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2024 学年第二学期七年级培优测试
一．填空题（每题 4 分，共 18 小题，满分 72 分）
4x 5y 10
1．若关于 x， y 的方程组 中 y的值比 x的相反数大 2，则 k ．
kx (k 1)y 8
2．如图，在长方形 ABCD中，放入 6个形状和大小完全相同的长方形．所标注尺寸如图所示．则图中阴
影部分的面积为 cm2．
A．57 B．55 C．53 D．51
a1x b1y c1 x 4 2a x b y c3．若关于 x， y的方程组 的解为 ，则关于 x， y方程组 1 1 1 的解为 ．
a2x b2 y c

2 y 5 2a2x b2 y c2
4．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数
表称为杨辉三角．观察杨辉三角与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为 C1＝1+1＝2，第二个
展开式中各项系数的和为 C2＝1+2+1＝4，第三个展开式中各项系数的和为 C3＝1+3+3+1＝8，......第 n个展
开式中各项系数的和为 C 2024n，根据图中各式的规律，则 的值为 ． 2023
(a b)1 a b；
(a b)2 a2 2ab b2 ；
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3；
(a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 ；

5．如果整数 x， y， z满足 (15)x 16 27 2x y ( ) y ( )z 16，则代数式 的值为 ．
8 9 10 x y
6．购买铅笔 7支，作业本 6个，中性笔 4支共需 33元；购买铅笔 5支，作业本 5个，中性笔 3支共需 26
元；则购买铅笔 2支，作业本 1个，中性笔 1支共需 元．
7．试确定关于 x， y的方程 x3 6x2 5x y3 y 2的整数解的个数为 ．
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8．牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供 10头牛吃 20天，可供 15头牛吃 10天，如果饲养
25头牛 天可以把牧场上的草吃完．
9．已知长方形的周长为 180厘米，两邻边长分别为 x厘米、 y厘米，且 x3 x2 y 4xy2 4y3 0，则长方
形的面积为 ．
10．若 m1 ， m2 ， m2024 是从 0，1，2 这三个数中取值的一列数，若 m1 m2 m2024 1526 ，
(m 1)2 (m 1)2 (m 1)21 2 2024 1510，则在m1，m2， m2024中，取值为 2的个数为 ．
x y 6
11 ．已知关于 x和 y的方程组 有正整数解，整数 a的值为 ．
2x ay 0
12．如图， AB / /CD ， DCE 的角平分线 CG 的反向延长线和 ABE 的角平分线 BF 交于点 F ，
E F 33 ， E的度数为 ．
13． a2 b2 1， c2 d 2 1，且 ac bd 0，则 ab cd的值为 ．
14 7．已知实数 x， y满足 x2 x y 3 0， x 2y的最大值为 ．
2
15．已知质数 p， q满足 3p 5q 31 p，则 的最大值是 ．
3q 1
16．已知长方形的周长为 30cm，两邻边长分别为 x cm和 y cm，且满足 x2 4xy 4y2 0，此长方形的面
积为 ．
17．已知：多项式 3x3 5x2 bx a能被多项式 x2 5x 6整除，则 a+b的值为 ．
n
18．求和符号“ k”（其中 i n，且 i和 n表示正整数），例如：
k i
n n
k 1 2 3 (n 1) n, (x k) (x 5) (x 6) (x 7) (x n)，
k 1 k 5
n
若 (x k)(x k) 3x2 m，则 m+n＝ ．
k 2
二．解答题（共 3 题，满分 28 分）
19．（满分 8分）因式分解：
（1）6x2－5xy－6y2+2xz+23yz－20z2 （2）（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3
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20．（满分 10分）如图，直线 l分别与直线 AB，CD相交于点 E、F ， AB / /CD，点 P是射线 EA上的一
1 1
个动点，点 P、 E不共点，连结 PF ．点 N与点 E关于直线 PF 对称．当 CFN CFP 时，试求
3 3
出 PFE 的度数．
21．（满分 10分）用 S (n)表示自然数 n的各位数字之和，如 S（1） 1， S(12) 3， S(516) 12， ，试
问是否存在这样的自然数，使得 n S (n) 2015？请说明理由．
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