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2024年浙江省丽水市莲都区中考二模考试数学试题
1．（2024九下·莲都模拟）点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是　　
A． B． C． D．
2．（2024九下·莲都模拟）鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·莲都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·莲都模拟）要反映2018年上半年青岛市各县（区）常住人口占本市总人口的比例，宜采用（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数直方图
5．（2024九下·莲都模拟）在平面直角坐标系中，将点沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（　　）
A．9 B．5 C．3 D．
6．（2024九下·莲都模拟）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高度为，个叠放在一起的纸杯的高度为，则个这样的纸杯按照同样方式叠放在一起，总高度（单位：）是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·莲都模拟）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·莲都模拟）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
9．（2024九下·莲都模拟）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·莲都模拟）如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点，且，则为（　　）．
A． B． C． D．
11．（2024九下·莲都模拟）因式分解: 　 　.
12．（2024九下·莲都模拟）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法。某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是　 　。
13．（2024九下·莲都模拟）如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是　 　．
14．（2024九下·莲都模拟）如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点，则的值是　 　．
15．（2024九下·莲都模拟）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，则的值为　 　．
16．（2024九下·莲都模拟）如图，由张纸片拼成，相邻纸片之间互不重叠且无缝隙，其中两张全等的等腰，纸片的面积均为，另两张全等的直角三角形纸片的面积均为，中间纸片是正方形，直线分别交和于点，．设．，，若，，则的长为　 　．
17．（2024九下·莲都模拟）（1）计算：；
（2）化简：
18．（2024九下·莲都模拟）课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知，，求证：．”
小莲同学解答如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
19．（2024九下·莲都模拟）A，B两家外卖送餐公司记录近10次送餐到某企业用时（单位：分）如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A公司送餐用时 26 26 30 25 27 29 24 28 30 25
B公司送餐用时 20 18 21 16 34 32 15 14 35 15
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示．根据信息回答下列问题：
（1）写出A，B两家公司送餐时间的中位数；
（2）计算A，B两家公司送餐时间的平均数；
（3）选择合适的统计量，结合折线统计图，请你分别为A，B两家公司提出优化服务质量的建议．
20．（2024九下·莲都模拟）如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米．
（1）求的长；
（2）移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）．
（参考依据：，，，
21．（2024九下·莲都模拟）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
（2）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
22．（2024九下·莲都模拟）已知，点D为内一点，
【复习】如图1，于点B，于点C，直接写出和的数量关系；
【运用】将图1中的绕顶点D旋转一定的角度，如图2，请判断和的数量关系并证明；
【拓展】改变图2中点D的位置，保持的大小不变，如图3，试用α，β的三角函数表示并说明理由．
23．（2024九下·莲都模拟）已知二次函数．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
（2）若，已知点，点，当二次函数的图象与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
24．（2024九下·莲都模拟）点D是以为直径的⊙O上一点，点B在延长线上，连接交⊙O于点E．
（1）如图1，当点E是的中点时，连接，求证：；
（2）连接将沿所在的直线翻折，点B的对应点落在⊙O上的点F处，作交于点G．
①当E，G两点重合时（如图2），求与的面积之比；
②当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平移的性质
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故A不符合题意；
B、x6÷x3=x3，故B不符合题意；
C、（x3）4=x12，故C不符合题意；
D、x3·x4=x7，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对D作出判断.
4．【答案】C
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：要反映2018年上半年青岛市各县（区）常住人口占本市总人口的比例，宜采用扇形统计图.
故答案为：C．
【分析】根据统计图的特点，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．据此可得答案．
5．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点沿轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点，
故点的坐标是为，
点的横、纵坐标相等，
，
．
故答案为：B．
【分析】左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．据此得到平移之后点N的坐标，再根据题意列方程，求解即可》
6．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察得，增加一个杯子，增加一个杯沿的高度，即一个杯沿的高度为：，
故个纸杯叠放在一起的高度．
故答案为：B．
【分析】求出每增加一个杯子的高度，再计算一个杯身的高度与n个杯沿的高度和即可．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵CE与 相切，
∴，
∵∠E=40°，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，由切线的性质可得，进而可得，由圆周角定理得，计算求解即可．
8．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：4<7<9，
∴，
，，
.
故答案为：D
【分析】估算的范围可得，于是可确定、的值，再代入计算即可．
9．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，先逐渐细小，再逐渐变宽．
故注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
∴函数图象大概可以表示为：
故答案为：D．
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，由v=底面积×高，底面积越小，高增加的越快，可得注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，据此可确定函数图象．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；全等三角形中对应边的关系；求余弦值
【解析】【解答】解：延长DF，AB，相交于点H，过点A作AG//BC交DC于点G，如图所示：
，
∴，∠H=∠EDC，四边形ABCG是平行四边形.
∵是中点，
∴，
∴，
∴AH=DC，EH=DE.
∵四边形ABCG是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCG是菱形.
∴AG=GC=CB=BA.
∴∠GAC=∠GCA，
∵AD⊥AC，
∴∠DAG+∠GAC=90°=∠ADG+∠GCA，
∴∠DAG=∠ADG，
∴DG=AG=GC，即点G为DC中点，
∴点B为AH中点，即AB=BH.
∵AH//DC，
∴.
设BF=m，则FC=2m，AB=BC=3m，DC=2AB=6m.
∵DF⊥BC，
∴△DFC为直角三角形，
∴，
∴，，
∴，.
∴Rt△EFC中，，
∴.
∴Rt△ACD中，
故答案为：C．
【分析】延长DF，AB，相交于点H，过点A作AG//BC交DC于点G，证明，可得AH=DC，EH=DE.证明四边形ABCG是菱形，可得AG=GC=CB=BA.证明∠DAG=∠ADG，可得DG=AG=GC，于是可推得AB=BH.根据“平行线分线段成比例”可得，设BF=m，则FC=2m，AB=BC=3m，DC=2AB=6m，利用勾股定理求得DF长，继而可依次得FH，DE，EF的长；再次利用勾股定理求出CE的长，再得AC长，即可计算cos∠ACD的值.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生任意选修一门，
∴ 小丽同学恰好选修了中医的概率是.
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：正九边形的一个中心角的度数为，
圆面直径为，
圆面半径为，
的长是，
故答案为：，
【分析】根据正多边形的性质确定出中心角，再利用弧长公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，如图所示：
四边形是菱形，，设，
∴，AC⊥BD，，AC=2AE，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，
，，
，
由作图可得，
，
的值是：，
故答案为：．
【分析】连接交于点，设，根据菱形的性质得到，AC⊥BD，，AC=2AE，证明∠BAO=30°，于是可利用含30°角的直角三角形的性质求得BO和AO的长，进而可得AC和AE的长，利用AC－AE得EC的长，即可得到结论．
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理
【解析】【解答】解：记AC和BE相交于点F，如图所示：
，可令，．
，
点坐标可表示为，B：，．
点A和点B都在的图象上，
，
∴t=1，
即．
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，BE⊥y轴，
∴四边形BDCF为矩形，
∴CF=BD=1，
∴.
∵，
∴，
点坐标为，
．
故答案为：．
【分析】记AC和BE相交于点F，根据可设，，根据题意设点，B，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，求出t的值，可得点B的纵坐标，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长，于是可得点A的坐标，问题即可解决．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△AHB和△CFD为全等的直角三角形，，
∴BH=FD=m，CF=AH=n.
∵四边形是正方形，设，
∴，∠EHF=∠GHF=∠EFH=∠GFH=45°，
∴∠AHM=∠GHF=∠EFH=∠CFN=45°.
∵和是等腰直角三角形，
∴，∠MAH=∠NCF=45°，
∴△MAH和△NCF都是等腰直角三角形，
∴.
∴.
∵，，都是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的性质得BH=FD=m，CF=AH=n.设，根据正方形的性质得，∠EHF=∠GHF=∠EFH=∠GFH=45°，根据等腰三角形的性质和对顶角的性质可得，继而可得；根据等腰三角形和全等三角形的性质可得，代入数据得，结合 可得.用n表示出 和，利用得关于n的方程，代入n和a的值，即可得到MN的长.
17．【答案】解：（1）
=4－3+2=3.
（2）

【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算负整数指数幂，开平方，去绝对值，再进行有理数的加减运算即可；
（2）先算利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行展开，再合并同类项即可．
18．【答案】解：小莲的证法是错误的．
证明过程如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质推出，，由同角的补角相等即可推出．
19．【答案】（1）解：把A公司10次送餐用时从小到大排列为：24、25、25、26、26、27、28、29、30、30，
排在中间的两个数为26、27，
故中位数为（分钟）；
把公司10次送餐用时从小到大排列为：14、15、15、16、18、20、21、32、34、35，
排在中间的两个数为18、20，
故中位数为（分钟）；
故 A，B两家公司送餐时间的中位数分别为26.5分钟和19分钟.
（2）公司送餐时间的平均数为：
（分钟）；
公司送餐时间的平均数为：
（分钟）；
（3）由（1）（2）的结果可知，A公司送餐时间的平均数和中位数都大于B公司，A公司应该提高送餐速度；
B公司送餐时间差异很大，B公司应该提升每次送餐时间的稳定性.
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）结合中位数、平均数和方差的定义解答即可．
20．【答案】（1）解：，
，
，
，
∵米，
（米)，
的长约为2米；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵米，
（米，
顶点上升的高度为（米），
顶点上升的高度约为0.2米．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，根据垂直定义得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）利用等边三角形的性质可得，然后在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出的长，相减即可得到答案．
21．【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将点代入得：
解得：
所以与之间的函数表达式为．
（2）解：当时，，
解得，
所以．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设与之间的函数表达式为，点分别代入可得关于字母k、h的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而即可得到F关于h的函数解析式；
（2）由题意得F≤6，结合（1）的结论可得关于字母h的不等式，求解并结合实际意义即可得出答案.
22．【答案】【复习】；
【运用】解：CD=BD，理由如下：
过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，如图所示：
∴DE=DF.
在图（1）中，于点B，于点C，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
∵∠ACD+∠CDB+∠ABD+∠CAB=360°，
∴∠CDB+∠CAB=180°.
由旋转可得，∠CDB+∠CAB=180°依然成立；
∴∠CDB=∠EDF，即∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB，
∴∠EDC=∠FDB.
又∵，DE=DF，
∴≌（ASA），
∴；
【拓展】解：，理由如图：
过点D作DM⊥AC于点M，作DN⊥AB于点N，如图所示：
由【运用】可得，∠MDC=∠NDB.
∵，
∴∽，
∴，
∵Rt△MAD中，；Rt△NAD中，，
∴DM=AD·sinα，DN=AD·sinβ，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：【复习】∵于点B，于点C，
∴；
故答案为：；
【分析】【复习】：根据角平分线的性质直接判断即可；
【运用】：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，利用图1可证得∠CDB+∠CAB=180°，进而可证明∠EDC=∠FDB.再证明≌即可得到结论；
【拓展】：过点D作DM⊥AC于点M，作DN⊥AB于点N，证明∽，可得，分别利用锐角三角函数表示出DM和DN，代入即可得到结论.
23．【答案】（1）解：①∵，对称轴为直线，
∴，
∴，
把点代入得，，
∴该函数的表达式为；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：a的取值范围为：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴抛物线的顶点为，
把代入得，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为、，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图象与线段有交点，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，当时，二次函数的图象与线段有交点，
综上所述，当或时，二次函数的图象与线段有交点．
【分析】（1）①根据对称轴直线公式求得，再把代入得，，即可求解；
②对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意得，再利用配方法可得，根据平方的非负性即可求解；
（2）由题意可得，，则，抛物线的顶点为，令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可求出抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可．
24．【答案】（1）证明：∵为⊙O的直径，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵∠A=180°－∠ACE－∠AEC，∠B=180°－∠BCE－∠BEC，
∴，
∴．
（2）解：①由折叠可知，，∠B=∠F=∠BAD.
∵为⊙O的直径，
∴，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD，.
∵，点G和点E重合，
∴EF//BC，
∴∠B=∠F=∠FDC，
∴BA//DE，
∴四边形BDFE是菱形，
∴BD=BE，
∴.
由折叠可知与的面积相等，
与的面积之比就等于；
∴；
②由折叠可得：BE=EF，BD=DF，∠B=∠DFE.
由①可得：△ABD是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，BD=AD，
∴，DF=AD.
∵∵为⊙O的直径，
∴，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵BC=10，
∴.
连接EC，作EH⊥GF于点H，过点G作GT⊥BD于点T，如图所示：
∵GF//BC，
∴∠AGP=45°，GT⊥GF，AD⊥GF，
四边形GTDP为矩形，△BTG，△GHE和△GPA都是等腰直角三角形，
∴PD=GT=BT，GH=EH，GP=AP.
∵，
∴GH=EH=1.
∴在Rt△EHF中，，
（Ⅰ）当交点G在E的下方时，如上图所示：则FG=HF+HG=8.
∴，
∴PD=GT=BT=4.
设GP=AP=m，则PF=GF－GP=8－m，DF=AD=4+m.
在Rt△PFD中，PF2+PD2=DF2，
∴(8－m)2+42=(4+m)2，
解得：
∴.
（Ⅱ）当交点G在E的下方时，如下图所示：则FG=HF－HG=6.
∴，
∴PD=GT=BT=6.
设GP=AP=m，则PF=GF－GP=6－m，DF=AD=6+m.
在Rt△PFD中，PF2+PD2=DF2，
∴(6－m)2+62=(6+m)2，
解得：
∴.
综上：当交点G在E的下方时，，当交点G在E的上方时，.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和圆周角性质得出和，再利用三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①证明△ABD是等腰直角三角形，可得BD=AD，.证明四边形是菱形，可得BD=BE，再结合折叠的性质即可得到答案；
（2）②证明△ABD是等腰直角三角形，可得，DF=AD；证明△BEC是等腰直角三角形，可得；连接EC，作EH⊥GF于点H，过点G作GT⊥BD于点T，证明四边形GTDP为矩形，△BTG，△GHE和△GPA都是等腰直角三角形，可得PD=GT=BT，GH=EH，GP=AP.先求得GH和EH的长，继而可利用勾股定理求得FH的长.再分（Ⅰ）交点G在E的下方时和（Ⅱ）当交点G在E的上方时两种情况，分别计算出FG和PD的长，设GP=AP=m，表示出PF和DF，在Rt△PFD中利用勾股定理求得m的值，即可得到AB的长.
1 / 12024年浙江省丽水市莲都区中考二模考试数学试题
1．（2024九下·莲都模拟）点从数轴的原点出发，沿数轴先向左（负方向）移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度，用算式表示上述过程与结果，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
2．（2024九下·莲都模拟）鲁班锁是中国传统的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
3．（2024九下·莲都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x2+x不能合并，故A不符合题意；
B、x6÷x3=x3，故B不符合题意；
C、（x3）4=x12，故C不符合题意；
D、x3·x4=x7，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对B作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对C作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对D作出判断.
4．（2024九下·莲都模拟）要反映2018年上半年青岛市各县（区）常住人口占本市总人口的比例，宜采用（　　）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数直方图
【答案】C
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：要反映2018年上半年青岛市各县（区）常住人口占本市总人口的比例，宜采用扇形统计图.
故答案为：C．
【分析】根据统计图的特点，扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．据此可得答案．
5．（2024九下·莲都模拟）在平面直角坐标系中，将点沿x轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点N，若点N的横、纵坐标相等，则a的值是（　　）
A．9 B．5 C．3 D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点沿轴向左平移2个单位长度后，再向下平移3个单位，得到点，
故点的坐标是为，
点的横、纵坐标相等，
，
．
故答案为：B．
【分析】左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．据此得到平移之后点N的坐标，再根据题意列方程，求解即可》
6．（2024九下·莲都模拟）如图是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得个纸杯的高度为，个叠放在一起的纸杯的高度为，则个这样的纸杯按照同样方式叠放在一起，总高度（单位：）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察得，增加一个杯子，增加一个杯沿的高度，即一个杯沿的高度为：，
故个纸杯叠放在一起的高度．
故答案为：B．
【分析】求出每增加一个杯子的高度，再计算一个杯身的高度与n个杯沿的高度和即可．
7．（2024九下·莲都模拟）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵CE与 相切，
∴，
∵∠E=40°，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，由切线的性质可得，进而可得，由圆周角定理得，计算求解即可．
8．（2024九下·莲都模拟）设实数的整数部分为，小数部分为．则的值为（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：4<7<9，
∴，
，，
.
故答案为：D
【分析】估算的范围可得，于是可确定、的值，再代入计算即可．
9．（2024九下·莲都模拟）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，先逐渐细小，再逐渐变宽．
故注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，
∴函数图象大概可以表示为：
故答案为：D．
【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，由v=底面积×高，底面积越小，高增加的越快，可得注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，据此可确定函数图象．
10．（2024九下·莲都模拟）如图，在四边形中，，，，点为对角线的中点，射线交边于点，且，则为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；全等三角形中对应边的关系；求余弦值
【解析】【解答】解：延长DF，AB，相交于点H，过点A作AG//BC交DC于点G，如图所示：
，
∴，∠H=∠EDC，四边形ABCG是平行四边形.
∵是中点，
∴，
∴，
∴AH=DC，EH=DE.
∵四边形ABCG是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCG是菱形.
∴AG=GC=CB=BA.
∴∠GAC=∠GCA，
∵AD⊥AC，
∴∠DAG+∠GAC=90°=∠ADG+∠GCA，
∴∠DAG=∠ADG，
∴DG=AG=GC，即点G为DC中点，
∴点B为AH中点，即AB=BH.
∵AH//DC，
∴.
设BF=m，则FC=2m，AB=BC=3m，DC=2AB=6m.
∵DF⊥BC，
∴△DFC为直角三角形，
∴，
∴，，
∴，.
∴Rt△EFC中，，
∴.
∴Rt△ACD中，
故答案为：C．
【分析】延长DF，AB，相交于点H，过点A作AG//BC交DC于点G，证明，可得AH=DC，EH=DE.证明四边形ABCG是菱形，可得AG=GC=CB=BA.证明∠DAG=∠ADG，可得DG=AG=GC，于是可推得AB=BH.根据“平行线分线段成比例”可得，设BF=m，则FC=2m，AB=BC=3m，DC=2AB=6m，利用勾股定理求得DF长，继而可依次得FH，DE，EF的长；再次利用勾股定理求出CE的长，再得AC长，即可计算cos∠ACD的值.
11．（2024九下·莲都模拟）因式分解: 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x2-16=（x+4）（x-4）．
故答案为（x+4）（x-4）．
【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）
12．（2024九下·莲都模拟）中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法。某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是　 　。
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： ∵某校开设京剧、武术、中医和书法这四门课程供学生任意选修一门，
∴ 小丽同学恰好选修了中医的概率是.
故答案为：.
【分析】直接利用概率公式求解即可.
13．（2024九下·莲都模拟）如图是第四套人民币一角硬币，圆面直径为，硬币边缘镌刻正多边形，A，B为该正多边形相邻的两个顶点，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：正九边形的一个中心角的度数为，
圆面直径为，
圆面半径为，
的长是，
故答案为：，
【分析】根据正多边形的性质确定出中心角，再利用弧长公式计算即可．
14．（2024九下·莲都模拟）如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接交于点，如图所示：
四边形是菱形，，设，
∴，AC⊥BD，，AC=2AE，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，
，，
，
由作图可得，
，
的值是：，
故答案为：．
【分析】连接交于点，设，根据菱形的性质得到，AC⊥BD，，AC=2AE，证明∠BAO=30°，于是可利用含30°角的直角三角形的性质求得BO和AO的长，进而可得AC和AE的长，利用AC－AE得EC的长，即可得到结论．
15．（2024九下·莲都模拟）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；勾股定理
【解析】【解答】解：记AC和BE相交于点F，如图所示：
，可令，．
，
点坐标可表示为，B：，．
点A和点B都在的图象上，
，
∴t=1，
即．
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，BE⊥y轴，
∴四边形BDCF为矩形，
∴CF=BD=1，
∴.
∵，
∴，
点坐标为，
．
故答案为：．
【分析】记AC和BE相交于点F，根据可设，，根据题意设点，B，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，求出t的值，可得点B的纵坐标，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的长，于是可得点A的坐标，问题即可解决．
16．（2024九下·莲都模拟）如图，由张纸片拼成，相邻纸片之间互不重叠且无缝隙，其中两张全等的等腰，纸片的面积均为，另两张全等的直角三角形纸片的面积均为，中间纸片是正方形，直线分别交和于点，．设．，，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△AHB和△CFD为全等的直角三角形，，
∴BH=FD=m，CF=AH=n.
∵四边形是正方形，设，
∴，∠EHF=∠GHF=∠EFH=∠GFH=45°，
∴∠AHM=∠GHF=∠EFH=∠CFN=45°.
∵和是等腰直角三角形，
∴，∠MAH=∠NCF=45°，
∴△MAH和△NCF都是等腰直角三角形，
∴.
∴.
∵，，都是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的性质得BH=FD=m，CF=AH=n.设，根据正方形的性质得，∠EHF=∠GHF=∠EFH=∠GFH=45°，根据等腰三角形的性质和对顶角的性质可得，继而可得；根据等腰三角形和全等三角形的性质可得，代入数据得，结合 可得.用n表示出 和，利用得关于n的方程，代入n和a的值，即可得到MN的长.
17．（2024九下·莲都模拟）（1）计算：；
（2）化简：
【答案】解：（1）
=4－3+2=3.
（2）

【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先算负整数指数幂，开平方，去绝对值，再进行有理数的加减运算即可；
（2）先算利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则进行展开，再合并同类项即可．
18．（2024九下·莲都模拟）课课堂上同学们独立完成了这样一道问题：“如图，已知，，求证：．”
小莲同学解答如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
小莲的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】解：小莲的证法是错误的．
证明过程如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由平行线的性质推出，，由同角的补角相等即可推出．
19．（2024九下·莲都模拟）A，B两家外卖送餐公司记录近10次送餐到某企业用时（单位：分）如下表：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A公司送餐用时 26 26 30 25 27 29 24 28 30 25
B公司送餐用时 20 18 21 16 34 32 15 14 35 15
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示．根据信息回答下列问题：
（1）写出A，B两家公司送餐时间的中位数；
（2）计算A，B两家公司送餐时间的平均数；
（3）选择合适的统计量，结合折线统计图，请你分别为A，B两家公司提出优化服务质量的建议．
【答案】（1）解：把A公司10次送餐用时从小到大排列为：24、25、25、26、26、27、28、29、30、30，
排在中间的两个数为26、27，
故中位数为（分钟）；
把公司10次送餐用时从小到大排列为：14、15、15、16、18、20、21、32、34、35，
排在中间的两个数为18、20，
故中位数为（分钟）；
故 A，B两家公司送餐时间的中位数分别为26.5分钟和19分钟.
（2）公司送餐时间的平均数为：
（分钟）；
公司送餐时间的平均数为：
（分钟）；
（3）由（1）（2）的结果可知，A公司送餐时间的平均数和中位数都大于B公司，A公司应该提高送餐速度；
B公司送餐时间差异很大，B公司应该提升每次送餐时间的稳定性.
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）根据加权平均数公式计算即可；
（3）结合中位数、平均数和方差的定义解答即可．
20．（2024九下·莲都模拟）如图，一把人字梯立在地面上，，，梯子顶端离地面的高度是1.54米．
（1）求的长；
（2）移动梯子底端，当是等边三角形时，求顶点上升的高度（精确到0.1米）．
（参考依据：，，，
【答案】（1）解：，
，
，
，
∵米，
（米)，
的长约为2米；

（2）解：∵△ABC是等边三角形，
∴，
∵米，
（米，
顶点上升的高度为（米），
顶点上升的高度约为0.2米．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得，根据垂直定义得，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）利用等边三角形的性质可得，然后在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出的长，相减即可得到答案．
21．（2024九下·莲都模拟）如图是小明“探究拉力与斜面高度关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面（斜面足够长）斜向上做匀速直线运动，实验结果如图1、图2所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力是高度的一次函数．
（1）求出与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
（2）若弹簧测力计的最大量程是，求装置高度的取值范围．
【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将点代入得：
解得：
所以与之间的函数表达式为．
（2）解：当时，，
解得，
所以．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设与之间的函数表达式为，点分别代入可得关于字母k、h的二元一次方程组，求解得出k、b的值，从而即可得到F关于h的函数解析式；
（2）由题意得F≤6，结合（1）的结论可得关于字母h的不等式，求解并结合实际意义即可得出答案.
22．（2024九下·莲都模拟）已知，点D为内一点，
【复习】如图1，于点B，于点C，直接写出和的数量关系；
【运用】将图1中的绕顶点D旋转一定的角度，如图2，请判断和的数量关系并证明；
【拓展】改变图2中点D的位置，保持的大小不变，如图3，试用α，β的三角函数表示并说明理由．
【答案】【复习】；
【运用】解：CD=BD，理由如下：
过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，如图所示：
∴DE=DF.
在图（1）中，于点B，于点C，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
∵∠ACD+∠CDB+∠ABD+∠CAB=360°，
∴∠CDB+∠CAB=180°.
由旋转可得，∠CDB+∠CAB=180°依然成立；
∴∠CDB=∠EDF，即∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB，
∴∠EDC=∠FDB.
又∵，DE=DF，
∴≌（ASA），
∴；
【拓展】解：，理由如图：
过点D作DM⊥AC于点M，作DN⊥AB于点N，如图所示：
由【运用】可得，∠MDC=∠NDB.
∵，
∴∽，
∴，
∵Rt△MAD中，；Rt△NAD中，，
∴DM=AD·sinα，DN=AD·sinβ，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：【复习】∵于点B，于点C，
∴；
故答案为：；
【分析】【复习】：根据角平分线的性质直接判断即可；
【运用】：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，利用图1可证得∠CDB+∠CAB=180°，进而可证明∠EDC=∠FDB.再证明≌即可得到结论；
【拓展】：过点D作DM⊥AC于点M，作DN⊥AB于点N，证明∽，可得，分别利用锐角三角函数表示出DM和DN，代入即可得到结论.
23．（2024九下·莲都模拟）已知二次函数．
（1）当时，
①若该函数图象的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
（2）若，已知点，点，当二次函数的图象与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：①∵，对称轴为直线，
∴，
∴，
把点代入得，，
∴该函数的表达式为；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：a的取值范围为：或.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴抛物线的顶点为，
把代入得，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为、，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图象与线段有交点，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，当时，二次函数的图象与线段有交点，
综上所述，当或时，二次函数的图象与线段有交点．
【分析】（1）①根据对称轴直线公式求得，再把代入得，，即可求解；
②对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意得，再利用配方法可得，根据平方的非负性即可求解；
（2）由题意可得，，则，抛物线的顶点为，令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可求出抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可．
24．（2024九下·莲都模拟）点D是以为直径的⊙O上一点，点B在延长线上，连接交⊙O于点E．
（1）如图1，当点E是的中点时，连接，求证：；
（2）连接将沿所在的直线翻折，点B的对应点落在⊙O上的点F处，作交于点G．
①当E，G两点重合时（如图2），求与的面积之比；
②当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵为⊙O的直径，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵∠A=180°－∠ACE－∠AEC，∠B=180°－∠BCE－∠BEC，
∴，
∴．
（2）解：①由折叠可知，，∠B=∠F=∠BAD.
∵为⊙O的直径，
∴，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=AD，.
∵，点G和点E重合，
∴EF//BC，
∴∠B=∠F=∠FDC，
∴BA//DE，
∴四边形BDFE是菱形，
∴BD=BE，
∴.
由折叠可知与的面积相等，
与的面积之比就等于；
∴；
②由折叠可得：BE=EF，BD=DF，∠B=∠DFE.
由①可得：△ABD是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，BD=AD，
∴，DF=AD.
∵∵为⊙O的直径，
∴，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵BC=10，
∴.
连接EC，作EH⊥GF于点H，过点G作GT⊥BD于点T，如图所示：
∵GF//BC，
∴∠AGP=45°，GT⊥GF，AD⊥GF，
四边形GTDP为矩形，△BTG，△GHE和△GPA都是等腰直角三角形，
∴PD=GT=BT，GH=EH，GP=AP.
∵，
∴GH=EH=1.
∴在Rt△EHF中，，
（Ⅰ）当交点G在E的下方时，如上图所示：则FG=HF+HG=8.
∴，
∴PD=GT=BT=4.
设GP=AP=m，则PF=GF－GP=8－m，DF=AD=4+m.
在Rt△PFD中，PF2+PD2=DF2，
∴(8－m)2+42=(4+m)2，
解得：
∴.
（Ⅱ）当交点G在E的下方时，如下图所示：则FG=HF－HG=6.
∴，
∴PD=GT=BT=6.
设GP=AP=m，则PF=GF－GP=6－m，DF=AD=6+m.
在Rt△PFD中，PF2+PD2=DF2，
∴(6－m)2+62=(6+m)2，
解得：
∴.
综上：当交点G在E的下方时，，当交点G在E的上方时，.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和圆周角性质得出和，再利用三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①证明△ABD是等腰直角三角形，可得BD=AD，.证明四边形是菱形，可得BD=BE，再结合折叠的性质即可得到答案；
（2）②证明△ABD是等腰直角三角形，可得，DF=AD；证明△BEC是等腰直角三角形，可得；连接EC，作EH⊥GF于点H，过点G作GT⊥BD于点T，证明四边形GTDP为矩形，△BTG，△GHE和△GPA都是等腰直角三角形，可得PD=GT=BT，GH=EH，GP=AP.先求得GH和EH的长，继而可利用勾股定理求得FH的长.再分（Ⅰ）交点G在E的下方时和（Ⅱ）当交点G在E的上方时两种情况，分别计算出FG和PD的长，设GP=AP=m，表示出PF和DF，在Rt△PFD中利用勾股定理求得m的值，即可得到AB的长.
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