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浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·东阳期末）如图，直线被直线所截，下列各角中的同位角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由图可得与是同位角．
故选：D.
【分析】根据同位角的定义"截线的同旁，被截线的同侧的两个角是同位角”判断解题．
2．（2024七下·东阳期末）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，某种球形冠状病毒的直径是120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：纳米米
故选：A．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为小数点向右移动位数的相反数．
3．（2024七下·东阳期末）以下调查中最适合采用全面调查的是（　　）
A．对某型号手机电池待机时间的调查
B．调查《新闻联播》的收视率
C．调查一架“歼20”战斗机各零部件的质量
D．考察某市市民保护海洋的意识
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对某型号手机电池待机时间的调查，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、调查《新闻联播》的收视率，适合采用抽样调查，故B不符合题意；
C、调查一架“歼20”战斗机各零部件的质量，适合采用全面调查，故C符合题意；
D、考察某市市民保护海洋的意识，适合采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全面调查的定义解答即可．
4．（2024七下·东阳期末）如图，在中，．将沿着的方向平移至，若平移的距离是4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．20 C．10 D．30
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵直角沿边平移4个单位得到直角，
，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即阴影部分的面积为20．
故选：B．
【分析】先根据平移得到，即可得到为平行四边形，再利用平行四边形的面积公式及解题．
5．（2024七下·东阳期末）若，则等于（　　）
A．1 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
．
故选：C．
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆算解答即可．
6．（2024七下·东阳期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°，
过E作EM∥AB，则EM∥CD，
∴∠FEM=∠α，∠GEM=∠β，
∵∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°，
∴∠α+∠β=90°，
∵∠α=44°，
∴∠β=90°-44°=46°．
故答案为：D．
【分析】先根据题意得到EM∥AB∥CD，再根据两直线平行，同位角相等得到∠FEM=∠α，∠GEM=∠β，进而根据三角板得到∠α+∠β=90°，计算出即可.
7．（2024七下·东阳期末）若代数式的值与无关，则常数的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵关于y的代数式：的值与y无关，
∴，
解得，
即当时，代数式的值与y的取值无关．
故选：A.
【分析】根据多项式乘以多项式展开，然后合并，根据无关型的系数为0解答即可．
8．（2024七下·东阳期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设志愿者未加入前每小时做份粽子．根据题意，得
．
故选：A.
【分析】设志愿者未加入前每小时做份粽子，根据“ 每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务 ”列分式方程解题．
9．（2024七下·东阳期末）关于的分式方程无解，则的值是（　　）
A．1 B．3 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：，
，
当，即时，，此时整式方程无解，分式方程无解，
当，即时，由得，
把代入得：，
解得：，
关于的分式方程无解时，或，
故选：D．
【分析】去分母化为整式方程，根据分整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根两种情况解答即可．
10．（2024七下·东阳期末）已知关于方程组给出下列结论：
①方程组的解也是的解；
②值不可能是互为相反数；
③不论取什么实数，的值始终不变；
④若，则．
正确的是（　　）
A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①②
【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得，
∴方程组的解也是的解．故①正确；
②解方程组，得，
当，的值互为相反数时，，
即，
解得
∴当时，，的值互为相反数．故②不正确；
③原方程组的解为
∴，
∴不论取什么实数，的值始终不变，都为．故③正确；
④若，则，
解得．故④正确；
综上，①③④正确．
故选：C.
【分析】将两个方程相加得判断①；用含a的式子表示x和y的值，计算时的的值判断②；代入计算判断③；把方程组的解代入，求出的值判断④解答即可．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2024七下·东阳期末）使分式有意义的的取值范围是　 　．
【答案】x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式求解即可.
12．（2024七下·东阳期末）一个样本数据为：，其中属于这一组的频率为　 　．
【答案】0.2
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意可得：在8.55～8.75组的数据有8.7，8.7，共2个，
∴ 8.55～8.75这一组的频数是2，
∴频率为
故答案为：0.2．
【分析】先找出在8.55～8.75的频数，再根据频率=频数÷总数计算即可.
13．（2024七下·东阳期末）因式分解：　 　．
【答案】4（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：4（x+1）(x-1)
【分析】先提公因式，再利用平方差公式求解即可.
14．（2024七下·东阳期末）若是一个完全平方式，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
，解得：或．
故答案为：或．
【分析】根据完全平方公式的结构特征列方程，求出的值即可．
15．（2024七下·东阳期末）如果一个两位正整数，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为2376，那么我们称这个数为“最美数”，则这个“最美数”为　 　．
【答案】57或15
【知识点】因式分解的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，x，y为自然数，
∴，，且
∴或，，
解得或，，
∵x，y为自然数，
∴或，
∴这个“最美数”是57或15．
故答案为：57或15.
【分析】根据题意得到，，根据题意得到，然后利用，求得符合条件的x、y的值即可解题．
16．（2024七下·东阳期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是　 　．
【答案】①②
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，
阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
∵阴影的周长为10，
，
，
即，故①正确；
∵阴影周长为8，
，
解得：，
，
，
即正方形的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为30，
，
，
，
，
假设三个正方形的周长为24，
，
，
（不成立），
∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故答案为：①②．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，即可得到，表示阴影、阴影的长和宽，根据阴影的周长求出值判定①；根据阴影周长求出值，进而得到的值判定②；根据大长方形的面积为30，得到，设三个正方形的周长为24，解得判定③解题．
三、解答题（共66分）
17．（2024七下·东阳期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先运算乘方、零次幂、负整数指数次幂，然后加减解题即可；
（2）先计算积的乘方，然后运算单项式的乘除法解题即可．
18．（2024七下·东阳期末）解下列方程（组）：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴ 方程组的解为；
（2）解：，
，
，
，
；
经检验是方程的解
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）利用加减消元法进行求解可得；
（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、最后系数化为1求出并检验即可.
19．（2024七下·东阳期末）某校为创建书香校园，倡导读书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次．为了解活动开展情况，学校组织对全校八年级“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析．
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分（单位：分）：32，43，34，35，15，46，48，24，54，10，25，40，60，42，55，30，47，28，37，42
【整理数据】
积分/分
星级 红 橙 黄 绿 青
频数（人数） 2 3 5
（1）填空：______，______；
（2）根据表格制成如图所示不完整的频数分布直方图，请将其补全．
（3）估计全校1500学生中获得绿星级以上（包括绿星级）的人数共有多少人？
【答案】（1）7，3
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有．
答：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有750人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由样本数据得：的有7人，的有3人，
∴，
故答案为：7，3；
【分析】（1）整理样本中的数据得到m和n的值即可；
（2）根据（1）中所得的数据补全统计图即可；
（3）利用中绿星级以上的人数的占比×1500解答即可．
20．（2024七下·东阳期末）（1）先化简，再求值：，其中。
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值。
【答案】（1）解：原式
，即
原式
（2）解：原式=
∵x是满足≤2的整数
∴x=±1，±2，0
∴当x=0时，原式=2.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式、单项式乘多项式，平方差公式的法则进行化简，再把整体代入求值即可.
（2）先将括号内通分，再根据完全平方公式和平方差公式化简，最后代入使分母有意义的值计算即可.
21．（2024七下·东阳期末）如图，是上一点，于点分别是上一点，，，
（1）判断与的位置关系，并说明理由。
（2）若，请说明。
【答案】（1）解：HE∥FG
理由如下：
∵∠A=63°，∠AHE=27°
∴∠AEH=90°
∵FG⊥AC
∴∠AGF=90°
∴HE∥FG
（2）解：连接EF，如图所示
∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC
∴∠DEF＝∠EFC
∵HE∥FG
∴∠HEF＝∠EFG
∴∠1=∠2
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠AEH=90°，再根据同位角相等，两直线平行证出即可.
(2)先由同位角相等，两直线平行证出DE∥BC，进而根据两直线平行，内错角相等得到∠DEF＝∠EFC，同理得到∠HEF＝∠EFG，最后根据角的关系证出即可.
22．（2024七下·东阳期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______．
（2）试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
【答案】（1）解：，是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：
，
是“完美数”．
（3）解：
，
为“完美数”，
，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据 “完美数” 的定义写出一个小于2的“完美数”即可；
（2）根据“完美数”的定义，利用多项式乘以多项式展开，然后写成两个数的平方和的形式解题；
（3）利用配方法把整理，再根据“完美数”的定义得到，求出k值解题即可．
23．（2024七下·东阳期末）
如何生产纸盒
素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）
素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为。采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4。纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板 ▲ 张，长方形纸板 ▲ 张。
任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完。请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
【答案】解：
任务一：由题意得：一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面；2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面，
∴共需要正方形纸板个面，长方形纸板10个面，
故答案为：；
任务二：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，
由题意得：
解得．
答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个
任务三：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙纸板（140+m）张
由题意得：
得
∵
∴m=5或0
答：丙纸板的张数为145或140.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出数量即可.
（2）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，根据题意列出二元一次方程组，进行求解即可.
（3）设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙种纸板为（140+m）张，根据题意列出二元一次方程组，表示出y，代入m的值即可.
24．（2024七下·东阳期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点。
（1）判断之间的关系，并说明理由。
（2）若，用含的代数式表示的度数。
（3）当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值。
【答案】（1）解：∠AHE＝∠FAH+∠KEH
理由如下：
作HP∥AB
∵AB∥CD，
∴HP∥CD
∴∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP
∴∠AHE＝∠AHP+∠PHE=∠KEH +∠FAH
（2）解：①设∠BEF=x，则∠BAK=nx，∠BEC=nx
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC=nx
∵AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠GAK＝nx
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3nx＝90°，
∴x=
由（1）得∠AHE＝∠KEH +∠FAH=x+nx+nx=
（3）解：当n=2时，∠BEF=15°，∠KEH=45°，∠HKE=30°
①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，
∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
∴
②当KH∥EG时，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，
∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠NEK＝60°，
∴∠CEK＝120°，
∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，
∴
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
∴
④当KE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．
∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．
∴
⑤当HE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．
∴
当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为5秒或20秒或25秒或10秒或秒．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等得到∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP证出即可.
(2)根据两直线平行，内错角相等，角平分线的定义得到3nx＝90°，求出x，进而表示出即可.
(3)分当KH∥NG时，当KH∥EG时，当KH∥EN时，当KE∥NG时，当HE∥NG时，5种情况分析即可.
1 / 1浙江省金华市东阳市横店八校联考2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2024七下·东阳期末）如图，直线被直线所截，下列各角中的同位角是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·东阳期末）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，某种球形冠状病毒的直径是120纳米，1纳米米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．（2024七下·东阳期末）以下调查中最适合采用全面调查的是（　　）
A．对某型号手机电池待机时间的调查
B．调查《新闻联播》的收视率
C．调查一架“歼20”战斗机各零部件的质量
D．考察某市市民保护海洋的意识
4．（2024七下·东阳期末）如图，在中，．将沿着的方向平移至，若平移的距离是4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．25 B．20 C．10 D．30
5．（2024七下·东阳期末）若，则等于（　　）
A．1 B． C． D．6
6．（2024七下·东阳期末）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·东阳期末）若代数式的值与无关，则常数的值为（　　）
A．2 B． C． D．4
8．（2024七下·东阳期末）端午节来临，某社区计划制作380份粽子送给社区孤寡老人．由于青年志愿者的加入，每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务．设志愿者未加入前每小时做份粽子，则所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·东阳期末）关于的分式方程无解，则的值是（　　）
A．1 B．3 C．或 D．或
10．（2024七下·东阳期末）已知关于方程组给出下列结论：
①方程组的解也是的解；
②值不可能是互为相反数；
③不论取什么实数，的值始终不变；
④若，则．
正确的是（　　）
A．②③④ B．①④ C．①③④ D．①②
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（2024七下·东阳期末）使分式有意义的的取值范围是　 　．
12．（2024七下·东阳期末）一个样本数据为：，其中属于这一组的频率为　 　．
13．（2024七下·东阳期末）因式分解：　 　．
14．（2024七下·东阳期末）若是一个完全平方式，则的值为　 　．
15．（2024七下·东阳期末）如果一个两位正整数，（，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为，若为2376，那么我们称这个数为“最美数”，则这个“最美数”为　 　．
16．（2024七下·东阳期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为5小块，除阴影外，其余3块都是正方形，若阴影周长为10，下列结论：①的值为5；②若阴影的周长为8，则正方形的面积为1；③若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．其中正确的是　 　．
三、解答题（共66分）
17．（2024七下·东阳期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·东阳期末）解下列方程（组）：
（1）；
（2）
19．（2024七下·东阳期末）某校为创建书香校园，倡导读书风尚，开展了师生“大阅读”活动，并制定“大阅读”星级评选方案，每月评选一次．为了解活动开展情况，学校组织对全校八年级“大阅读”星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分（分值为整数）情况进行分析．
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分（单位：分）：32，43，34，35，15，46，48，24，54，10，25，40，60，42，55，30，47，28，37，42
【整理数据】
积分/分
星级 红 橙 黄 绿 青
频数（人数） 2 3 5
（1）填空：______，______；
（2）根据表格制成如图所示不完整的频数分布直方图，请将其补全．
（3）估计全校1500学生中获得绿星级以上（包括绿星级）的人数共有多少人？
20．（2024七下·东阳期末）（1）先化简，再求值：，其中。
（2）先化简代数式，若是满足的整数，从中选一个恰当的的值代入求出代数式的值。
21．（2024七下·东阳期末）如图，是上一点，于点分别是上一点，，，
（1）判断与的位置关系，并说明理由。
（2）若，请说明。
22．（2024七下·东阳期末）材料阅读：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1）请直接写出一个不大于5的“完美数”，这个“完美数”是______．
（2）试判断（是整数）是否为“完美数”，并说明理由．
（3）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
23．（2024七下·东阳期末）
如何生产纸盒
素材1 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位）
素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板150张，的长方形纸板300张，用库存纸板制作两种无盖纸盒．
素材3 库存纸板用完后，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为，乙纸板尺寸为，丙纸板尺寸为。采购甲纸板有400张，乙纸板有300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为1和4。纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒．
任务一 若做一个竖式无盖纸盒和2个横式无盖纸盒，则需正方形纸板 ▲ 张，长方形纸板 ▲ 张。
任务二 根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完？
任务三 根据素材1、素材3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，纸板恰好用完。请你能帮助工厂确定丙纸板的张数．
24．（2024七下·东阳期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点。
（1）判断之间的关系，并说明理由。
（2）若，用含的代数式表示的度数。
（3）当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由图可得与是同位角．
故选：D.
【分析】根据同位角的定义"截线的同旁，被截线的同侧的两个角是同位角”判断解题．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：纳米米
故选：A．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，为小数点向右移动位数的相反数．
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对某型号手机电池待机时间的调查，适合抽样调查，故A不符合题意；
B、调查《新闻联播》的收视率，适合采用抽样调查，故B不符合题意；
C、调查一架“歼20”战斗机各零部件的质量，适合采用全面调查，故C符合题意；
D、考察某市市民保护海洋的意识，适合采用抽样调查，故D不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全面调查的定义解答即可．
4．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵直角沿边平移4个单位得到直角，
，
∴四边形为平行四边形，
∴，
即阴影部分的面积为20．
故选：B．
【分析】先根据平移得到，即可得到为平行四边形，再利用平行四边形的面积公式及解题．
5．【答案】C
【知识点】幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：，
．
故选：C．
【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆算解答即可．
6．【答案】D
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意知：AB∥CD，∠FEG=90°，
过E作EM∥AB，则EM∥CD，
∴∠FEM=∠α，∠GEM=∠β，
∵∠FEM+∠GEM=∠FEG=90°，
∴∠α+∠β=90°，
∵∠α=44°，
∴∠β=90°-44°=46°．
故答案为：D．
【分析】先根据题意得到EM∥AB∥CD，再根据两直线平行，同位角相等得到∠FEM=∠α，∠GEM=∠β，进而根据三角板得到∠α+∠β=90°，计算出即可.
7．【答案】A
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
∵关于y的代数式：的值与y无关，
∴，
解得，
即当时，代数式的值与y的取值无关．
故选：A.
【分析】根据多项式乘以多项式展开，然后合并，根据无关型的系数为0解答即可．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设志愿者未加入前每小时做份粽子．根据题意，得
．
故选：A.
【分析】设志愿者未加入前每小时做份粽子，根据“ 每小时比原计划多做，结果提前3小时就完成任务 ”列分式方程解题．
9．【答案】D
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：，
，
当，即时，，此时整式方程无解，分式方程无解，
当，即时，由得，
把代入得：，
解得：，
关于的分式方程无解时，或，
故选：D．
【分析】去分母化为整式方程，根据分整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根两种情况解答即可．
10．【答案】C
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①将方程组中两个方程相加，得，
∴方程组的解也是的解．故①正确；
②解方程组，得，
当，的值互为相反数时，，
即，
解得
∴当时，，的值互为相反数．故②不正确；
③原方程组的解为
∴，
∴不论取什么实数，的值始终不变，都为．故③正确；
④若，则，
解得．故④正确；
综上，①③④正确．
故选：C.
【分析】将两个方程相加得判断①；用含a的式子表示x和y的值，计算时的的值判断②；代入计算判断③；把方程组的解代入，求出的值判断④解答即可．
11．【答案】x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得，
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不为0，列出不等式求解即可.
12．【答案】0.2
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：由题意可得：在8.55～8.75组的数据有8.7，8.7，共2个，
∴ 8.55～8.75这一组的频数是2，
∴频率为
故答案为：0.2．
【分析】先找出在8.55～8.75的频数，再根据频率=频数÷总数计算即可.
13．【答案】4（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：4（x+1）(x-1)
【分析】先提公因式，再利用平方差公式求解即可.
14．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，
，解得：或．
故答案为：或．
【分析】根据完全平方公式的结构特征列方程，求出的值即可．
15．【答案】57或15
【知识点】因式分解的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，x，y为自然数，
∴，，且
∴或，，
解得或，，
∵x，y为自然数，
∴或，
∴这个“最美数”是57或15．
故答案为：57或15.
【分析】根据题意得到，，根据题意得到，然后利用，求得符合条件的x、y的值即可解题．
16．【答案】①②
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，
阴影的长为，宽为，
阴影的长为，宽为，
∵阴影的周长为10，
，
，
即，故①正确；
∵阴影周长为8，
，
解得：，
，
，
即正方形的面积为1，故②正确；
∵大长方形的面积为30，
，
，
，
，
假设三个正方形的周长为24，
，
，
（不成立），
∴若大长方形的面积为30，则三个正方形周长的和为24．故③错误，
故答案为：①②．
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，即可得到，表示阴影、阴影的长和宽，根据阴影的周长求出值判定①；根据阴影周长求出值，进而得到的值判定②；根据大长方形的面积为30，得到，设三个正方形的周长为24，解得判定③解题．
17．【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
．

【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先运算乘方、零次幂、负整数指数次幂，然后加减解题即可；
（2）先计算积的乘方，然后运算单项式的乘除法解题即可．
18．【答案】（1）解：，
①②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
∴ 方程组的解为；
（2）解：，
，
，
，
；
经检验是方程的解
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）利用加减消元法进行求解可得；
（2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、最后系数化为1求出并检验即可.
19．【答案】（1）7，3
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有．
答：这1500名学生中获得绿星级以上的人数有750人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由样本数据得：的有7人，的有3人，
∴，
故答案为：7，3；
【分析】（1）整理样本中的数据得到m和n的值即可；
（2）根据（1）中所得的数据补全统计图即可；
（3）利用中绿星级以上的人数的占比×1500解答即可．
20．【答案】（1）解：原式
，即
原式
（2）解：原式=
∵x是满足≤2的整数
∴x=±1，±2，0
∴当x=0时，原式=2.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式、单项式乘多项式，平方差公式的法则进行化简，再把整体代入求值即可.
（2）先将括号内通分，再根据完全平方公式和平方差公式化简，最后代入使分母有意义的值计算即可.
21．【答案】（1）解：HE∥FG
理由如下：
∵∠A=63°，∠AHE=27°
∴∠AEH=90°
∵FG⊥AC
∴∠AGF=90°
∴HE∥FG
（2）解：连接EF，如图所示
∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC
∴∠DEF＝∠EFC
∵HE∥FG
∴∠HEF＝∠EFG
∴∠1=∠2
【知识点】三角形内角和定理；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠AEH=90°，再根据同位角相等，两直线平行证出即可.
(2)先由同位角相等，两直线平行证出DE∥BC，进而根据两直线平行，内错角相等得到∠DEF＝∠EFC，同理得到∠HEF＝∠EFG，最后根据角的关系证出即可.
22．【答案】（1）解：，是“完美数”，
故答案为：2（答案不唯一）．
（2）解：
，
是“完美数”．
（3）解：
，
为“完美数”，
，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）根据 “完美数” 的定义写出一个小于2的“完美数”即可；
（2）根据“完美数”的定义，利用多项式乘以多项式展开，然后写成两个数的平方和的形式解题；
（3）利用配方法把整理，再根据“完美数”的定义得到，求出k值解题即可．
23．【答案】解：
任务一：由题意得：一个竖式无盖纸盒需要正方形纸板为底部一个面，需要长方形纸板4个面；2个横式无盖纸盒需要正方形纸板为左右两个面共计4个面，需要长方形纸板6个面，
∴共需要正方形纸板个面，长方形纸板10个面，
故答案为：；
任务二：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，
由题意得：
解得．
答：竖式无盖纸盒30个，横式无盖纸盒60个
任务三：设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙纸板（140+m）张
由题意得：
得
∵
∴m=5或0
答：丙纸板的张数为145或140.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出数量即可.
（2）设竖式无盖纸盒个，横式无盖纸盒个，根据题意列出二元一次方程组，进行求解即可.
（3）设竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，丙种纸板为（140+m）张，根据题意列出二元一次方程组，表示出y，代入m的值即可.
24．【答案】（1）解：∠AHE＝∠FAH+∠KEH
理由如下：
作HP∥AB
∵AB∥CD，
∴HP∥CD
∴∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP
∴∠AHE＝∠AHP+∠PHE=∠KEH +∠FAH
（2）解：①设∠BEF=x，则∠BAK=nx，∠BEC=nx
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC=nx
∵AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠GAK＝nx
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3nx＝90°，
∴x=
由（1）得∠AHE＝∠KEH +∠FAH=x+nx+nx=
（3）解：当n=2时，∠BEF=15°，∠KEH=45°，∠HKE=30°
①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，
∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
∴
②当KH∥EG时，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，
∴∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠NEK＝60°，
∴∠CEK＝120°，
∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG，
∴
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
∴
④当KE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝90°﹣∠GEN＝60°．
∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG．
∴
⑤当HE∥NG时，
∵∠GEN＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEN+∠HEK＝105°．
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG．
∴
当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为5秒或20秒或25秒或10秒或秒．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】(1)根据两直线平行，内错角相等得到∠KEH＝∠PHE，∠FAH＝∠AHP证出即可.
(2)根据两直线平行，内错角相等，角平分线的定义得到3nx＝90°，求出x，进而表示出即可.
(3)分当KH∥NG时，当KH∥EG时，当KH∥EN时，当KE∥NG时，当HE∥NG时，5种情况分析即可.
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