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四川省宜宾市叙州区叙州区龙文学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
1．（2024九下·叙州期中）在实数，，，中，最小的数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是，
故答案为：A．
【分析】利用实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
2．（2024九下·叙州期中）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得：该几何体的俯视图为一个长方形，中间有一个圆形．
故答案为：B．
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形.
3．（2024九下·叙州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不是同类项，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算正确，符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据平方差公式可判断B选项；根据单项式乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”进行计算可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
4．（2024九下·叙州期中）预计在2023—2024年雪季，吉林省“北大湖”滑雪场接待游客人次，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
5．（2024九下·叙州期中）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示.
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 2 3 5 4 1
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（　　）
A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得出现了5次，次数最多，
运动员的成绩的众数为：米．
将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，
运动员的成绩的中位数是米．
故答案为：A
【分析】根据众数和中位数的定义结合表格数据即可求解。
6．（2024九下·叙州期中）如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOB=60°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可求出答案.
7．（2024九下·叙州期中）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
∵△=b2-4ac=（-3）2-4×2×=-3＜0，
∴此方程无实数根；
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
8．（2024九下·叙州期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据作图过程可知是的平分线，利用角平分线的概念可证得∠EBG=∠CBG， 利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得GE=GC，同时可求出∠BEG的度数，再利用勾股定理即可求出AE的长，可得到DE的长；然后利用勾股定理可得到关于CG的方程，解方程求出CG的长.
9．（2024九下·叙州期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，
∵OA=OB，点N是AB的中点，
∴，
∴点M，N，O三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接ON，由等腰三角形的三线合一得出ON⊥AB，由同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直已知直线可得点M，N，O三点共线，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AOB=60°，OA=AB=4，然后根据∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出ON的长，进而根据线段和差可算出MN的长，最后代入弧长公式计算可得答案.
10．（2024九下·叙州期中）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为m+3＜x＜3，
∴关于x的不等式组的整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m+3＜-1，
∴，
故答案为：A
【分析】先解不等式组即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求出m的取值范围。
11．（2024九下·叙州期中）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故答案为：C．
【分析】过点C作于D，连接，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，即，再根据三角形面积可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，当最小时，即最小，当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，即可求出答案.
12．（2024九下·叙州期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开 向下，
∴，故①错误，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
设点B坐标为
∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为，
∴，解得：，
∴点B的坐标为，故②正确，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴
∴由得，即，故③正确；
∵，抛物线对称轴为直线，
∴当时，时函数最大值，
当时，，
∴，即，
综上所述：正确的结论有②③④，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线开口方向向上可确定出a的符号，可对①进行判断；利用二次函数图象的对称性可得B点坐标，可对②进行判断；根据点A，点B代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④．
13．（2024九下·叙州期中）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
，且x-3≠0，
，
，
故答案为：．
【分析】首先根据式子有意义，可得出，解不等式即可得出实数x的取值范围。
14．（2024九下·叙州期中）因式分解： 　 　.
【答案】(x+3y)(x-3y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
故答案为：(x+3y)(x-3y).
【分析】观察原式形式可知刚好是平方差公式的形式，由平方差公式： 两个数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积，可对原式进行因式分解.
15．（2024九下·叙州期中）如图，，交于点F，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
是的外角，
故答案为：
【分析】先根据两直线平行，同位角相等可求出∠EFD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出的度数．
16．（2024九下·叙州期中）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】利用平行四边形的性质，可证得，利用平行线的性质可证得；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例可求出的比值，然后利用三角形的面积公式进行求解.
17．（2024九下·叙州期中）关于的分式方程有增根，则　 　 ．
【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
18．（2024九下·叙州期中）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，易证，利用相似三角形的对应边成比例可证得，根据，可知，设，，则，，可表示出EC的长；在和中，利用勾股定理，可得方程，然后代入数值可表示出n，EM的长，利用勾股定理表示出GM的长，根据正切的定义，即可求解．
19．（2024九下·叙州期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）首先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质“”、a0=1(a≠0)、及绝对值的代数意义分别化简，进而计算二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的加法，同时根据完全平方公式将除式的分子分解因式，利用提取公因式法将除式的分母分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果，计算后再分母有理数即可.
20．（2024九下·叙州期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．试说明：
（1）；
（2）．
【答案】证明：（1）∵，
∴，即，
在△ABC与△DEF中，
，
∴；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠A=∠EGC．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据等式性质，由BE=CF得BC=EF，再根据SSS定理得△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的对应角相等得∠B=∠DEF，由同位角相等，两直线平行得AB∥DE，再根据两直线平行，同位角相等得∠A=∠EGC．
21．（2024九下·叙州期中）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某高校为了了解学生对“奥运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 　 名学生，并补全条形统计图；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【答案】（1）解：名，
∴本次调查共抽取了500名学生，
∴B选项的学生人数为名，
补全统计图如下：
故答案为：500；
（2）解：，
∴A所在扇形的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙同时被选中的结果数有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用“非常关注”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，进而根据各类人数之和等于本次调查的总人数求出“比较关注”的人数，最后补全统计图即可；
（2）用360度乘以“非常关注”的人数占比即可求出“非常关注”所在扇形的圆心角度数；
（3）此题是抽取不放回类型，先根据题意画出树状图，由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙同时被选中的结果数有2种，最后依据概率计算公式求解即可．
22．（2024九下·叙州期中）某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一直线上，且在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．
【答案】解：设，则∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴该古建筑的高度为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设，可表示出BC的长，利用AB∥EF可证得，，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
23．（2024九下·叙州期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
（3）若点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，连结，将绕点O逆时针旋转90度得到，点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出这个函数解析式．
【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为
（2）解：对于，当时，，∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解（3）∵点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，
∴将绕点O逆时针旋转90度后，点Q的对应点M也在反比例函数图象上运动，
如图，设的对应点为，作于点E，作于点F，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
设点M所在的反比例函数解析式为，
∴，
∵点M在第二象限，
∴这个函数解析式是．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，可得到点A的坐标，利用点A和点C的坐标可求出一次函数解析式.
（2）利用点B、C的坐标可求出OB、OC的长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可求出PD的长，由此可得到点P的坐标.
（3）根据点Q的运动轨迹，可得点M的运动轨迹，设的对应点为，作于点E，作于点F，利用AAS证明，利用全等三角形的性质可求出点M1的坐标，设点M所在的反比例函数解析式为，将点M1的坐标代入反比例函数解析式可求出k1的值，即可得到反比例函数解析式.
24．（2024九下·叙州期中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果用表示）
【答案】（1）证明：连接OD，
∵，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，设半径为r，
在中，
，
，
又，
，
，
，
是的直径．
，
，
∵，
∴，
又，
，
(负值已舍)，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角可得，由同位角相等，两直线平行推出，进而再根据二直线平行，同旁内角互补得出∠FDO=90°，即可根据垂直于半径外端点的直线就是圆的切线得出结论；
（2）连接，在中，先利用勾股定理算出ED，再利用∠C的余弦函数及特殊锐角三角函数值求得，由等边对等角及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，由函30°角直角三角形性质得AD=r，由等腰三角形的三线合一得BD=CD=2，在中，利用勾股定理家里方程计算求得圆的半径，最后利用即可求解．
25．（2024九下·叙州期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
（3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在，或或
【知识点】菱形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，
∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，
同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，
同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，
∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式及对称轴直线x=-1求出，再把与b=-2代入二次函数 算出c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的对称性求出，根据抛物线与y轴交点坐标特点求得，则，；利用待定系数法求出直线AC的解析式为，根据点的坐标与图形性质，设，则，，进而利用两点间的距离公式表示出MN，再由，结合三角形面积计算公式建立出函数解析式，进而根据该函数性质，求出其最值，从而可求出点P坐标；
（3）首先判断出MN、CQ是以M、N、C、Q为顶点的菱形的边，根据点的坐标与图形性质，设，则，，分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．
1 / 1四川省宜宾市叙州区叙州区龙文学校2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
1．（2024九下·叙州期中）在实数，，，中，最小的数是(　　)
A． B． C． D．
2．（2024九下·叙州期中）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·叙州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·叙州期中）预计在2023—2024年雪季，吉林省“北大湖”滑雪场接待游客人次，将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·叙州期中）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示.
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 2 3 5 4 1
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（　　）
A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米
6．（2024九下·叙州期中）如图，点A，B，C在⊙O上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·叙州期中）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．（2024九下·叙州期中）如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
9．（2024九下·叙州期中）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·叙州期中）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九下·叙州期中）如图，在中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024九下·叙州期中）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，对称轴是直线，下列结论中，①；②点B的坐标为；③；④对于任意实数m，都有，所有正确结论的序号为（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．③④
13．（2024九下·叙州期中）若式子有意义，则实数x的取值范围是　 　．
14．（2024九下·叙州期中）因式分解： 　 　.
15．（2024九下·叙州期中）如图，，交于点F，则　 　．
16．（2024九下·叙州期中）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则　 　．
17．（2024九下·叙州期中）关于的分式方程有增根，则　 　 ．
18．（2024九下·叙州期中）如图，在中，，平分交于点，过作交于点，将沿折叠得到，交于点．若，则　 　．
19．（2024九下·叙州期中）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（2024九下·叙州期中）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．试说明：
（1）；
（2）．
21．（2024九下·叙州期中）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某高校为了了解学生对“奥运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 　 名学生，并补全条形统计图；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
22．（2024九下·叙州期中）某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一直线上，且在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．
23．（2024九下·叙州期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B， 与y轴交于点．
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）已知P为反比例函数图象上的一点，，求点P的坐标．
（3）若点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，连结，将绕点O逆时针旋转90度得到，点M在第二象限，随着点Q的运动，点M的位置也不断变化，但始终在某函数图象上运动，请直接写出这个函数解析式．
24．（2024九下·叙州期中）如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果用表示）
25．（2024九下·叙州期中）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
（3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴最小的数是，
故答案为：A．
【分析】利用实数的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得：该几何体的俯视图为一个长方形，中间有一个圆形．
故答案为：B．
【分析】俯视图就是从几何体的上面往下看，所看到的平面图形.
3．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，不是同类项，不能合并，此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算正确，符合题意；
C、，此选项计算错误，不符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据平方差公式可判断B选项；根据单项式乘法法则“单项式乘以单项式，把系数与相同字母分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”进行计算可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得出现了5次，次数最多，
运动员的成绩的众数为：米．
将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，
运动员的成绩的中位数是米．
故答案为：A
【分析】根据众数和中位数的定义结合表格数据即可求解。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOB=60°，进而根据等边对等角及三角形的内角和定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ，
∵△=b2-4ac=（-3）2-4×2×=-3＜0，
∴此方程无实数根；
故答案为：C.
【分析】先计算根的判别式△=b2-4ac，当△＞0时，方程由有个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程无实数根，据此判断即可.
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，连接EG，
根据作图过程可知：是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，，
，
，
在中，，，，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据作图过程可知是的平分线，利用角平分线的概念可证得∠EBG=∠CBG， 利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可证得GE=GC，同时可求出∠BEG的度数，再利用勾股定理即可求出AE的长，可得到DE的长；然后利用勾股定理可得到关于CG的方程，解方程求出CG的长.
9．【答案】B
【知识点】垂线的概念；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接，根据题意，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，，
∵OA=OB，点N是AB的中点，
∴，
∴点M，N，O三点共线，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接ON，由等腰三角形的三线合一得出ON⊥AB，由同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直已知直线可得点M，N，O三点共线，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△OAB是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AOB=60°，OA=AB=4，然后根据∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值可求出ON的长，进而根据线段和差可算出MN的长，最后代入弧长公式计算可得答案.
10．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：由题意得，
解②得x＜3，
∴不等式组的解集为m+3＜x＜3，
∴关于x的不等式组的整数解为2，1，0，-1，
∴-2≤m+3＜-1，
∴，
故答案为：A
【分析】先解不等式组即可得到不等式组的解集，再结合题意即可求出m的取值范围。
11．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，过点C作于D，连接，
∵在中，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当最小时，即最小，
∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，
∴点E的坐标为，
故答案为：C．
【分析】过点C作于D，连接，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，即，再根据三角形面积可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，当最小时，即最小，当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，，即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线开 向下，
∴，故①错误，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴，
∴，
设点B坐标为
∵抛物线对称轴为直线，点A的坐标为，
∴，解得：，
∴点B的坐标为，故②正确，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴
∴由得，即，故③正确；
∵，抛物线对称轴为直线，
∴当时，时函数最大值，
当时，，
∴，即，
综上所述：正确的结论有②③④，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线开口方向向上可确定出a的符号，可对①进行判断；利用二次函数图象的对称性可得B点坐标，可对②进行判断；根据点A，点B代入解析式利用加减消元法可得，从而判定③，再由时函数取最大值判定④．
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
，且x-3≠0，
，
，
故答案为：．
【分析】首先根据式子有意义，可得出，解不等式即可得出实数x的取值范围。
14．【答案】(x+3y)(x-3y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
故答案为：(x+3y)(x-3y).
【分析】观察原式形式可知刚好是平方差公式的形式，由平方差公式： 两个数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积，可对原式进行因式分解.
15．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：
是的外角，
故答案为：
【分析】先根据两直线平行，同位角相等可求出∠EFD的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求出的度数．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】利用平行四边形的性质，可证得，利用平行线的性质可证得；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得，利用相似三角形的对应边成比例可求出的比值，然后利用三角形的面积公式进行求解.
17．【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
18．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；求正切值；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵将沿折叠得到，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
设，，则，，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
即，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作于，易证，利用相似三角形的对应边成比例可证得，根据，可知，设，，则，，可表示出EC的长；在和中，利用勾股定理，可得方程，然后代入数值可表示出n，EM的长，利用勾股定理表示出GM的长，根据正切的定义，即可求解．
19．【答案】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）首先代入特殊锐角三角函数值，同时根据二次根式的性质“”、a0=1(a≠0)、及绝对值的代数意义分别化简，进而计算二次根式的乘法运算，最后合并同类二次根式即可；
（2）先通分计算括号内异分母分式的加法，同时根据完全平方公式将除式的分子分解因式，利用提取公因式法将除式的分母分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，进而计算分式乘法，约分化简，最后将x的值代入化简结果，计算后再分母有理数即可.
20．【答案】证明：（1）∵，
∴，即，
在△ABC与△DEF中，
，
∴；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠A=∠EGC．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据等式性质，由BE=CF得BC=EF，再根据SSS定理得△ABC≌△DEF；（2）由全等三角形的对应角相等得∠B=∠DEF，由同位角相等，两直线平行得AB∥DE，再根据两直线平行，同位角相等得∠A=∠EGC．
21．【答案】（1）解：名，
∴本次调查共抽取了500名学生，
∴B选项的学生人数为名，
补全统计图如下：
故答案为：500；
（2）解：，
∴A所在扇形的圆心角度数为；
（3）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙同时被选中的结果数有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用“非常关注”的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，进而根据各类人数之和等于本次调查的总人数求出“比较关注”的人数，最后补全统计图即可；
（2）用360度乘以“非常关注”的人数占比即可求出“非常关注”所在扇形的圆心角度数；
（3）此题是抽取不放回类型，先根据题意画出树状图，由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙同时被选中的结果数有2种，最后依据概率计算公式求解即可．
22．【答案】解：设，则∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴该古建筑的高度为
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设，可表示出BC的长，利用AB∥EF可证得，，利用相似三角形的性质可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
23．【答案】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点，都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为
（2）解：对于，当时，，∴，
，
∵，
过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示．
，
．
，
解得．
点P的纵坐标为2或．
将代入得，
将代入得，
∴点或
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；旋转的性质
【解析】【解答】解（3）∵点Q是双曲线在第一象限上的一个动点，
∴将绕点O逆时针旋转90度后，点Q的对应点M也在反比例函数图象上运动，
如图，设的对应点为，作于点E，作于点F，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
设点M所在的反比例函数解析式为，
∴，
∵点M在第二象限，
∴这个函数解析式是．
【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出m的值，可得到点A的坐标，利用点A和点C的坐标可求出一次函数解析式.
（2）利用点B、C的坐标可求出OB、OC的长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，如图所示，根据可求出PD的长，由此可得到点P的坐标.
（3）根据点Q的运动轨迹，可得点M的运动轨迹，设的对应点为，作于点E，作于点F，利用AAS证明，利用全等三角形的性质可求出点M1的坐标，设点M所在的反比例函数解析式为，将点M1的坐标代入反比例函数解析式可求出k1的值，即可得到反比例函数解析式.
24．【答案】（1）证明：连接OD，
∵，
，
又，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，设半径为r，
在中，
，
，
又，
，
，
，
是的直径．
，
，
∵，
∴，
又，
，
(负值已舍)，
，
．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）连接OD，由等边对等角可得，由同位角相等，两直线平行推出，进而再根据二直线平行，同旁内角互补得出∠FDO=90°，即可根据垂直于半径外端点的直线就是圆的切线得出结论；
（2）连接，在中，先利用勾股定理算出ED，再利用∠C的余弦函数及特殊锐角三角函数值求得，由等边对等角及同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB=90°，由函30°角直角三角形性质得AD=r，由等腰三角形的三线合一得BD=CD=2，在中，利用勾股定理家里方程计算求得圆的半径，最后利用即可求解．
25．【答案】（1）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数经过点，
∴，即，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线，
∴，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在，或或
【知识点】菱形的性质；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）设，则，，
∵轴，
∴轴，即，
∴是以、为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当为对角线时，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，即轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为，
∴，
∴；
如图3-2所示，当为边时，则，
∵，，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-3所示，当为边时，则，
同理可得，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3-4所示，当为边时，则，
同理可得，
解得（舍去）或（舍去）；
如图3-5所示，当为对角线时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴轴，
∴轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当为对角线时，设交于S，
∵轴，
∴，
∵，
∴，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述，或或．
【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式及对称轴直线x=-1求出，再把与b=-2代入二次函数 算出c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的对称性求出，根据抛物线与y轴交点坐标特点求得，则，；利用待定系数法求出直线AC的解析式为，根据点的坐标与图形性质，设，则，，进而利用两点间的距离公式表示出MN，再由，结合三角形面积计算公式建立出函数解析式，进而根据该函数性质，求出其最值，从而可求出点P坐标；
（3）首先判断出MN、CQ是以M、N、C、Q为顶点的菱形的边，根据点的坐标与图形性质，设，则，，分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可．
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