边长为3的菱形，∠ADC＝60°，
∴AD＝AB＝CD＝3，AB∥CD，
∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠ADC＝30°，
∴EAAD，
∴EB＝EA+AB3，DE2＝AD2﹣EA2＝32，
∴CE，
∵CD∥EB，
∴△CDG∽△EBG，
∴，
∴CGCECE，
∵EA∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∴，
∴EFCECE，
∴FG＝CE﹣CG﹣EF，
故答案为：．
9．
【分析】过点A作AG⊥DF于点G，先证出△AFD是等腰三角形，从而得到，设参，设DG＝FG＝x，AD＝AF＝y，再证△DAG∽△DBA，得到，代入x、y得到y＝3x，进而利用面积求出x值，进而得解．
【解答】解：过点A作AG⊥DF于点G，则∠AGF＝∠AGD＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠EAC＝90°﹣∠BAE，
∵∠AFG＝∠BFE，∠AGF＝∠BEF＝90°，
∴△GAF∽△EBF，
∴∠EBF＝∠GAF，，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBFABC，
∴∠GAF∠EAC，
即∠GAF＝∠GAD，
∵AG＝DG，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GDDF，AF＝AD，
∵，
∴，
设DG＝FG＝x，AD＝AF＝y，
则BFy，
∴BDy+2x，
∵，∠AGD＝∠ABC＝90°，
∴△DAG∽△DBA，
∴，
即，
整理得y＝3x，
∴AD＝AF＝3x，
根据勾股定理可得AG＝2x，
∴S△AFDDF AG＝2x2＝18，
解得x＝3（负值舍去），
∴AG＝6，
∵，
∴BE＝14．
故答案为：14．
10．
【分析】先证△OBC为等边三角形，得到∠COB＝∠OBC＝∠OCB＝60°，进而得到∠CEB＝∠CBG＝30°，证△BCE∽△HCB，得到CE CH＝BC2＝16，然后分类讨论计算即可得解．
【解答】解：∵点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC），
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠COB＝∠OBC＝∠OCB＝60°，
∵，
∴∠CEB∠COB＝30°，
∵BG⊥OC，
∴OC＝CGOC，∠OBG＝∠CBG＝30°，
∵OG＝2，
∴OC＝4＝BC＝OB，
∵∠CEB＝∠CBG＝30°，∠BCE＝∠HCB，
∴△BCE∽△HCB，
∴，
∴CE CH＝BC2＝16，
∵H为CE的三等分点，
∴可以分两种情况讨论，设CE＝3x，
①EH时，则EH＝x，CH＝2x，
∴2x 3x＝16，
解得x（负值舍去），
∴EH，
②EHCE时，EH＝2x，CH＝x，
∴x 3x＝16，
解得x，
∴EH＝2x；
综上，EH的长为或．
故答案为：或．
11．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出BF，证明△CFN∽△ABN，求出BN，再证明△BCF∽△ABC，△BCN∽△ABC，△AME∽△CBM，对应边成比例即可解决问题．
【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝4，
∴BC＝AD＝4，
∵CF＝2，
在Rt△CBF中，BF2，
∵CD∥AB，
∴△CFN∽△ABN，
∴，
∵AB＝CD＝8，FN＝FB﹣BN＝2BN，
∴，
∴BN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AB∥CD，
∵AB＝8，AD＝4，
由勾股定理得：AC4，
∵AB＝8，BC＝AD＝4，CF＝2，
∴，
∵∠BCF＝∠ABC＝90°，
∴△BCF∽△ABC，
∴∠CBF＝∠BAC，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠ACB＝90°，
∴∠CNB＝90°，
∴CA⊥BF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠BMN＝45°，
∴MN＝BN，
∵∠CBF＝∠BAC，∠BNC＝∠ABC＝90°，
∴△BCN∽△ABC，
∴，
∴CNBN，
∴AB＝AC﹣MN﹣CN＝4，CM＝CN+MN，
∵AD∥BC，
∴△AME∽△CBM，
∴，
∴，
∴AE，
∴DE＝AD﹣AE＝4．
故答案为：．
三、解答题
12．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∴∠DCE＝∠EBF，
∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，EF⊥AB于点F，
∴∠DEC＝∠EFB＝90°，
∴△DEC∽△EFB．
（2）解：∵BC＝6，CE＝2，
∴AB＝CD＝BC＝6，BE＝BC+CE＝6+2＝8，
∵△DEC∽△EFB，
∴，
∴BF，
∴AF＝AB﹣BF＝6，
∴AF的长是．
13．（1）证明：如图1，连接OD交BC于点G，
∵AB是⊙O的直径，DF⊥AC于点F，
∴∠ACB＝∠F＝90°，
∴DF∥BC，
∵点D是的中点，
∴OD垂直平分BC，
∴∠ODF＝∠OGC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD，
∴DF为⊙O的切线．
（2）解：如图2，连接CD，作EI⊥CD于点I，CH⊥CB于点H，则∠DIE＝∠DHC＝90°，
∵点C是的中点，点D是的中点，
∴，，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠B＝45°，∠BCD＝∠CAD＝∠BAD∠CAB＝22.5°，
∴∠IED＝∠IDE＝∠HCD＝45°，
∴ID＝IE，CH＝DH，∠BCD＝∠BCH＝22.5°，
∴IE＝HE，
∵DEIE＝22，
∴IE＝HI＝2，
∴DH＝DE+IE＝22+2，
∴CD2＝CH2+DH2＝2DH2＝2×（）2＝4，
∵∠ECD＝∠CAD，∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴AD22，
∴AD的长是22．
14．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于H，交DG于O，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BH，
∴AH8，
∵四边形EFGD为正方形，设DE＝x，
∴DG＝x，AO＝8﹣x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
∴，
解得：x，
∴正方形的边长为；
（2）当GC＝GE时，如图，作AH⊥BC于H，
∴EF＝CF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CFG，DE＝FG，
∴△BDE≌△CGF（AAS），
∴BE＝CF＝EF＝4，
∴GFCF，
∴S矩形DEFG＝4；
当CE＝CG时，如图，作AH⊥BC于H，
设BE＝CF＝x，则CG＝CE＝12﹣x，
∴，
∴，
解得x，
∴CF，
∴GFCF，
∴S矩形DEFG＝6×3＝18，
综上：矩形EFGD的面积为或18．
15．解：（1）设x秒后△PBQ的面积等于5cm2．
则AP＝x cm，QB＝2x cm，
∴PB＝（6﹣x）cm，
∴（6﹣x）2x＝5，
解得x1＝1，x2＝5，
答：1秒或5秒后△PBQ的面积等于5cm2；
（2）设y秒后PQ⊥DQ，则∠DQP为直角，
∴∠BQP+∠DQC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠B＝90°，
∴∠BQP+∠QPB＝90°，
∴∠DQC＝∠QPB，
∴△BPQ∽△CQD，
∴，
设AP＝y cm，QB＝2y cm，
∴，
∴2y2﹣15y+18＝0，
解得：y或6，
经检验y是原分式方程的根，y＝6不是原分式方程的根，
当y＝6时，P点到达B点、Q点到达C点，此时PQ⊥DQ．
答：秒或6秒后PQ⊥DQ．
16．（1）证明：∵CE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝∠ACB＝90°，
又∵∠EDC＝∠CDA，
∴△DCE∽△DAC中，
∴，
∴CD2＝ED AD；
（2）证明：∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴CD2＝ED AD，
∴BD2＝ED AD，
即，
又∵∠BDE＝∠ADB，
∴△DEB∽△DBA，
∴∠DBE＝∠DAB．
17.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝8，BM＝6，
∴∠B＝90°，AD＝AB＝8，
∴，
∵F是AM的中点，
∴，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴．
18.证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝mAC，AD＝mAE，
∴m，m，
∴，
∴，
又∵∠BAC＝∠DAE，
∴△ABD∽△ACE；
（2）设AC与BD交于点F，如图所示：
∵△ABD∽△ACE；
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠CFO+∠BOC＝180°，
又∵∠AFB＝∠CFO，
∴∠BAC＝∠BOC．
19.解：（1）证明：，
，
，
，又，
；
（2），
，
，
，
，
，
由（1）知，
，
，
（负值舍去）．
答：的长度为2．
20.（1）解：平分，
．
，
；
（2），
．
，，
．

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