资源简介

2025 年单县初中学业水平测试数学模拟试卷（一）
参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数
一.选择题（每题 3 分，共 10 小题，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A D B C A D B C
二.填空题（每题 3 分，共 5 小题，共 15 分）
11 2ab x+2 x 2 12 2 13 10 14 10． （ ）（ ﹣ ） ． ． ． ． ． ． ．15．22023 3．
3
三.解答题（共 8 小题，共 75 分）
16 1 ．（8分）解：（1+ 1）÷ 2 1
= 1+1
( +1)( 1)
1 ...........................2分
( +1)( 1)= 1
＝x+1．................................................4分
解不等式组： + 1＞ 2( + 1) 3，得， 2 + 8 > 4 1
∴该不等式组的整数解为：﹣1，0，1，2，......................................7分
∵x2﹣1≠0，x≠0，∴x≠±1，x≠0，
∴当 x＝2时，原式= 2+ 1 =3．.........................................8分
17．（8分）（1）如图 1所示，由折叠的性质可得 AC′＝AC=3，CD＝C′D，
∠DC′A＝∠C＝90°，
第 1页（共 8页）
在 Rt△ABC中，AB= AC 2 BC 2 32 42 5
∴BC′＝AB-AC′=5-3=2，..................................................1分
设 DC＝DC′=x，则 BD=4-x
在 Rt△BDC DC '2 BC '2′中， BD2
x2 22 (4 x)2∴ ，...............................2分
解得 x= 3，
2
3
∴C′D的长度为 ；................................3分
2
（2）解：连接 CC′
∵点 D是 BC边的中点，CD=BD=C′D=2，
∴AD= AC 2 DC 2 32 22 13，..............................4分
∠DBC′＝∠BC′D，∠DC′C＝∠DCC′，
∵∠DBC′+∠BC′D+∠DC′C+∠DCC′＝180°，
∴2(∠BC′D+∠DC′C)＝180°，
∴∠BC′C＝90°，即 BC′⊥CC′，....................................................6分
又由折叠的性质可知：AD⊥CC′，
∴AD∥BC′，
∴∠ADC＝∠CBC′，
∴cos∠ = cos∠ ′，..............................7 分
BC ' CD 2
即 ，
BC AD 13
8 13
∴BC′＝ .........................................................8分
13
(第（2）问可用多种方法求解，请阅卷老师仔细批阅学生的答题过程）
18 8 ．（ 分）解：（1）解：∵反比例函数 = 的图象经过点 C（4，4），将点 C的坐标代入得：

= 4，
4
解得：k＝16，
第 2页（共 8页）
16
∴反比例函数的解析式为： = ；................................2分
（2）证明：已知 A（﹣4，0），B（1，0），C（4，4），
∴AB＝5，
∴S 菱形 ABCD＝5×4＝20．..................................3分
∵S 矩形 ABMN＝S 菱形 ABCD，
∴AN＝4，
∴点 N的坐标为（﹣4，﹣4）．................................4分
∵﹣4×（﹣4）＝16，
∴点 N 16在反比例函数 = 的图象上；...........................5分
（3）解：如图，
∵点 C的坐标为（4，4），点 N的坐标为（﹣4，﹣4），
∴点 C和点 N关于原点中心对称，
∴点 N，O，C三点共线，且 OC＝ON，..............................7分
1
∴ △ = △ + △ = 2 △ = 2 × 2 × 4 × 4 = 16．.................................8分
19．（8分）解：（1）a＝ 20 ，b＝ 15 ；.........................................2分
（2）由表格可知 A型号 10台机器人分拣快递数量的平均数为 15，
13 15 2 3 14 15 2 2 2 2
∴方差 c= 2 15 15 3 16 15 17 15 ..............5分
10
4 3 3 4

10
=1.4..........................................6分
（3）从数据分析表格中可以看出，B型号的智能机器人每天分拣的快递数量的众数、中位数、平均数
均高于 A型号的；但从方差看 A型号更稳定。
所以根据稳定性选 A型号，根据分拣量高选 B型号。（依据数据分析，所提建议合理即可）.......8分
第 3页（共 8页）
20．（10分）解：（1）如图，过点 B作 BE⊥OC于点 E，
在 Rt△ABE中，∠BAC＝53°，AB＝3m，
∴BE＝AB sin∠BAE
＝3×sin53°
≈3× 45
= 125 ，............................2分
在 Rt△BOE 12中，∠BOE＝37°，BE= 5 ，
∵sin∠BOE= ，
∴OB= ∠
= 12 3
5 5
＝4，
答：OB＝4m；..............................4分
（2）如图，过点 D作 DF⊥OC于点 F，过点 D′作 D′G⊥OC于点 G，过点 D作 DH⊥D′G于点 H，
在 Rt△FOD中，OD＝OB+BD＝4+6＝10，∠DOF＝37°，
∴DF＝OD sin37°
3
≈10× 5
＝6（m），..........................6分
∴D′G＝D′H+HG＝3+6＝9（m），....................7分
在 Rt△D′OG中，OD′＝10m，D′G＝9m，
∴sin∠D OG= ′ ′ = 9
′ 10
，
∴∠D′OG≈64°，..................................8分
∴∠D′OD＝64°﹣37°＝27°，
即云梯 OD大约旋转了 27°．............................10分
21．（10分）（1）证明：连接 OE，交 BC于点 G，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，.......................1分
又∵D为△ABC 的内心，
第 4页（共 8页）
∴∠OAE＝∠CAE，.......................2分
∴∠OEA＝∠CAE，
∴OE∥AC，.......................3分
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，......................4分
∴∠BGO＝90°，
又∵EF为⊙O的切线且 OE为⊙O的半径，
∴∠FEO＝90°，.........................5分
∴∠BGO＝∠FEO，
∴BC∥EF；..................................6分
（2）解：∵ ∠ = 12，
∴∠AEC＝30°，.......................7分
∴∠ABC＝∠AEC＝30°，
∴∠BOE＝60°，∠EFO＝30°，
∴EF＝OE tan60°＝2 3，...........................8分
∴S 阴影部分＝S△EFO﹣S 扇形 BOE
= 1 × 2 × 2 3 60× ×2
2
2 360
= 2 3 2 3 ．........................10分
22.（10分）（1）MN= 10；..........................2分
（2）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，△MDN为等腰直角三角形，点 M与点 A重合，
∴∠ABC＝∠AND＝45°，
∵∠DPB＝∠NPA，
∴△DPB∽△NPA，...........................4分

∴ = ，

∴DP PN＝AP PB；............................5分
（3）解：线段 GE与线段 EF的数量关系为 GE=2EF．......................6分
理由如下：
连接 BE，如图，
第 5页（共 8页）
D
∵△ABC为等腰直角三角形，点 D为 AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，.........................7分
∵直线 l⊥BC，l⊥FG，∴FG∥BC，
∴∠G＝∠BCD＝45°，
∵线段 CD绕点 C逆时针旋转 90°，得到线段 CE，
∴EC⊥DG，△ECG为等腰直角三角形，
∴EG= 2CE，....................................8分
又 CE＝CD＝BD，∠DCE＝∠CDB＝90°，
∴CE∥DB，且 CE＝BD，
∴四边形 BECD为正方形，....................9分
∴∠CBE＝45°
∵l⊥BC，
∴∠EBF＝45°
在 Rt△EBF中，
BE= 2EF=CE，
∴GE= 2CE= 2 × 2EF=2EF．（也可连接 DE）.........................10分
23．（13分）解：（1）∵二次函数 y＝2x2+bx+c，经过点 A（0，﹣1），对称轴为直线 x＝1，
= 1
∴ ，2×2 = 1
= 4
∴ = 1，
∴二次函数的表达式 y＝2x2﹣4x﹣1；..........................2分
（2）令 y＝0，则 2x2﹣4x﹣1＝0，
2± 6
∴x= 2 ，
第 6页（共 8页）
2 6 2+ 6
∴抛物线 y＝2x2﹣4x﹣1与 x轴的交点为（ ，0）和（ ，0）．...................3分
2 2
∵点 O（0，0），B（0，﹣3），将线段 OB向上平移 3个单位长度，
设平移后的点 O的对应点为 O′，点 B的对应点为 B′，
∴平移后的 O′B′＝3，点 O′（0，3），B′（0，0），
∵将 OB再向右平移 m（m＞0）个单位长度后，恰好与 y＝2x2+bx+c的图象有交点，
∴m≥ 2+ 62 ．............................4分
∵OB的长度为 3，
∴令 y＝3，则 2x2﹣4x﹣1＝3，
解得：x＝1 3（舍）或 x＝1+ 3，
∴m≤1+ 3．......................5分
2+ 6
∴m的取值范围为 ≤m≤1+ 3．.........................6分
2
（3）∵二次函数 y＝2x2+bx+c的对称轴为直线 x＝1，2＞0，
∴当 x≤1时，y随 x的增大而减小，当 x＞1时，y随 x的增大而增大．.....................7分
①当 n+2≤1时，即 n≤﹣1时，
当 n≤x≤n+2时，二次函数 y＝2x2+bx+c的最大值为 2n2﹣4n﹣1，最小值为 2（n+2）2﹣4（n+2）﹣1
＝2n2+4n﹣1，
∴2n2 9﹣4n﹣1﹣（2n2+4n﹣1）= 2，
9
∴n= 16（不合题意，舍去）．................................8分
②当﹣1＜n≤1时，
当 n≤x≤n+2时，二次函数 y＝2x2+bx+c的最小值为﹣3，最大值为 2n2﹣4n﹣1，或最大值为 2（n+2）
2﹣4（n+2）﹣1＝2n2+4n﹣1，
9 9
∴2n2﹣4n﹣1﹣（﹣3）= 2；或 2n
2+4n﹣1﹣（﹣3）= 2，
n= 1解得： 2或 n=
5 1 5
2（不合题意，舍去）；n= 2或 n= 2（不合题意，舍去）．.........................11分
③当 n＞1时，
当 n≤x≤n+2时，二次函数 y＝2x2+bx+c的最小值为 2n2﹣4n﹣1，最大值为 2（n+2）2﹣4（n+2）﹣1
＝2n2+4n﹣1，
∴（2n2+4n﹣1 9）﹣（2n2﹣4n﹣1）= 2，
第 7页（共 8页）
n= 9∴ 16（不合题意，舍去）．.............................12分
综上可知：n 1的值为± 2．.................13分
第 8页（共 8页）二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟
数学试题（一）
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求。
1．已知，那么的最小值是（ ）
A．－2025 B．－1 C．0 D．2025
2．自2025年1月11日，DeepSeek．APP全球上线以来，这款中国应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，这是由两块完全相同的长方体木块组成的几何体，其主视图为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，则的度数为（ ）
A．57° B．66° C．67° D．74°
6．下列函数中：①；②；③；④，当时，随的增大而增大的有（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
7．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点是的中点，连接，．以点为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。只要求填写最后的结果。
11．分解因式：_____．
12．计算：_____．
13．如图，为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为_____．
14．已知、满足，，，且，则_____．
15．如图，已知，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使按此规律进行下去，则Rt的直角边的长为_____．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（8分）先化简，再求值：，其中是不等式组的一个整数解．
17．（8分）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．
动手操作：
第一步，准备直角三角形纸片，
第二步，是上一点，沿折叠，点的对应点是点．
根据以上操作，甲、乙两名同学各自做出了如图所示的两个图形，并共同进行了探究，请你根据两位同学折出的图形解决下列问题．
（1）如图1，若点恰好落在上，求的长度．
（2）如图2，若点是边的中点，沿着中线折叠，连接，求的长度．
18．（8分）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，反比例函数的图象经过点．
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）在轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点在反比例函数的图象上；
（3）在（2）的条件下，连接，求的面积．
19．（8分）今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23
机器人台数（台） 1 1 5 2 1
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差/万件2
型号 14和16 15
型号 20 20 4.2
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中_____，_____；
（2）请计算表中的值，（需要写出计算过程）
（3）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
20．（10分）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，）
（1）求的长；
（2）如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数．
21．（10分）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
22．（10分）【问题情境】
综合与实践课上，老师发给每位同学一张等腰直角三角形卡片，。
【探究与证明】
如图1，取的中点，以点为直角顶点作等腰直角三角形在的左侧．若点与点重合，与相交于点．
（1）若，则的长=_____；
（2）求证：；
【应用拓展】
（3）如图2，小亮做了一下调整，点为的中点，连接，线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，过点作，垂足为点，直线交直线于点．请写出线段与线段的数量关系．并说明理由．
23．（13分）已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）已知点，将线段向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求的取值范围；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值．
2

展开更多......

收起↑