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2024-2025学年度阳江市第三中学英才班高三数学
二模强化训练 2025年4月16日
一、单选题
1．（2025·江西·二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】集合，又，故.
2．（2025·辽宁大连·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，则，所以，即，则.
3．（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
【答案】B
【详解】由函数是奇函数可知，因此可得；
又，因此；两式相加可得；
又，因此.
4．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A中，由函数在上单调递减，可得，所以A错误；
对于B中，由函数在上单调递增，可得，所以B错误；
对于C中，由，且，所以，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D错误.
5．（2025·福建厦门·三模）已知菱形的边长为为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，所以.
6．（2025·云南昆明·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，；由余弦定理，解得.
再根据余弦定理，解得.
7．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）
A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差
【答案】C
【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：，
因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误；
对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为，
又，所以乙得分的第75百分位数为，
因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误；
对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中，
所以甲的平均数为，
乙的平均数为，因为，所以，所以，所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确；
对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标.从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散，所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误.
8．（四川省部分学校2025届高三下学期4月联考数学试卷）已知抛物线（）上的点到焦点F的距离为6，则M到坐标原点的距离为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】B
【详解】因为点M到焦点F的距离为6，所以，解得，所以，M到坐标原点的距离为.
二、多选题
9．（2025·山东潍坊·一模）已知点，圆，则（ ）
A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为
C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为
【答案】AC
【详解】对于A，因为，所以点在内，故A正确；
对于B，由，知点与上的点之间的最大距离为，故B错误；
对于C，由，可知弦所在直线斜率为，故弦所在直线为，
即，故C正确；
对于D，由圆的性质可知，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为，故D错误.
10．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】令，则，设切点为，则切线方程为，
将点代入，整理得，即，解得或，
当时，切线方程为；当时，切线方程为．
11．（2025·浙江金华·二模）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】设，则，
A选项，，所以A选项正确.B选项，，所以B选项正确.
C选项，，，所以C选项正确.D选项，设，则，则，所以D选项错误.
三、填空题
12．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，若，则该三角形为 三角形．
【答案】直角
【详解】在中，因为，由正弦定理，可得，
又因为，可得，且，
所以，所以，因为，，可得，所以，
又因为，所以，所以为直角三角形.
13．（24-25高三下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列的通项公式为，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，当时，，当时，，所以数列有最小值，则.
14．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= .
【答案】
【详解】由题意可得.
四、解答题
15．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)若，，求的面积；(2)若，求的周长的取值范围.
【详解】（1），由正弦定理可得，，即，
由余弦定理可得，，，解得，；
（2）由（1）可知，正弦定理可得，
，
为锐角三角形，∴，解得，所以，所以，
所以，所以，即的周长的取值范围.
16．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程.
【详解】（1）依题意，点在抛物线上，且，所以，所以抛物线方程为.
（2）法1：抛物线方程为，焦点坐标为，设直线的方程为，，由，消去并化简整理得，，则，则，
所以.原点到直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为或，即或.
法2：
解得，所以直线的方程为或，即或.
17．（24-25高三下·河北·开学考试）春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.
(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；
(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.
【详解】（1）参与者甲未能参与第四关的概率为：
（2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，，
的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
数学期望为2024-2025学年度阳江市第三中学英才班高三数学
二模强化训练
班级： 姓名： 学号：
单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2025·江西·二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·辽宁大连·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江杭州·二模）设函数是奇函数.若函数，，则（ ）
A．27 B．28 C．29 D．30
4．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·福建厦门·三模）已知菱形的边长为为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·云南昆明·模拟预测）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·上海宝山·二模）甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ）
A．甲得分的极差小于乙得分的极差 B．甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数
C．甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D．甲得分的方差小于乙得分的方差
8．（四川省部分学校2025届高三下学期4月联考数学试卷）已知抛物线（）上的点到焦点F的距离为6，则M到坐标原点的距离为（ ）
A．4 B．6 C． D．
二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（2025·山东潍坊·一模）已知点，圆，则（ ）
A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为
C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为
10．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·浙江金华·二模）已知复数，互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在中，若，则该三角形为 三角形．
13．（24-25高三下·重庆荣昌·阶段练习）已知数列的通项公式为，则 ．
14．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= .
四、解答题（本大题共2小题，共57分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（21-22高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
(1)若，，求的面积；(2)若，求的周长的取值范围.
16．（2025·宁夏银川·二模）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线C的方程.
(2)已知过点F的直线交抛物线C于两点，的面积为，求直线的方程.
17．（24-25高三下·河北·开学考试）春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.
(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；
(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.

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