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2025年自主招生强基计划模拟试卷（一）（解析）
1 、【答案】 A;
【解析】 命题成立等价于存在正实数使得．即．故等价条件为
2 、【答案】 D;
【解析】 要求将每个不同的中元素映射到不同的中元素，共有种，选项均不正确
3 、【答案】 B;
【解析】 代入 知 ， 时，原式可化为
4 、【答案】 B;
【解析】 总共有个方法，四个盒子都有球的是种，恰三个盒子有球的是种，
所以概率为
5 、【答案】 D;
【解析】 代入知等式成立，求导可知关于单调增，所以一定成立，以上选项均不正确
6 、【答案】 A;
【解析】 考虑将平移到平面上，
设平移之后得到交 于，即求 , , ,
故
7 、【答案】 B;
【解析】 令,求判别式知最小为 ,易证明符合条件
8 、【答案】 D;
【解析】
令,构成三角形，
由三角不等式知,
所以值域为,选项均不正确
9 、【答案】 B;
【解析】 ,
令.
所以.
10 、【答案】 A;
【解析】 ,讨论可知选
11 、【答案】 C;
【解析】 由条件得,根据三角不等式,最大为
12 、【答案】 A;
【解析】 ,
所以,
所以
13 、【答案】 C;
【解析】 由于均为等腰直角三角形，
设,则为边长 a的正三角形，
设中心为 , ,
由于三个侧面垂直，所以交的体积是,
而四面体体积为,
所以选
14 、【答案】 A;
【解析】 ,则条件转化为,即虚部绝对值为 ,当时恰有两个符合条件的
15 、【答案】 B;
【解析】 使用数学归纳法证明 对任意成立,1显然成立，
假设对 命题成立，对分为第一次抽取红球和第一次抽取蓝球两种情况考虑，
则,
其中表示条件概率, , 分别表示事件”第次抽取红，蓝球”.
又由于若给定条件第一次为红球，第 次抽球可以看作从一个初始有 个红球,个蓝球的坛子抽第次，
根据归纳假设,
同理,
所以得证
16 、【答案】 B;
【解析】 ,
,
所以最大值为时取得
17 、【答案】 A;
【解析】 设分别令
得到,
所以
再根据单调性得,知只可能为或B,其中选项的解与和单调增矛盾，
所以选
18 、【答案】 D;
【解析】 ,
所以,前三个选项均不正确
19 、【答案】 B;
【解析】 记
所以,
由椭圆的经典结论,,
联立求解并带入数据得结果
20 、【答案】 C;
【解析】 ,
记之为 ,其中．
若,则在上单调增，矛盾．
若,则在上单调减，
所以只需,
选2025年自主招生强基计划模拟试卷（一）
一、选择题
1、，为正实数，则存在正实数，使得 的充分必要条件是（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
2、，为两个集合，为到的映射且满足中每个元素都有原象，这样的有（ ）个.
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
3、实数满足对任意实数恒成立，最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确.
4、将四个不同的小球随机放入四个不同的盒子中，至少有三个盒子有球的概率为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
5、，为实数,，则的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
6、为边长为的正方体，，分别为 ，上的点, , ，为， 夹角，则（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
7、，为实数，满足，则的最小值是（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
8、，则的值域为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
9、若为最接近的正整数，则除以的余数是（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
10、为中 的系数，则当（ ）时 取最大值.
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
11、，为复数，且为实数，，则的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
12、.若表示不大于的最大整数，则 （ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
13、为四面体,， ，，设为以为中心，与相切的球，则四面体在球内的体积与四面体总体积之比为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确.
14、为满足的复数，令 , , 还满足在复平面上若满足上述条件的恰有两个，则（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
15、，为正整数，假设有一个罐子，一开始里面有个红球，个蓝球，每次执行如下操作随机从坛子里等概率地抽取一个球，将抽出的球放回坛子中，并之后再放入个与抽出的球颜色相同的球．不停执行下去，设第次抽出红球概率为 ，则下列说法正确的是（ ）．
A. 若
B. 若
C. 若
D. 以上均不正确
16、，， ，且，则 的最大值为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
17、是定义域为且在定义域内单调递增的函数，且在定义域内任意一点满足，则（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
18、, 为实系数一元二次方程的两个复根，满足,则（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
19、, 为椭圆的左右焦点，，为椭圆上两点且满足 在上， 在为直径的圆上，则的长为（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确
20、设函数，为正实数，若对于任意，成立，则的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D. 以上均不正确

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