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浙江省杭州市西湖区之江实验中学2024年中考二模数学试题
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·西湖模拟）珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，某日测得山脚气温为19℃，山顶气温为℃，则山脚与山顶的温度差为（　　）
A．12℃ B．26℃ C．50℃ D．69℃
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
2．（2024·西湖模拟）如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：竖直放置的圆柱体，从上面看到的平面图形为圆，即俯视图是圆．
故答案为：A．
【分析】俯视图是从上面向下看得到的正投影，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线，据此结合圆柱体的摆放方式即可判断得出答案.
3．（2024·西湖模拟）把 分解因式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先将多项式用完全平方公式分解因式，再选择正确的选项.
4．（2024·西湖模拟）如图，于A，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵于A，∠1=54°，
∴，
∴∠DAC=36°.
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据垂线的定义求出∠DAC的度数，再根据平行线的性质即可求出∠C的度数.
5．（2024·西湖模拟）如图所示，若点坐标为，则对应的点可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点E坐标为，
∴对应的点，可表示为将点E向左平移2个单位，再向上平移2个单位，
∴对应的点可能是A点，
故答案为：A．
【分析】根据平面直角坐标系中点坐标的平移特征进行分析求解即可．
6．（2024·西湖模拟）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种
而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=；
故答案为：B.
【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率.
7．（2024·西湖模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子去量竿，却比竿子短一托.”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺.设竿长为尺，绳索长为尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
8．（2024·西湖模拟）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（　　）
A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
∴，，
∴
，
故要求的度数，则只需知道的度数，
故选：C．
【分析】
由尺规作图方法知道图中有两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行判断即可．
9．（2024·西湖模拟）某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论：
①函数的图象与轴有交点；
②函数的图象与轴没有交点：
③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上.
以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：函数y=x-，令y=0，则x-=0，即x2-2=0得x1=-，x2=，故①正确；
分式中，x≠0，故函数与y轴无交点，故②错误；
(a，b)在函数图象上，则有a-，则有，即，故也在函数图象上.
故答案为：B.
【分析】分别令y=0，求x的值可判断 ①，令x=0时无意义，即可判断
10．（2024·西湖模拟）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（　　）
A．
B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为
D．若，的最大值为
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，AB//CD，AD//BC，
∵，，
∴，
∵点E在矩形内部，
∴0过点E作QN//AB交AD于点Q，交BC于点N，作MP//AD交AB于点M，交DC于点P，如图所示：
∴AB//QN//CD，AD//MP//BC，
∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，
设，，，，
∴，，，，
∴，，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点E在以为直径的上，连接交于，如图所示：
则当E与重合时，线段的长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为8．故选项C正确，不符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
延长至F，使，连接AF，如图：
∴△AEF是等腰三角形，
∴.
以为边长向矩形内作等边，则点F在以O为圆心，为半径的优弧上运动，AE+BE=BF.
∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．
故选项D错误，不符合题意．
【分析】连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得，结合点E在矩形ABCD内部，可判定A选项；
过点E作QN//AB交AD于点Q，交BC于点N，作MP//AD交AB于点M，交DC于点P，可证四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据勾股定理分别表示出AE，BE，DE，CE，计算可判定B选项；
根据题意得E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，根据勾股定理求得OC长，OC－OE即可判定C选项；
延长至F，使，连接AF，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，可判断点F在优弧上运动，于是当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径，可判定D选项．
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024·西湖模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2024·西湖模拟）走路不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小云、小南两名同学将同一星期内日步数的数据绘制成折线统计图，将步数方差分别记为，，从折线统计图可知，　 　（填“＞”，“＜”或“=”）．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可知，小云一星期内日步数在2400~16000范围内上下波动，而小南一星期内日步数在5300~13000范围内上下波动，
即小云的波动幅度相比小南更大.
∴，
故答案为：．
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．（2024·西湖模拟）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示，
甲种糖果 乙种糖果
单价（元/千克） 30 20
千克数
将这千克甲种糖果和千克乙种糖果混合成什锦糖果，则混合什锦糖果的单价为　 　元/千克（用含和表示）.
【答案】
【知识点】平均数及其计算；用代数式表示实际问题中的数量关系
14．（2024·西湖模拟）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】连接，，，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴
∴.
∴弦所对圆周角的度数为或
故答案为：或．
【分析】先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可．
15．（2024·西湖模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则　 　
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴小正方形边长为2，
∴，，，
如图， 作轴，垂足为点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
同理，
，
即，
∴，
∴
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用，，求出点D的坐标，然后把D的坐标代入求出k值解题．
16．（2024·西湖模拟）已知矩形纸片，将纸片沿折叠，使点与边上的点重合，展开纸片，连结，，与相交于点．将纸片继续沿折叠，点的对应点恰好落在上，展开纸片，连结，与交于点．已知，，则　 　；　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°。
∵△ADE折叠得△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=5，AE⊥DF，∠DAE=∠HAG.
∴∠EAD+∠ADF=90°.
∵，
∴，
∴.
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴AD=3DE=15.
∴AF=AD=15，
∵△DCF折叠得△DGF，
∴GF=FC=3.
∴AG=AF－GF=12.
∵∠FDC=∠HAG，∠DCF=∠AGH=90°，
∴△DCF∽△AGH
∴，即，
∴
故答案为：，．
【分析】连接，利用勾股定理列式求得，，再利用正切函数的定义求得，利用折叠的性质求得AD长，继而可计算AG的长，证明△DCF∽△AGH，即可利用相似三角形的性质计算AH的长.
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分）
17．（2024·西湖模拟）化简：．
圆圆的解答下：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
【答案】解：圆圆的解答不正确，正确解答如下：
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据异分母分式的减法运算法则进行计算即可求解．
18．（2024·西湖模拟）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在线段上画出点，使．
（2）画出的外接圆圆心，并连接，，求弧的长
【答案】（1）解：∵
∴.
如图所示，取格点使得，
∵，
∴
∴
∴
（2）解：分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则O为△ABC的外接圆圆心，如图所示：
连接BO，CO，
∵，，OB2+OC2=BC2，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠BOC=90°，
∴

【知识点】勾股定理的逆定理；确定圆的条件；弧长的计算；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点使得，根据勾股定理求得两个三角形的边长，进而根据三边对应成比例即可求解；
（2）找到的垂直平分线的交点，利用勾股定理的逆定理求得为直角三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
19．（2024·西湖模拟）小璐在研究数学题的时候发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.
（1）计算的结果是4的几倍？
（2）设两个连续偶数较小的一个为（为整数），请论证“发现”中的结论正确；
（3）任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗？　 　（填“是”或“否”）.
【答案】（1）解：=2+16=20=4×5，
故结果是4的5倍；
（2）解：(2n)2+(2n+2)2=4n2+4n2+8n+4=4(2n2+2n+1)，
n为整数，2n2和2n为偶数，
故2n2+2n+1为奇数.
（3）否
【知识点】因式分解的应用
20．（2024·西湖模拟）某公司准备从，两款语音识别软件中择优购买一款．为了解两款软件的性能，测试员小敏随机选取了20个句子，其中每句都含10个字．他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件，并将语音识别结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
款软件每个句子中识别正确的字数记录为： ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为：
、两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表
软件 平均数 众数 中位数 识别正确达到10个字的句子所占百分比
款
款
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述中的______，______，______；
（2）若会议记录员用、两款软件各识别了个句子，每个句子有个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个？
（3）该公司现派采购小组前去购买一批同款语音识别输入软件，请你根据学过的统计量，从、两款软件中推荐一款进行采购，并简单说明你推荐的理由．
【答案】（1），，
（2）解：（个）．
答：估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有个．
（3）解：A，B两款的平均数都是7.7，但款软件识别正确的字数的中位数＞B款软件识别正确的字数的中位数，A款软件识别正确达到10个字的句子所占百分比为>款软件的识别率，
∴采购款软件
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）观察款软件每个句子中识别正确的字数记录可得：众数；
由款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图：第10和第11个数据都是8，故中位数，
识别正确达到个字的句子所占百分比．
故答案为：；；．
【分析】（1）结合数据或折线统计图即可得解；
（2）由样本所占百分比分别估计A款和B款软件一字不差地识别正确的句子数再相加即可；
（3）根据题意选择识别正确率高的，中位数高的，合理即可．
21．（2024·西湖模拟）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；
（2）对比图①、图②可知______，______；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
【答案】（1）25，10
（2）10，1.5
（3）解：由题意可得，
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图可得，
甲的速度为：，乙的速度为：，
故答案为：25，10；
（2）由图可得，
，
，
故答案为：10，1.5；
【分析】（1）由图象提供的信息可得甲（1.5-0.5）小时工骑行了25km，乙2.5小时骑行了25千米，根据速度等于路程除以时间，列式计算即可；
（2）由图象提供的信息可得：前0.5小时，甲没有出发，甲乙两人之间的距离逐渐变大，然后甲出发，直至甲追上乙，两人之间的距离逐渐变小直至变为零，接着甲超越乙直至到达目的地，两人之间的距离逐渐变大，最后甲停止骑行直至乙到达目的地，两人之间的距离又逐渐变小，直至零；故a的值就是甲骑行（1.5-0.5）小时的路程与乙骑行1.5小时的路程差，进而根据路程等于速度乘以时间列式计算可求出a的值，b的值就是甲到达目的地的时间；
（3）首先判断出甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．
22．（2024·西湖模拟）综合与实践
【问题情境】
如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点．
【初步分析】
（1）线段与的数量关系为______，位置关系为______；
【深入分析】
（2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由：
（3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长．
【答案】（1）；
（2）四边形为菱形，理由如下；
由旋转得：，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3） ∵点是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴
∴，
又∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∴在中，
∴
∴．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
由旋转的性质，得，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即
故答案为：；
【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再利用SAS证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答；
（2）根据旋转性质，得出，可证明EM//BF，于是可得四边形是平行四边形，结合菱形的定义，即可得到结论.
（3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得，根据即可求解．
23．（2024·西湖模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：①当t=0时，将点A(3，0)代入抛物线解析式得9a+3(a-3)-3=0，得a=1，此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，对称轴为x=1；
②，即有m2-2m-3≧0，即(m+1)(m-3)≧0，
故或解得m≧3或m≦-1；
（2）解：t>0即有9a+3(a-3)-3>0，得a>1，对于抛物线，其对称轴为直线x=<1，即可知抛物线开口向上，且对称轴在直线x=1的左侧，
m>n，m+n>2
当m>n>1时，二次函数在x>1时y随x的增大而增大，p>q；
当m>1，n<1时，注意到m+n>2即有m>2-n，n<1，故2-n>1，故p>q
综上所述，p>q
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】(1)t=0时直接代入抛物线解析式可得a=1，再分类讨论解不等式；
(2)由题意可得a的范围，同时可知对称轴的位置，再由且 可得p和q的大小关系.
24．（2024·西湖模拟）在内接于，点在上，连结，分别交于点，，．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：延长交于点，连结MB，如图，
为的直径，
，
．
，，
，
即，
．
（2）①证明：，
，
，
．
，，∠FAB=∠CAE，
，
．
②，，
，
．
设，则，
∴，
设，则，
，，
，
，
，
，，
．
，，
，
，
，即，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）延长交于点，连结BM，利用圆周角定理得∠ABM=90°，利用三角形两锐角互余和圆周角定理得，即可得到结论；
（2）①利用平行线的性质和圆周角定理的推论可得，再利用三角形的外角的性质和角的运算可得∠CAF=∠CFA，最后利用等腰三角形的判定定理解答即可；
②利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
1 / 1浙江省杭州市西湖区之江实验中学2024年中考二模数学试题
一、选择题：（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·西湖模拟）珠穆朗玛峰是世界最高的山峰，某日测得山脚气温为19℃，山顶气温为℃，则山脚与山顶的温度差为（　　）
A．12℃ B．26℃ C．50℃ D．69℃
2．（2024·西湖模拟）如图所示的圆柱，它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·西湖模拟）把 分解因式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·西湖模拟）如图，于A，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·西湖模拟）如图所示，若点坐标为，则对应的点可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2024·西湖模拟）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·西湖模拟）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子去量竿，却比竿子短一托.”题目大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短了5尺.设竿长为尺，绳索长为尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·西湖模拟）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，为半径作弧交边于点D；②以点A为圆心，为半径作弧交于点E；③连结与．若要求的度数，则只需知道（　　）
A．的度数 B．的度数 C．的度数 D．的度数
9．（2024·西湖模拟）某小组在研究了函数与性质的基础上，进一步探究函数的性质，以下几个结论：
①函数的图象与轴有交点；
②函数的图象与轴没有交点：
③若点在函数的图象上，则点也在函数的图象上.
以上结论正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2024·西湖模拟）如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，连接，下列选项中的结论错误的是（　　）
A．
B．无论点E在何位置，总有
C．若，则线段的最小值为
D．若，的最大值为
二、填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024·西湖模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2024·西湖模拟）走路不仅可以帮助减肥，还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等小云、小南两名同学将同一星期内日步数的数据绘制成折线统计图，将步数方差分别记为，，从折线统计图可知，　 　（填“＞”，“＜”或“=”）．
13．（2024·西湖模拟）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示，
甲种糖果 乙种糖果
单价（元/千克） 30 20
千克数
将这千克甲种糖果和千克乙种糖果混合成什锦糖果，则混合什锦糖果的单价为　 　元/千克（用含和表示）.
14．（2024·西湖模拟）如图，正六边形与正方形都内接于，连接，则弦所对圆周角的度数为　 　．
15．（2024·西湖模拟）如图，4个小正方形拼成“L”型模具，其中两个顶点在y轴正坐标轴上，一个顶点在x轴负半轴上，顶点D在反比例函数的图象上，若，则　 　
16．（2024·西湖模拟）已知矩形纸片，将纸片沿折叠，使点与边上的点重合，展开纸片，连结，，与相交于点．将纸片继续沿折叠，点的对应点恰好落在上，展开纸片，连结，与交于点．已知，，则　 　；　 　．
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分）
17．（2024·西湖模拟）化简：．
圆圆的解答下：
圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．
18．（2024·西湖模拟）如图，在的正方形网格图中，小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，在该网格图中只用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在线段上画出点，使．
（2）画出的外接圆圆心，并连接，，求弧的长
19．（2024·西湖模拟）小璐在研究数学题的时候发现：任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍.
（1）计算的结果是4的几倍？
（2）设两个连续偶数较小的一个为（为整数），请论证“发现”中的结论正确；
（3）任意三个连续偶数的平方和一定是4的奇数倍吗？　 　（填“是”或“否”）.
20．（2024·西湖模拟）某公司准备从，两款语音识别软件中择优购买一款．为了解两款软件的性能，测试员小敏随机选取了20个句子，其中每句都含10个字．他用标准普通话以相同的语速朗读每个句子来测试这两款软件，并将语音识别结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
款软件每个句子中识别正确的字数记录为： ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图为：
、两款软件每个句子中识别正确的字数的统计表
软件 平均数 众数 中位数 识别正确达到10个字的句子所占百分比
款
款
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述中的______，______，______；
（2）若会议记录员用、两款软件各识别了个句子，每个句子有个文字，请估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有多少个？
（3）该公司现派采购小组前去购买一批同款语音识别输入软件，请你根据学过的统计量，从、两款软件中推荐一款进行采购，并简单说明你推荐的理由．
21．（2024·西湖模拟）甲骑电动车，乙骑自行车从深圳湾公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于x的函数图象如图①所示，甲、乙两人之间的路程差y关于x的函数图象如图②所示，请你解决以下问题：
（1）甲的速度是______km/h，乙的速度是______km/h；
（2）对比图①、图②可知______，______；
（3）乙出发多少时间，甲、乙两人路程差为7.5km？
22．（2024·西湖模拟）综合与实践
【问题情境】
如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，且始终满足．连接，，将线段绕点逆时针旋转一定角度，得到线段（点是点旋转后的对应点），并使点落在线段上，与交于点．
【初步分析】
（1）线段与的数量关系为______，位置关系为______；
【深入分析】
（2）如图②，再将线段绕点逆时针旋转90°，得到线段（点是点旋转后的对应点），连接，请判断四边形的形状，并说明理由：
（3）如图③，若点落在的延长线上，且当点恰好为的中点时，设与交于点，，求的长．
23．（2024·西湖模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.
（1）若，
①求此抛物线的对称轴；
②当时，直接写出的取值范围；
（2）若，点在该抛物线上，且，请比较，的大小，并说明理由.
24．（2024·西湖模拟）在内接于，点在上，连结，分别交于点，，．
（1）求证：．
（2）若．
①求证：．
②若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：竖直放置的圆柱体，从上面看到的平面图形为圆，即俯视图是圆．
故答案为：A．
【分析】俯视图是从上面向下看得到的正投影，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线，据此结合圆柱体的摆放方式即可判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先将多项式用完全平方公式分解因式，再选择正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵于A，∠1=54°，
∴，
∴∠DAC=36°.
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】先根据垂线的定义求出∠DAC的度数，再根据平行线的性质即可求出∠C的度数.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点E坐标为，
∴对应的点，可表示为将点E向左平移2个单位，再向上平移2个单位，
∴对应的点可能是A点，
故答案为：A．
【分析】根据平面直角坐标系中点坐标的平移特征进行分析求解即可．
6．【答案】B
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种
而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=；
故答案为：B.
【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率.
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：由作图可知：，，
∴，，
∴
，
故要求的度数，则只需知道的度数，
故选：C．
【分析】
由尺规作图方法知道图中有两个等腰三角形，利用等腰三角形的性质进行判断即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：函数y=x-，令y=0，则x-=0，即x2-2=0得x1=-，x2=，故①正确；
分式中，x≠0，故函数与y轴无交点，故②错误；
(a，b)在函数图象上，则有a-，则有，即，故也在函数图象上.
故答案为：B.
【分析】分别令y=0，求x的值可判断 ①，令x=0时无意义，即可判断
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆的相关概念
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，AB//CD，AD//BC，
∵，，
∴，
∵点E在矩形内部，
∴0过点E作QN//AB交AD于点Q，交BC于点N，作MP//AD交AB于点M，交DC于点P，如图所示：
∴AB//QN//CD，AD//MP//BC，
∴四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，
设，，，，
∴，，，，
∴，，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点E在以为直径的上，连接交于，如图所示：
则当E与重合时，线段的长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为8．故选项C正确，不符合题意；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
延长至F，使，连接AF，如图：
∴△AEF是等腰三角形，
∴.
以为边长向矩形内作等边，则点F在以O为圆心，为半径的优弧上运动，AE+BE=BF.
∴当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径．
故选项D错误，不符合题意．
【分析】连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得，结合点E在矩形ABCD内部，可判定A选项；
过点E作QN//AB交AD于点Q，交BC于点N，作MP//AD交AB于点M，交DC于点P，可证四边形是矩形，四边形，四边形，四边形均是矩形，根据勾股定理分别表示出AE，BE，DE，CE，计算可判定B选项；
根据题意得E在以为直径的上，连接交于，当E与重合时，线段的长最小，根据勾股定理求得OC长，OC－OE即可判定C选项；
延长至F，使，连接AF，以为边长向矩形内作等边，以O为圆心，为半径作，可判断点F在优弧上运动，于是当为直径时，即点E在点O处时，最大，最大为直径，可判定D选项．
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意可知，小云一星期内日步数在2400~16000范围内上下波动，而小南一星期内日步数在5300~13000范围内上下波动，
即小云的波动幅度相比小南更大.
∴，
故答案为：．
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
13．【答案】
【知识点】平均数及其计算；用代数式表示实际问题中的数量关系
14．【答案】或
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】连接，，，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴
∴.
∴弦所对圆周角的度数为或
故答案为：或．
【分析】先求出正六边形和正方形的边所对的圆心角，求差可得弦所对得圆心角，再分别求出优弧和劣弧所对得圆周角即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴，
∴小正方形边长为2，
∴，，，
如图， 作轴，垂足为点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，，
同理，
，
即，
∴，
∴
∴，
∵点D在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】先根据三角形面积求出小正方形的边长，再利用，，求出点D的坐标，然后把D的坐标代入求出k值解题．
16．【答案】；
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型；求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°。
∵△ADE折叠得△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=5，AE⊥DF，∠DAE=∠HAG.
∴∠EAD+∠ADF=90°.
∵，
∴，
∴.
∵，
∵，
∴，
∴，即，
∴AD=3DE=15.
∴AF=AD=15，
∵△DCF折叠得△DGF，
∴GF=FC=3.
∴AG=AF－GF=12.
∵∠FDC=∠HAG，∠DCF=∠AGH=90°，
∴△DCF∽△AGH
∴，即，
∴
故答案为：，．
【分析】连接，利用勾股定理列式求得，，再利用正切函数的定义求得，利用折叠的性质求得AD长，继而可计算AG的长，证明△DCF∽△AGH，即可利用相似三角形的性质计算AH的长.
17．【答案】解：圆圆的解答不正确，正确解答如下：
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】根据异分母分式的减法运算法则进行计算即可求解．
18．【答案】（1）解：∵
∴.
如图所示，取格点使得，
∵，
∴
∴
∴
（2）解：分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点O，则O为△ABC的外接圆圆心，如图所示：
连接BO，CO，
∵，，OB2+OC2=BC2，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠BOC=90°，
∴

【知识点】勾股定理的逆定理；确定圆的条件；弧长的计算；相似三角形的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点使得，根据勾股定理求得两个三角形的边长，进而根据三边对应成比例即可求解；
（2）找到的垂直平分线的交点，利用勾股定理的逆定理求得为直角三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
19．【答案】（1）解：=2+16=20=4×5，
故结果是4的5倍；
（2）解：(2n)2+(2n+2)2=4n2+4n2+8n+4=4(2n2+2n+1)，
n为整数，2n2和2n为偶数，
故2n2+2n+1为奇数.
（3）否
【知识点】因式分解的应用
20．【答案】（1），，
（2）解：（个）．
答：估计两款软件一字不差地识别正确的句子共有个．
（3）解：A，B两款的平均数都是7.7，但款软件识别正确的字数的中位数＞B款软件识别正确的字数的中位数，A款软件识别正确达到10个字的句子所占百分比为>款软件的识别率，
∴采购款软件
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）观察款软件每个句子中识别正确的字数记录可得：众数；
由款软件每个句子中识别正确的字数折线统计图：第10和第11个数据都是8，故中位数，
识别正确达到个字的句子所占百分比．
故答案为：；；．
【分析】（1）结合数据或折线统计图即可得解；
（2）由样本所占百分比分别估计A款和B款软件一字不差地识别正确的句子数再相加即可；
（3）根据题意选择识别正确率高的，中位数高的，合理即可．
21．【答案】（1）25，10
（2）10，1.5
（3）解：由题意可得，
前，乙行驶的路程为：，
则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，
设乙出发时，甲、乙两人路程差为，
，
解得，，
，得；
即乙出发或时，甲、乙两人路程差为．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图可得，
甲的速度为：，乙的速度为：，
故答案为：25，10；
（2）由图可得，
，
，
故答案为：10，1.5；
【分析】（1）由图象提供的信息可得甲（1.5-0.5）小时工骑行了25km，乙2.5小时骑行了25千米，根据速度等于路程除以时间，列式计算即可；
（2）由图象提供的信息可得：前0.5小时，甲没有出发，甲乙两人之间的距离逐渐变大，然后甲出发，直至甲追上乙，两人之间的距离逐渐变小直至变为零，接着甲超越乙直至到达目的地，两人之间的距离逐渐变大，最后甲停止骑行直至乙到达目的地，两人之间的距离又逐渐变小，直至零；故a的值就是甲骑行（1.5-0.5）小时的路程与乙骑行1.5小时的路程差，进而根据路程等于速度乘以时间列式计算可求出a的值，b的值就是甲到达目的地的时间；
（3）首先判断出甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后，由图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题．
22．【答案】（1）；
（2）四边形为菱形，理由如下；
由旋转得：，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3） ∵点是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴
∴，
又∵，
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∴在中，
∴
∴．
【知识点】菱形的判定；正方形的性质；解直角三角形；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）；理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
由旋转的性质，得，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
即
故答案为：；
【分析】（1）先根据正方形的性质，得出，再利用SAS证明，结合旋转性质，得出，进行角的等量代换，即可作答；
（2）根据旋转性质，得出，可证明EM//BF，于是可得四边形是平行四边形，结合菱形的定义，即可得到结论.
（3）先得出是的垂直平分线，进行角的等量代换以及直角三角形的两个锐角互补，得出，因为正方形的性质，得出，结合，进而求得，根据即可求解．
23．【答案】（1）解：①当t=0时，将点A(3，0)代入抛物线解析式得9a+3(a-3)-3=0，得a=1，此时抛物线的解析式为y=x2-2x-3，对称轴为x=1；
②，即有m2-2m-3≧0，即(m+1)(m-3)≧0，
故或解得m≧3或m≦-1；
（2）解：t>0即有9a+3(a-3)-3>0，得a>1，对于抛物线，其对称轴为直线x=<1，即可知抛物线开口向上，且对称轴在直线x=1的左侧，
m>n，m+n>2
当m>n>1时，二次函数在x>1时y随x的增大而增大，p>q；
当m>1，n<1时，注意到m+n>2即有m>2-n，n<1，故2-n>1，故p>q
综上所述，p>q
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】(1)t=0时直接代入抛物线解析式可得a=1，再分类讨论解不等式；
(2)由题意可得a的范围，同时可知对称轴的位置，再由且 可得p和q的大小关系.
24．【答案】（1）证明：延长交于点，连结MB，如图，
为的直径，
，
．
，，
，
即，
．
（2）①证明：，
，
，
．
，，∠FAB=∠CAE，
，
．
②，，
，
．
设，则，
∴，
设，则，
，，
，
，
，
，，
．
，，
，
，
，即，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）延长交于点，连结BM，利用圆周角定理得∠ABM=90°，利用三角形两锐角互余和圆周角定理得，即可得到结论；
（2）①利用平行线的性质和圆周角定理的推论可得，再利用三角形的外角的性质和角的运算可得∠CAF=∠CFA，最后利用等腰三角形的判定定理解答即可；
②利用相似三角形的判定与性质得到，设，则，设，则，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论；
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