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金昌市金川高级中学2025届第二次模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|(x+2)(x-4)<0},B={x|2x>},则A∩B=(　　).
A.(-2,-1) B.(-1,4) C.(-2,1) D.(1,4)
2.已知复数z满足=i(i为虚数单位),则|z|=(　　).
A. B. C. D.
3.已知双曲线-=1(0A.(0,2) B.(0,1) C.(0,) D.(0,)
4.已知等差数列{an}中,a9=,公差为函数f(x)=cos4x-sin4x-2sin xcos x-1的最小正周期,则a7,a8,a9之和为(　　).
A.-π B.-π C.-π D.-π
5.某公司男、女职工人数相等,该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差,在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查,数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是(　　).
附表:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
A.依据小概率值α=0.005的独立性检验,不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B.依据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C.有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D.是否接受去外地长时间出差与性别无关
6.已知随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3
P m2-2m m2-m 0.4
则数学期望E(X)=(　　).
A.0.8 B.1.4 C.2m-3 D.2
7.如图,这是函数f(x)的部分图象,则f(x)的解析式为(　　).
A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=-
8.已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+),则下列说法正确的是(　　).
A.若ω=2,则将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=cos 2x的图象
B.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=sin ωx的图象,则实数ω的最小值为
C.若f(x)在区间(,π)上单调递增,则ω的取值范围为[,2]
D.若f(x)在区间(0,π)上只有一个零点,则ω的取值范围为(,]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　).
A.若T8=T12,则a10a11=1
B.若T8=T12,则T20=1
C.若a1=1,且S3=7,则q=2
D.若a1=q=2,且bn=2n+2n-an,则数列{bn}的前n项和为n2+n
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P是线段A1D上的一个动点,下列结论正确的是(　　).
A.C1P的最小值为
B.BP+PC的最小值为2
C.三棱锥B1-ACP的体积为
D.以点B为球心,BP为半径的球的表面积的最小值为π
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C的上顶点,过点F1的直线l交椭圆C于A,B两点,则下列结论正确的有(　　).
A.△PF1F2为等边三角形
B.直线AP,BP的斜率之积为-
C.|PA|≤2b
D.当直线l的斜率不存在时,直线AP,BP的斜率之积与当直线l斜率为0时,直线AP,BP的斜率之积互为相反数
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=aln x-有两个极值点,则实数a的取值范围为　　　　.
13.(x+y)(2x-y)6的展开式中,x3y4的系数为　　　　.(用数字作答)
14.已知函数f(x)=sin(ωx+),写出一个“f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在(,)上单调”的充分不必要条件:　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ctanB＝(2a－c)tanC.
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值．
16．(15分)如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB＝DE＝2，CF＝1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点．
(1)求二面角A－BE－F的正弦值；
(2)是否存在点H使得GH∥平面BEF？若存在，求的值；否则，请说明理由．
17．(15分)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
性别 外向型 内向型
男性 45 15
女性 20 10
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为X，求X的数学期望；
(2)对表格中的数据，依据α＝0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
18．(17分)已知函数f(x)＝3a－x－(x＋1)ln(x＋1)，g(x)＝a2ex＋(2－a)x2－3ax(x>－1)，1≤a≤6，g(x)的导函数记为g′(x)，e为自然对数的底数，约为2.718.
(1)判断函数f(x)的零点个数；
(2)设x1是函数f(x)的一个零点，x2是函数g(x)的一个极值点，证明：－119．(17分)已知双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线，且双曲线C的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知M(0，t)(t>4)，N为双曲线C上任意一点，求|MN|的最小值；
(2)已知动直线l：y＝kx＋m(k≠±2)与曲线C有且仅有一个交点P，过点P且与l垂直的直线l1与两坐标轴分别交于A(x0,0)，B(0，y0)．设点Q(x0，y0)．
①求点Q的轨迹方程；
②若对于一般情形，曲线C方程为－＝1，动直线l方程为y＝kx＋m，请直接写出点Q(x0，y0)的轨迹方程．金昌市金川高级中学 2025 届第二次模拟考试 A.依据小概率值α=0.005的独立性检验,不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B.依据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
数学 C.有 99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D.是否接受去外地长时间出差与性别无关
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
6.已知随机变量 X的分布列如下:
注意事项： X 1 2 3
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答 2
P m2-2m 1m-m 0.4
题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在 2
答题卡“条形码粘贴处”。 则数学期望 E(X)=( ).
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 A.0.8 B.1.4 C.2m-3 D.2
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
7.如图,这是函数 f(x)的部分图象,则 f(x)的解析式为( ).
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案
无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
A.f(x)= sin6 B.f(x)=cos6 sin6 cos6 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 - - C.f(x)=- - D.f(x)=-2 -2 2 -2 2 -2 2 -2-
要求的。
2 4 0 x 8.已知ω>0,函数 f(x)=cos(ωx+
π),则下列说法正确的是( ).
1.已知集合 A={x|(x+ )(x- )< },B={x|2>1},则 A∩B=( ). 4
2
A.(-2,-1) B.(-1,4) C.(-2,1) D.(1,4) A.若ω=2,则将函数 f(x)的图象向右平移
π个单位长度后得到函数 y=cos 2x的图象
4
2.已知复数 z满足3 -4=i(i为虚数单位),则|z|=( ).
4 -2 B.若将函数 f(x)的图象向左平移π个单位长度后得到函数 y=sin ωx的图象,则实数ω的最小值为13
3 4
A.2 B. 5 C.2 5 D.3 π
5 5 5 2 C.若 f(x)在区间( ,π)上单调递增,则ω的取值范围为[3,2]
2 2
2 2
3.已知双曲线 2-

2=1(0积为-1,则点 P的坐标可以为( ).
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
A.(0,2) B.(0,1) C.(0, 2) D. 0 5( , )
2 部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
7π 4 4
4.已知等差数列{a }中,a 9.设等比数列{an}的公比为 q,前 n项积为 Tn,前 n项和为 Sn,则下列结论正确的是( ).n 9= ,公差为函数 f(x)=cos x-sin x-2 3sin xcos x-1的最小正周期,则 a ,a ,a 之和12 7 8 9 A.若 T8=T12,则 a10a11=1
为( ). B.若 T8=T12,则 T20=1
A.-5π B.-3π C.-1π D.-7π C.若 a
4 4 4 4 1
=1,且 S3=7,则 q=2
D.若 a1=q=2,且 b =2
n
n +2n-a
2
n,则数列{bn}的前 n项和为 n +n
5.某公司男、女职工人数相等,该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差,在男、女职工中各随机抽取
10.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,P是线段 A1D上的一个动点,下列结论正确的是( ).
了 100人进行调查,数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为 40和 20.下列结论正确的
是( ).
附表:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2= ( - )
2
附: ,其中 n=a+b+c+d.
( + )( + )( + )( + )
A.C1P的最小值为 6
高三数学试题 第 1页（共 4页） 高三数学试题 第 2页（共 4页）
{#{QQABQQCl4gCwkBYACZ7KUwWQCQkQkJGTLSoOAVCauAwKwQFAFCA=}#}
姓名：_____________班级：_______________考场：______________座位号：______________
………………………………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………
B 2 17．(15分)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征.BP+PC的最小值为 3 + 6
与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取 90名学生，得到如下数据：
C.三棱锥 B1-ACP的体积为
8
3 性别 外向型 内向型
D. 59以点 B为球心,BP为半径的球的表面积的最小值为 π
2 男性 45 15
2 2
11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为
1,F1,F2分别为椭圆 C的左、右焦点,P是椭圆 C的上顶点,过点 女性 20 10 2
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取 2人、女生中随机抽取 1人担任志愿者．设
F1的直线 l交椭圆 C于 A,B两点,则下列结论正确的有( ). 这三人中性格外向型的人数为 X，求 X的数学期望；
A.△PF F 为等边三角形 (2)对表格中的数据，依据α＝0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的1 2
3 性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来的 10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推B.直线 AP,BP的斜率之积为-
4 断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
C.|PA|≤2b 附：参考公式：
D.当直线 l的斜率不存在时,直线 AP,BP的斜率之积与当直线 l斜率为 0时,直线 AP,BP的斜率之积互为相 χ2 n ad－bc
2
＝ ，n＝a＋b＋c＋d.
反数 a＋b c＋d a＋c b＋d
α 0.1 0.05 0.01
第二部分（非选择题 共 92 分）
xα 2.706 3.841 6.635
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 f(x)=aln x- -1 +1有两个极值点,则实数 a的取值范围为 .
13.(x+y)(2x-y 6 3 4) 的展开式中,x y 的系数为 .(用数字作答)
14.已知函数 f(x)=sin(ωx+π3),写出一个“f(x)的图象关于直线 x=
π
3对称,且 f(x)在(
π ,π36 9)上单调”的充分不必要条
18．(17分)已知函数 f(x)＝3a－x－(x＋1)ln(x＋1)，g(x) 1＝a2ex＋ (2－a)x2－3ax(x>－1)，1≤a≤6，g(x)
2
件: .
的导函数记为 g′(x)，e为自然对数的底数，约为 2.718.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 (1)判断函数 f(x)的零点个数；
15．(13分)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 ctanB＝(2a－c)tanC. (2)设 x1是函数 f(x)的一个零点，x2是函数 g(x)的一个极值点，证明：－1(1)求角 B的大小；
(2)若点 D在边 AC上，BD平分∠ABC，b＝2 3，求 BD长的最大值．
16．(15分)如图所示，在多面体 ABCDEF中，底面 ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DE⊥平面 ABCD， 219．(17分) y已知双曲线 C与双曲线 －x2＝1 有相同的渐近线，且双曲线 C的上焦点到一条渐近线的
CF∥DE，且 AB＝DE＝2，CF＝1，G为棱 BC的中点，H为棱 DE上的动点． 4
距离等于 2.
(1)已知 M(0，t)(t>4)，N为双曲线 C上任意一点，求|MN|的最小值；
(2)已知动直线 l：y＝kx＋m(k≠±2)与曲线 C有且仅有一个交点 P，过点 P且与 l垂直的直线 l1与两坐
标轴分别交于 A(x0,0)，B(0，y0)．设点 Q(x0，y0)．
①求点 Q的轨迹方程；
(1)求二面角 A－BE－F的正弦值；
y2 x2 k≠±
a
②若对于一般情形，曲线 C方程为 － ＝1，动直线 l方程为 y＝kx＋m b ，请直接写出点 Q(x0，
(2) EH是否存在点 H使得 GH∥平面 BEF？若存在，求 的值；否则，请说明理由． a2 b2
ED
y0)的轨迹方程．
高三数学试题 第 3页（共 4页） 高三数学试题 第 4页（共 4页）
{#{QQABQQCl4gCwkBYACZ7KUwWQCQkQkJGTLSoOAVCauAwKwQFAFCA=}#}
………………………………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………………………金昌市金川高级中学2025届第二次模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|(x+2)(x-4)<0},B={x|2x>},则A∩B=(　　).
A.(-2,-1) B.(-1,4) C.(-2,1) D.(1,4)
【答案】B
【解析】由题意得,A={x|(x+2)(x-4)<0}={x|-2}={x|x>-1},因此A∩B={x|-12.已知复数z满足=i(i为虚数单位),则|z|=(　　).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得,=i,4zi-2i=3z-4,解得z===,因此|z|==.故选C.
3.已知双曲线-=1(0A.(0,2) B.(0,1) C.(0,) D.(0,)
【答案】A
【解析】由题意,得c2=a2+4-a2=4,解得c=2,因此A(-2,0),B(2,0).设P(0,p),则kPA=,kPB=,所以kPA·kPB==-1,解得p=±2.故选A.
4.已知等差数列{an}中,a9=,公差为函数f(x)=cos4x-sin4x-2sin xcos x-1的最小正周期,则a7,a8,a9之和为(　　).
A.-π B.-π C.-π D.-π
【答案】A
【解析】函数f(x)=cos4x-sin4x-2sin xcos x-1=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)-sin 2x-1=cos 2x-sin 2x-1=2cos(2x+)-1,由题意得等差数列{an}的公差d=π,因此a7+a8+a9=3a8=3(a9-π)=-π.故选A.
5.某公司男、女职工人数相等,该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差,在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查,数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20.下列结论正确的是(　　).
附表:
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
A.依据小概率值α=0.005的独立性检验,不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B.依据小概率值α=0.005的独立性检验,可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C.有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D.是否接受去外地长时间出差与性别无关
【答案】B
【解析】由题意,列出2×2列联表:
接受 不接受 合计
男 40 60 100
女 20 80 100
合计 60 140 200
零假设为H0:是否接受去外地长时间出差与性别相互独立,即是否接受去外地长时间出差与性别无关,所以χ2==≈9.524>7.879=x0.005,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.005.
故选B.
6.已知随机变量X的分布列如下:
X 1 2 3
P m2-2m m2-m 0.4
则数学期望E(X)=(　　).
A.0.8 B.1.4 C.2m-3 D.2
【答案】D
【解析】由题意,m2-2m=2(m2-m)=(1-0.4),所以m2-2m=0.4,所以E(X)=1×(m2-2m)+2×(m2-m)+3×0.4=2.故选D.
7.如图,这是函数f(x)的部分图象,则f(x)的解析式为(　　).
A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)=- D.f(x)=-
【答案】C
【解析】由图可知,函数图象关于y轴对称,因此f(x)为偶函数,因此排除选项B,D这两个奇函数;由图象知,若x取一个很小的正数,比如x=0.0001,函数值为负数,因此排除A.故选C.
8.已知ω>0,函数f(x)=cos(ωx+),则下列说法正确的是(　　).
A.若ω=2,则将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y=cos 2x的图象
B.若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=sin ωx的图象,则实数ω的最小值为
C.若f(x)在区间(,π)上单调递增,则ω的取值范围为[,2]
D.若f(x)在区间(0,π)上只有一个零点,则ω的取值范围为(,]
【答案】D
【解析】对于选项A,若ω=2,则将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为y=cos[2(x-)+]=cos(2x-),故选项A错误;
对于选项B,y=cos[ω(x+)+]=cos(ωx++)=sin ωx,则+=-+2kπ,k∈Z,解得ω=-+6k,k∈Z,又因为ω>0,故当k=1时,ω取得最小值,最小值为,故选项B错误;
对于选项C,若f(x)在区间(,π)上单调递增,则有解得+4k≤ω≤+2k,k∈Z,又ω>0,所以k=0,所以ω的取值范围为[,],故选项C错误;
对于选项D,若f(x)在区间(0,π)上只有一个零点,则有解得<ω≤,故选项D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.设等比数列{an}的公比为q,前n项积为Tn,前n项和为Sn,则下列结论正确的是(　　).
A.若T8=T12,则a10a11=1
B.若T8=T12,则T20=1
C.若a1=1,且S3=7,则q=2
D.若a1=q=2,且bn=2n+2n-an,则数列{bn}的前n项和为n2+n
【答案】BD
【解析】若T8=T12,则=a9a10a11a12=1,由a9a12=a10a11,可得a10a11=±1,故A错误;
T20=a1a2a3a4·…·a17a18a19a20=(a9a10a11a12)5=1,故B正确;
S3==1+q2+q=7,解得q=2或q=-3,故C错误;
因为a1=q=2,所以an=2n,所以bn=2n+2n-an=2n,所以数列{bn}的前n项和为=n2+n,故D正确.
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,P是线段A1D上的一个动点,下列结论正确的是(　　).
A.C1P的最小值为
B.BP+PC的最小值为2
C.三棱锥B1-ACP的体积为
D.以点B为球心,BP为半径的球的表面积的最小值为π
【答案】AB
【解析】对于选项A,显然△C1A1D为等边三角形,其边长为2,C1P的最小值为边A1D上的高,易求得高为,故选项A正确;
对于选项B,如图,将等边三角形BA1D绕边A1D旋转到与平面A1DCB1共面,B移至B',显然(BP+PC)min=B'C==2,故选项B正确;
对于选项C,当点P与点D重合时,==S△ACD·BB1=×2×2=,故选项C错误;
对于选项D,显然当P为A1D的中点时,球的半径最小,此时球的半径为,因此该球的表面积的最小值为4π×()2=24π,故选项D错误.
11.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,P是椭圆C的上顶点,过点F1的直线l交椭圆C于A,B两点,则下列结论正确的有(　　).
A.△PF1F2为等边三角形
B.直线AP,BP的斜率之积为-
C.|PA|≤2b
D.当直线l的斜率不存在时,直线AP,BP的斜率之积与当直线l斜率为0时,直线AP,BP的斜率之积互为相反数
【答案】ACD
【解析】由题意,得a=2c,b=c.
对于选项A,显然△PF1F2为等腰三角形,又因为b=×2c,所以△PF1F2为等边三角形,故选项A正确;
对于选项B,当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my-c,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l和椭圆的方程,得整理可得(4+3m2)y2-6mcy-9c2=0,因此y1+y2=,y1y2=-,所以kAP·kBP=·==,
化简可得,kAP·kBP=,因此kAP·kBP随着m的变化而变化,故B错误;
对于选项D,当直线l的斜率不存在,即m=0时,kAP·kBP==,当直线l的斜率为0时,设A(-a,0),B(a,0),所以kAP·kBP=·=-=-,故选项D正确;
对于选项C,当点A与椭圆的下顶点重合时,|PA|取得最大值,此时|PA|=2b,所以|PA|≤2b,故选项C正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数f(x)=aln x-有两个极值点,则实数a的取值范围为　　　　.
【答案】(0,)
【解析】由题意,得f'(x)=-=(x>0),
若a≤0,则f'(x)<0,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,不可能存在两个极值点,舍去,若a>0,则由题意,得关于x的方程ax2+2(a-1)x+a=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根,所以解得013.(x+y)(2x-y)6的展开式中,x3y4的系数为　　　　.(用数字作答)
【答案】-100
【解析】展开式中含有x3y4的项为x(2x)2·(-y)4+y(2x)3(-y)3=(60-160)·x3y4=-100x3y4.
14.已知函数f(x)=sin(ωx+),写出一个“f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在(,)上单调”的充分不必要条件:　　　　.
【答案】ω=(答案不唯一)
【解析】由题意,得+=+kπ,k∈Z,解得ω=+3k,k∈Z,又f(x)在(,)上单调,所以-=≤,即T=≥,解得-12≤ω≤12,当ω=时,f(x)=sin(+),当x∈(,)时,+∈(,),此时f(x)在(,)上单调递减,符合题意;
当ω=时,f(x)=sin(+),当x∈(,)时,+∈(,),此时f(x)在(,)上单调递减,符合题意;
当ω=时,f(x)=sin(+),当x∈(,)时,+∈(,),此时f(x)在(,)上不单调,不符合题意;
同理可继续验证ω=,ω=-,ω=-,ω=-,ω=-,其中ω=,ω=-,ω=-符合题意.
因此“f(x)的图象关于直线x=对称,且f(x)在(,)上单调”的充要条件为“ω∈{,,,-,-}”.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(13分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且ctanB＝(2a－c)tanC.
(1)求角B的大小；
(2)若点D在边AC上，BD平分∠ABC，b＝2，求BD长的最大值．
【解析】(1)ctanB＝(2a－c)tanC，
由正弦定理得＝，
由sinC>0得sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，
所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，
即sin(B＋C)＝2sinAcosB.
因为B＋C＋A＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝2sinAcosB.又sinA>0，所以cosB＝.
因为0(2)如图所示，因为BD平分∠ABC，∠ABC＝，所以∠ABD＝∠DBC＝.
由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得AB×BD×sin＋BC×BD×sin＝AB×BC×sin，
所以BD＝.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝b2＝12，
所以AB×BC＝.
由AB×BC≤，
得≤，
从而AB＋BC≤4，当且仅当AB＝BC时取等号．
则BD＝＝(AB＋BC)－，
令BD＝y，AB＋BC＝x，则y＝x－(00，故y＝x－在(0,4]上单调递增，所以ymax＝×4－＝3，故BD长的最大值为3.
16．(15分)如图所示，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB＝DE＝2，CF＝1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点．
(1)求二面角A－BE－F的正弦值；
(2)是否存在点H使得GH∥平面BEF？若存在，求的值；否则，请说明理由．
【解析】(1)连接AC，BD交于点O，则AC⊥BD，
建立如图1所示的空间直角坐标系，
则A(，0,0)，B(0,1,0)，E(0，－1，2)，F(－，0,1)，
∴A＝(－，1,0)，B＝(0，－2,2)，B＝(－，－1,1)．
设平面ABE、平面BEF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，
n2＝(x2，y2，z2)，
令x1＝1，y1＝，z1＝，则n1＝(1，，)，
令y2＝1，x2＝0，z2＝1，则n2＝(0,1,1)．
设二面角A－BE－F的平面角大小为θ，
则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，∴sinθ＝＝，
∴二面角A－BE－F的正弦值为.
(2)存在点H符合题意，且＝.理由如下：
解法一(几何法)：
如图2，取FC的中点M，连接GM，
则GM∥BF，
而GM 平面BEF，BF 平面BEF，
∴GM∥平面BEF.
过点M作MN∥EF交ED于点N，连接NG.
同理可得，MN∥平面BEF，
又GM∩MN＝M，GM，MN 平面GMN，
∴平面GMN∥平面BEF，
∴GN∥平面BEF，
∴点N即为所求的点H.
∵四边形EFMN为平行四边形，
∴EN＝FM，
又DE＝2FC＝2，
∴＝.
解法二(向量法)：令E＝λ(λ∈[0,1])，
由(1)知D(0，－1,0)，G，
∴E＝λ(0,0，－2)＝(0,0，－2λ)，
∴G＝G＋E＝＋(0,0，－2λ)＝.
由(1)可知，平面BEF的法向量n2＝(0,1,1)．
若GH∥平面BEF，
则G·n2＝0，
∴0－＋2－2λ＝0，
∴λ＝，∴E＝E，
∴＝.
17．(15分)人的性格可以大体分为“外向型”和“内向型”两种，树人中学为了了解这两种性格特征与人的性别是否存在关联，采用简单随机抽样的方法抽取90名学生，得到如下数据：
性别 外向型 内向型
男性 45 15
女性 20 10
(1)以上述统计结果的频率估计概率，从该校男生中随机抽取2人、女生中随机抽取1人担任志愿者．设这三人中性格外向型的人数为X，求X的数学期望；
(2)对表格中的数据，依据α＝0.1的独立性检验，可以得出独立性检验的结论是这两种性格特征与人的性别没有关联．如果将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断这两种性格特征与人的性别之间的关联性，得到的结论是否一致？请说明理由．
附：参考公式：
χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
【解析】(1)解法一：由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取1人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取1人为外向型女生的概率是，
则X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝2×＝，
P(X＝1)＝C×××＋2×＝，
P(X＝2)＝2×＋C×××＝，
P(X＝3)＝2×＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
解法二：由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取1人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取1人为外向型女生的概率是，
从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为Y1；从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为Y2，则Y1～B，Y2～B，
所以E(Y1)＝2×＝，E(Y2)＝1×＝，
所以E(X)＝E(Y1＋Y2)＝E(Y1)＋E(Y2)＝＋＝.
(2)零假设为H0：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知
χ2＝＝≈6.923>2.706＝x0.1，
依据α＝0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
18．(17分)已知函数f(x)＝3a－x－(x＋1)ln(x＋1)，g(x)＝a2ex＋(2－a)x2－3ax(x>－1)，1≤a≤6，g(x)的导函数记为g′(x)，e为自然对数的底数，约为2.718.
(1)判断函数f(x)的零点个数；
(2)设x1是函数f(x)的一个零点，x2是函数g(x)的一个极值点，证明：－1【解析】(1)f′(x)＝－ln(x＋1)－2，
令f′(x)＝0，解得x＝－1＋.
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
令m(x)＝xlnx，
∴当x→0时，可令x＝e－t，则t→＋∞，s(t)＝－te－t，
易知当t→＋∞时，s(t)→0，
∴当x→－1时，y＝(x＋1)ln(x＋1)→0，
∴f(x)→3a＋1.
∵1≤a≤6，
∴3a＋1>0，即f(x)在区间上无零点，
又f(1)＝3a－1－2ln2≥3×1－1－2ln2>0，
f(e2－1)＝3a－(e2－1)－2e2＝3a＋1－3e2≤3×6＋1－3e2<0，
∴ x1∈(1，e2－1)使得f(x1)＝0，
即f(x)在区间上有一个零点，
∴函数f(x)的零点个数为1.
(2)证明：由(1)可知，函数f(x)有唯一零点x1，且x1>1.
下面判断函数g(x)的极值点情况，
g′(x)＝a2ex＋(2－a)x－3a(x>－1)，
令h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝a2ex＋2－a(x>－1)，
当1≤a≤2时，h′(x)>0，
∴h(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增，
当2a2e－1＋2－a>＋2－2＝>0，
∴h(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增．
综上，当1≤a≤6时，h(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增，
∵h(－1)＝－2a－2，
令r(a)＝－2a－2，r′(a)＝－2，
令r′(a)＝0，解得a＝e.
∵1≤a≤6，
∴r(a)在区间[1，e)上单调递减，在区间[e,6]上单调递增，
又r(1)＝－4<0，r(6)＝－14<0，
∴h(－1)<0.
又h(1)＝a2e－4a＋2≥12×e－4×1＋2＝e－2>0，
∴ x2∈(－1,1)使得h(x2)＝0，
即g′(x2)＝0，
且当x∈(－1，x2)时，h(x)＝g′(x)<0，
当x∈(x2,1)时，h(x)＝g′(x)>0，
∴g(x)在区间(－1，x2)上单调递减，在区间(x2,1)上单调递增，
∴当x∈(－1，＋∞)时，函数g(x)存在唯一的极值点x2，
且－1综上，－119．(17分)已知双曲线C与双曲线－x2＝1有相同的渐近线，且双曲线C的上焦点到一条渐近线的距离等于2.
(1)已知M(0，t)(t>4)，N为双曲线C上任意一点，求|MN|的最小值；
(2)已知动直线l：y＝kx＋m(k≠±2)与曲线C有且仅有一个交点P，过点P且与l垂直的直线l1与两坐标轴分别交于A(x0,0)，B(0，y0)．设点Q(x0，y0)．
①求点Q的轨迹方程；
②若对于一般情形，曲线C方程为－＝1，动直线l方程为y＝kx＋m，请直接写出点Q(x0，y0)的轨迹方程．
【解析】(1)依题意设双曲线C的方程为－＝1(b>0)，其上焦点坐标为(0，b)，
一条渐近线方程为2x－y＝0，则＝2，
∴b＝2，
∴C的方程为－＝1.
设N(x，y)，要使|MN|最小，结合图形和题意知y≥4，
|MN|＝＝
＝＝.
令m(y)＝2＋－4，y≥4.
当t≤4，即4∴当y＝4时，m(y)min＝(t－4)2，
∴|MN|min＝t－4；
当t>4，即t>5时，m(y)在上单调递减，在上单调递增，
∴当y＝t时，m(y)min＝t2－4，
∴|MN|min＝＝.
综上，|MN|min＝
(2)①由
得(k2－4)x2＋2kmx＋m2－16＝0，
由题意知k∈(－2,0)∪(0,2)，Δ＝0，
即4k2＋m2－16＝0，
∴2xP＝－，
∴xP＝－＝，
∴yP＝kxP＋m＝＋m＝＝，
∴P，
∴直线l1的方程为y－＝－，
令x＝0，得y0＝；
令y＝0，得x0＝，
∴Q.
∵×2－×2＝1，
∴点Q(x0，y0)的轨迹方程是－＝1(x≠0)，
方程表示去除上下顶点的双曲线．
②点Q(x0，y0)的轨迹方程是－＝1(x≠0).请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
金昌市金川高级中学 2025 届第二次模拟考试 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（15分）
15．（13分）
数学答题卡
姓 名：_________________________________________
准考证号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区
楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用
0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答
题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考
无效。 此栏考生禁填
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记
5．正确填涂
一、选择题（每小题 5分，共 40分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分，共 18分）
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
三、填空题（每小题 5分，共 15分）
12．____________________
13．____________________
14．____________________
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页）
{#{QQABQQCl4gCwkBYACZ7KUwWQCQkQkJGTLSoOAVCauAwKwQFAFCA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
17．（15分） 18．（17分） 19．（17分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第 4页（共 6页） 数学 第 5页（共 6页） 数学 第 6页（共 6页）
{#{QQABQQCl4gCwkBYACZ7KUwWQCQkQkJGTLSoOAVCauAwKwQFAFCA=}#}金昌市金川高级中学2025届第二次模拟考试
数学答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C A A B D C D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD AB ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．(0,) 13．-100 14．ω=(答案不唯一)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】(1)ctanB＝(2a－c)tanC，
由正弦定理得＝，
由sinC>0得sinBcosC＝2sinAcosB－sinCcosB，
所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinAcosB，
即sin(B＋C)＝2sinAcosB.
因为B＋C＋A＝π，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA＝2sinAcosB.又sinA>0，所以cosB＝.
因为0(2)如图所示，因为BD平分∠ABC，∠ABC＝，所以∠ABD＝∠DBC＝.
由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得AB×BD×sin＋BC×BD×sin＝AB×BC×sin，
所以BD＝.
在△ABC中，由余弦定理得AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝b2＝12，
所以AB×BC＝.
由AB×BC≤，
得≤，
从而AB＋BC≤4，当且仅当AB＝BC时取等号．
则BD＝＝(AB＋BC)－，
令BD＝y，AB＋BC＝x，则y＝x－(00，故y＝x－在(0,4]上单调递增，所以ymax＝×4－＝3，故BD长的最大值为3.
16．（15分）
【解析】(1)连接AC，BD交于点O，则AC⊥BD，
建立如图1所示的空间直角坐标系，
则A(，0,0)，B(0,1,0)，E(0，－1，2)，F(－，0,1)，
∴A＝(－，1,0)，B＝(0，－2,2)，B＝(－，－1,1)．
设平面ABE、平面BEF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，
n2＝(x2，y2，z2)，
令x1＝1，y1＝，z1＝，则n1＝(1，，)，
令y2＝1，x2＝0，z2＝1，则n2＝(0,1,1)．
设二面角A－BE－F的平面角大小为θ，
则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，∴sinθ＝＝，
∴二面角A－BE－F的正弦值为.
(2)存在点H符合题意，且＝.理由如下：
解法一(几何法)：
如图2，取FC的中点M，连接GM，
则GM∥BF，
而GM 平面BEF，BF 平面BEF，
∴GM∥平面BEF.
过点M作MN∥EF交ED于点N，连接NG.
同理可得，MN∥平面BEF，
又GM∩MN＝M，GM，MN 平面GMN，
∴平面GMN∥平面BEF，
∴GN∥平面BEF，
∴点N即为所求的点H.
∵四边形EFMN为平行四边形，
∴EN＝FM，
又DE＝2FC＝2，
∴＝.
解法二(向量法)：令E＝λ(λ∈[0,1])，
由(1)知D(0，－1,0)，G，
∴E＝λ(0,0，－2)＝(0,0，－2λ)，
∴G＝G＋E＝＋(0,0，－2λ)＝.
由(1)可知，平面BEF的法向量n2＝(0,1,1)．
若GH∥平面BEF，
则G·n2＝0，
∴0－＋2－2λ＝0，
∴λ＝，∴E＝E，
∴＝.
17．（15分）
【解析】(1)解法一：由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取1人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取1人为外向型女生的概率是，
则X的所有可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝2×＝，
P(X＝1)＝C×××＋2×＝，
P(X＝2)＝2×＋C×××＝，
P(X＝3)＝2×＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
解法二：由统计结果可知，外向型男生在所有男生中占比为，外向型女生在所有女生中占比为，故从该校男生中随机抽取1人为外向型男生的概率是，从该校女生中随机抽取1人为外向型女生的概率是，
从该校男生中随机抽取2人，抽到性格外向型的人数记为Y1；从该校女生中随机抽取1人，抽到性格外向型的人数记为Y2，则Y1～B，Y2～B，
所以E(Y1)＝2×＝，E(Y2)＝1×＝，
所以E(X)＝E(Y1＋Y2)＝E(Y1)＋E(Y2)＝＋＝.
(2)零假设为H0：这两种性格特征与人的性别无关联．
由所获得的所有数据都扩大为原来10倍，可知
χ2＝＝≈6.923>2.706＝x0.1，
依据α＝0.1的独立性检验，可以推断这两种性格特征与人的性别有关联，与原来的结论不一致，原因是每个数据扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致推断结论发生了变化．
18．（17分）
【解析】(1)f′(x)＝－ln(x＋1)－2，
令f′(x)＝0，解得x＝－1＋.
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
令m(x)＝xlnx，
∴当x→0时，可令x＝e－t，则t→＋∞，s(t)＝－te－t，
易知当t→＋∞时，s(t)→0，
∴当x→－1时，y＝(x＋1)ln(x＋1)→0，
∴f(x)→3a＋1.
∵1≤a≤6，
∴3a＋1>0，即f(x)在区间上无零点，
又f(1)＝3a－1－2ln2≥3×1－1－2ln2>0，
f(e2－1)＝3a－(e2－1)－2e2＝3a＋1－3e2≤3×6＋1－3e2<0，
∴ x1∈(1，e2－1)使得f(x1)＝0，
即f(x)在区间上有一个零点，
∴函数f(x)的零点个数为1.
(2)证明：由(1)可知，函数f(x)有唯一零点x1，且x1>1.
下面判断函数g(x)的极值点情况，
g′(x)＝a2ex＋(2－a)x－3a(x>－1)，
令h(x)＝g′(x)，
则h′(x)＝a2ex＋2－a(x>－1)，
当1≤a≤2时，h′(x)>0，
∴h(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增，
当2a2e－1＋2－a>＋2－2＝>0，
∴h(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增．
综上，当1≤a≤6时，h(x)在区间(－1，＋∞)上单调递增，
∵h(－1)＝－2a－2，
令r(a)＝－2a－2，r′(a)＝－2，
令r′(a)＝0，解得a＝e.
∵1≤a≤6，
∴r(a)在区间[1，e)上单调递减，在区间[e,6]上单调递增，
又r(1)＝－4<0，r(6)＝－14<0，
∴h(－1)<0.
又h(1)＝a2e－4a＋2≥12×e－4×1＋2＝e－2>0，
∴ x2∈(－1,1)使得h(x2)＝0，
即g′(x2)＝0，
且当x∈(－1，x2)时，h(x)＝g′(x)<0，
当x∈(x2,1)时，h(x)＝g′(x)>0，
∴g(x)在区间(－1，x2)上单调递减，在区间(x2,1)上单调递增，
∴当x∈(－1，＋∞)时，函数g(x)存在唯一的极值点x2，
且－1综上，－119．（17分）
【解析】(1)依题意设双曲线C的方程为－＝1(b>0)，其上焦点坐标为(0，b)，
一条渐近线方程为2x－y＝0，则＝2，
∴b＝2，
∴C的方程为－＝1.
设N(x，y)，要使|MN|最小，结合图形和题意知y≥4，
|MN|＝＝
＝＝.
令m(y)＝2＋－4，y≥4.
当t≤4，即4∴当y＝4时，m(y)min＝(t－4)2，
∴|MN|min＝t－4；
当t>4，即t>5时，m(y)在上单调递减，在上单调递增，
∴当y＝t时，m(y)min＝t2－4，
∴|MN|min＝＝.
综上，|MN|min＝
(2)①由
得(k2－4)x2＋2kmx＋m2－16＝0，
由题意知k∈(－2,0)∪(0,2)，Δ＝0，
即4k2＋m2－16＝0，
∴2xP＝－，
∴xP＝－＝，
∴yP＝kxP＋m＝＋m＝＝，
∴P，
∴直线l1的方程为y－＝－，
令x＝0，得y0＝；
令y＝0，得x0＝，
∴Q.
∵×2－×2＝1，
∴点Q(x0，y0)的轨迹方程是－＝1(x≠0)，
方程表示去除上下顶点的双曲线．
②点Q(x0，y0)的轨迹方程是－＝1(x≠0).

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