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庆阳市第一中学2025届第二次模拟考试
数学答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D D C C C B C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD BCD ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．3 13．40 14．2　2
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【解析】(1)因为m∥n，
所以c(sinB－sinC)－(b－a)(sinA＋sinB)＝0，
由正弦定理得c(b－c)－(b－a)(a＋b)＝0，
即bc－c2＋a2－b2＝0，
即b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理的推论得cosA＝＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为A＝，所以B＋C＝，
则cos(B＋C)＝－，
即cosBcosC－sinBsinC＝－，
又cosBcosC＝－，
所以sinBsinC＝.
因为△ABC的外接圆半径R＝2，
所以由正弦定理可得sinBsinC＝·＝＝，
所以bc＝，
所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.
16．（15分）
【解析】(1)证法一：取PD的中点G，连接GF，CG，
因为G，F分别为PD，PA的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD.
又四边形ABCD为矩形，且E为BC的中点，
所以CE∥AD，且CE＝AD，
所以GF∥CE，且GF＝CE，
所以四边形CEFG为平行四边形，
所以EF∥CG.又EF 平面PCD，CG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
证法二：取AD的中点M，连接FM，ME，
则EM∥CD，FM∥PD，
因为EM 平面PCD，CD 平面PCD，
所以EM∥平面PCD，
同理FM∥平面PCD.
又EM∩FM＝M，EM，FM 平面EFM，
所以平面EFM∥平面PCD.
又EF 平面EFM，所以EF∥平面PCD.
(2)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，PA 平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD.
如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(1,1,0)，F，
可得D＝(1，－1,0)，D＝，P＝(0,2，－1)．
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝4，
可得n＝(1,1,4)．
设直线PD与平面DEF所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，P〉|＝＝＝，
所以cosθ＝＝＝，
即直线PD与平面DEF所成角的余弦值为.
17．（15分）
【解析】(1)设每位顾客获得X元奖券，X的所有可能取值为：100,50,0，
P(X＝100)＝××＝，
P(X＝50)＝×C××＋×2＝，
P(X＝0)＝1－－＝，
∴每位顾客获得奖券金额的期望是
E(X)＝100×＋50×＋0＝16(元)．
(2)设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3，
则P(M)＝(Ni)P(M|Ni)＝×＋×＋×＝，
∴P(N1|M)＝＝＝＝，
即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.
18．（17分）
【解析】(1)∵l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，
∴不妨令C，D，
此时l1的方程：－x＝2·，即x＋y＋＝0，
l2方程：x＝2·，即x－y－＝0，
联立l1，l2的方程得P.
(2)证明：设过点P的两条切线分别与抛物线切于点Q，点R，如图所示，
∴PQ方程：x1x＝2·，即x1x＝＋y，
同理PR方程：x2x＝＋y，
∴P，且A，B.
设△PAB外接圆方程为2＋(y－m)2＝2＋m2.
∵△PAB外接圆经过点P，
∴2＋2＝2＋m2，
∴＋－mx1x2＝0，∴m＝，
∴2＋2＝2＋2，
整理得x2－x＋y2－y＋＝0，
∴x2＋y2－－x＋(1－2y)＝0，
令解得
∴△PAB的外接圆过定点.
(3)由题意得CD方程：y＝，
∴C，D，
∴|CD|＝
＝·
＝·.
又点P到直线CD的距离d＝，
∴S△PCD＝··.
设x1x2＝－t2，t>0，|x1－x2|＝n，
由(x1＋x2)2＝(x1－x2)2＋4x1x2＝n2－4t2≥0，得n≥2t，当且仅当x1＋x2＝0时，等号成立，
∴S△PCD＝··＝≥.
令f(t)＝，t>0，f′(t)＝·＝.由f′(t)<0得00得x>.
∴f(t)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(t)≥f＝，
∴△PCD面积S的最小值为.
19．（17分）
【解析】(1)①令a＝2，得＋＝2，
由a3＝1，得＋＝2，即a－3a2＋2＝0，
∴a2＝1或2，
令n＝1，得＋＝2，
若a2＝1，则＋＝2，解得a1＝1或2；
若a2＝2，则＋＝2，解得a1＝3或4，经检验均符合，
∴a1＝1或2或3或4.
②由已知等式得4a－2an＋1＋a＋an＝4anan＋1，
∴(2an＋1－an)2－(2an＋1－an)＝0，
∴(2an＋1－an)(2an＋1－an－1)＝0，
∴an＋1＝或an＋1＝，
∴a2＝或a2＝，
a3＝或或或，
a4＝或或或或…或，
…
a7＝或或…或，
a8＝或或…或.
由题意得∴解得1≤a1<128，
∴a1的取值范围为[1,128)．
(2)由(1)②可知，ak＝或或或…或，k≥2.
令＝，0≤m′≤2k－1－1，m′∈N，
∴＝m′，
当k＝11时，m′＝93，a11＝＝＝a1，
∴存在正整数k，使得ak＝a1，kmin＝11.庆阳市第一中学 2025 届第二次模拟考试 圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系 xOy 中,给定两点 E(2,4),F(4,2),点 Q 在 y 轴上
移动,则∠EQF 的最大值为( ).
数学
A.30° B.45° C.60° D.135°
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
1
7.已知 a∈(0,π),且 sin a+cos a= ,则 tan 2a=( ).
注意事项： 5
1 12 12 24 24．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答 A. B.- C. D.-
7 7 7 7
题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在
2 2
8.设 F1,F2分别是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 是双曲线 C 右支上的一点,若△AF1F2的内切圆
答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 M的半径为 a(M 为圆心),且 λ∈R,使得 +3 =λ 1 2(O 为原点),则双曲线 C 的离心率为( ).
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 A. 3 B. 5 C.2 D.2 5
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
无效。
π π
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 9.已知函数 f(x)=Asin ωx- (A>0,ω>0)的图象过点(0,-1),且两条相邻对称轴之间的距离为 ,则下列6 2
第一部分（选择题 共 58 分） 说法正确的是( ).
π
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 A.ω=2 B.函数 f(x)在 0, 上单调递增
2
要求的。 π π
C.直线 x=- 为函数 f(x)图象的一条对称轴 D.函数 f(x)在 0, 上的值域为[-1,2]
6 2
1.样本数据 15,13,12,31,29,25,43,19,17,38 的中位数为( ).
10.已知 z1,z2互为共轭复数,则( ).
A.19 B.22 C.21 D.18
A. 21= 22 B.|z1|=|z2| C.z1+z2∈R D.z1z2∈R
2 2
2.已知方程 - =1 表示的曲线是椭圆,则实数 k 的取值范围是( ).
-2 -4 11.函数 y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足 f(3+x)-f(3-x)+6x=0,函数
A.(2,3) B.(3,4) C.(2,4) D.(2,3)∪(3,4) f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,则( ).
3.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 5a5-2S5=2,则 3a6-S6=( ). A.f(x)的图象关于点(1,1)对称 B.8 是 f(x)的一个周期
12 6
A.4 B. C. D.6 C.f(x)一定存在零点 D.f(101)=-299
5 5
4.设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( ). 第二部分（非选择题 共 92 分）
A.若α⊥β,m∥α,则 m⊥β B.若α⊥β,m α,则 m⊥β 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
C.若 m∥α,n⊥α,则 m⊥n D.若 m⊥n,m∥α,则 n⊥α 12.已知集合 A={1,|a-1|,a+2},且 2∈A,则实数 a 的值为 .
5.学校食堂的一个窗口售卖 5 种菜品,甲、乙两名同学每人从中选 1 种或 2 种,且两人选择菜品互不影响, 13.我国古代数学典籍《九章算术》中有一种名为“羡除”的几何体,它由古代的隧道形状抽
则不同的选法种数为( ). 象而来.如图所示,在五面体 ABCDEF 中,EF∥AD∥BC,四边形 ADEF,ADCB,EFBC 为等腰梯形,且
A.20 B.25 C.225 D.450 平面 ADEF⊥平面 ADCB.其中 EF=a,AD=b,BC=c(b>c>a),且 EF到平面 ADCB的距离为 h,BC和 AD
6.几何学史上著名的米勒问题如下:“设 E,F 是锐角∠APB 的一边 PA 上的两点,试在边 之间的距离为 d.若 a=4,b=10,c=6,h=3,d=4,则该“羡除”的体积为 .
PB 上找一点 Q,使得∠EQF 最大.”如图,其结论如下:Q 为过 E,F 两点且与射线 PB 相切的 +2 14.设 a,b 为正实数,若 a+4b=4,则 的最小值为 ,此时 a的值为 .

高三数学试题 第 1页（共 4页） 高三数学试题 第 2页（共 4页）
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
… 姓名：_____________班级：_______________考场：______________座位号：______________
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15 (13 ) ABC 18．(17分)已知抛物线 E：x
2＝2y，焦点为 F，过 F作 y轴的垂线 l ，点 P在 x轴下方，过点 P作抛物线 E
． 分 在△ 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量 m＝(b－a，c)，n＝(sinB－sinC，sinA 0
sinB) m n. 的两条切线 l1，l2，l1，l2分别交 x轴于 A，B两点，l＋ ，且 ∥ 1，l2分别交 l0于 C，D两点．
(1) A (1)若 l1，l2与抛物线 E相切于 C，D两点，求点 P的坐标；求 ；
1 (2)证明：△PAB的外接圆过定点；(2)若△ABC的外接圆半径为 2，且 cosBcosC＝－ ，求△ABC的面积．
6 (3)求△PCD面积 S的最小值．
16．(15分)如图所示，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥AB，PA＝AB＝1，AD＝2，E，F
分别是 BC，PA的中点．
(1)求证：EF∥平面 PCD；
2an 1－1 an＋1
(2)若平面 PAB⊥平面 ABCD，求直线 PD与平面 DEF所成角的余弦值． 19．(17分)已知数列{an}满足 ＋ ＋ ＝2，n∈N*.an 2an＋1
(1)已知 an>0.
①若 a3＝1，求 a1；
②若关于 m的不等式 am<1的解集为 M，集合 M中的最小元素为 8，求 a1的取值范围；
(2)若 a 11＝ ，是否存在正整数 k(k≥2)，使得 ak＝a1，若存在，求出 k的最小值；若不存在，请说明理
11
17．(15分)春节临近，为了吸引顾客，某市一大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有 A，B，C三个抽奖
由．
1
项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目 A中奖的概率是 ，项目 B和 C中奖
4
2
的概率都是 .
5
(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加 A，B，C三个项目，如果 A，B，C三个项目全部中奖，
顾客将获得 100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得 50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得
奖券金额的期望；
(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是 A项目的
概率．
高三数学试题 第 3页（共 4页） 高三数学试题 第 4页（共 4页）
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………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
装 订 线 内 不 要 答 题
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………庆阳市第一中学2025届第二次模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据15,13,12,31,29,25,43,19,17,38的中位数为(　　).
A.19 B.22 C.21 D.18
2.已知方程-=1表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是(　　).
A.(2,3) B.(3,4) C.(2,4) D.(2,3)∪(3,4)
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若5a5-2S5=2,则3a6-S6=(　　).
A.4 B. C. D.6
4.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　).
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β B.若α⊥β,m α,则m⊥β
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α
5.学校食堂的一个窗口售卖5种菜品,甲、乙两名同学每人从中选1种或2种,且两人选择菜品互不影响,则不同的选法种数为(　　).
A.20 B.25 C.225 D.450
6.几何学史上著名的米勒问题如下:“设E,F是锐角∠APB的一边PA上的两点,试在边PB上找一点Q,使得∠EQF最大.”如图,其结论如下:Q为过E,F两点且与射线PB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点E(2,4),F(4,2),点Q在y轴上移动,则∠EQF的最大值为(　　).
A.30° B.45° C.60° D.135°
7.已知a∈(0,π),且sin a+cos a=,则tan 2a=(　　).
A. B.- C. D.-
8.设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是双曲线C右支上的一点,若△AF1F2的内切圆M的半径为a(M为圆心),且 λ∈R,使得+3=λ(O为原点),则双曲线C的离心率为(　　).
A. B. C.2 D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数f(x)=Asinωx-(A>0,ω>0)的图象过点(0,-1),且两条相邻对称轴之间的距离为,则下列说法正确的是(　　).
A.ω=2 B.函数f(x)在0,上单调递增
C.直线x=-为函数f(x)图象的一条对称轴 D.函数f(x)在0,上的值域为[-1,2]
10.已知z1,z2互为共轭复数,则(　　).
A.= B.|z1|=|z2| C.z1+z2∈R D.z1z2∈R
11.函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足f(3+x)-f(3-x)+6x=0,函数f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,则(　　).
A.f(x)的图象关于点(1,1)对称 B.8是f(x)的一个周期
C.f(x)一定存在零点 D.f(101)=-299
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,则实数a的值为　　　　.
13.我国古代数学典籍《九章算术》中有一种名为“羡除”的几何体,它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示,在五面体ABCDEF中,EF∥AD∥BC,四边形ADEF,ADCB,EFBC为等腰梯形,且平面ADEF⊥平面ADCB.其中EF=a,AD=b,BC=c(b>c>a),且EF到平面ADCB的距离为h,BC和AD之间的距离为d.若a=4,b=10,c=6,h=3,d=4,则该“羡除”的体积为　　　　.
14.设a,b为正实数,若a+4b=4,则的最小值为　　　　,此时a的值为　　　　.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(b－a，c)，n＝(sinB－sinC，sinA＋sinB)，且m∥n.
(1)求A；
(2)若△ABC的外接圆半径为2，且cosBcosC＝－，求△ABC的面积．
16．(15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA＝AB＝1，AD＝2，E，F分别是BC，PA的中点．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，求直线PD与平面DEF所成角的余弦值．
17．(15分)春节临近，为了吸引顾客，某市一大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A，B，C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.
(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A，B，C三个项目，如果A，B，C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望；
(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．
18．(17分)已知抛物线E：x2＝2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l0，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线l1，l2，l1，l2分别交x轴于A，B两点，l1，l2分别交l0于C，D两点．
(1)若l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；
(2)证明：△PAB的外接圆过定点；
(3)求△PCD面积S的最小值．
19．(17分)已知数列{an}满足＋＝2，n∈N*.
(1)已知an>0.
①若a3＝1，求a1；
②若关于m的不等式am<1的解集为M，集合M中的最小元素为8，求a1的取值范围；
(2)若a1＝，是否存在正整数k(k≥2)，使得ak＝a1，若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
庆阳市第一中学 2025 届第二次模拟考试 四、解答题（共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（15分）
15．（13分）
数学答题卡
姓 名：_________________________________________
准考证号：
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区
楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用
0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答
题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出
区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考
无效。 此栏考生禁填
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记
5．正确填涂
一、选择题（每小题 5分，共 40分）
1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D]
二、选择题（全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分，共 18分）
9 [A] [B] [C] [D]
10 [A] [B] [C] [D]
11 [A] [B] [C] [D]
三、填空题（每小题 5分，共 15分）
12．____________________
13．____________________
14．____________________ ____________________
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
17．（15分） 18．（17分） 19．（17分）
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{#{QQABKQQQogiAAhAAARgCUwGiCACQkBCAASoGBBAUIAABwQNABAA=}#}庆阳市第一中学2025届第二次模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号。将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据15,13,12,31,29,25,43,19,17,38的中位数为(　　).
A.19 B.22 C.21 D.18
【答案】B
【解析】这10个数据按照从小到大的顺序排列为12,13,15,17,19,25,29,31,38,43,所以这组数据的中位数是=22.
2.已知方程-=1表示的曲线是椭圆,则实数k的取值范围是(　　).
A.(2,3) B.(3,4)
C.(2,4) D.(2,3)∪(3,4)
【答案】D
【解析】因为方程-=1表示的曲线是椭圆,所以解得23.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若5a5-2S5=2,则3a6-S6=(　　).
A.4 B. C. D.6
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d,则5a5-2S5=5(a1+4d)-2(5a1+10d)=-5a1=2,
所以a1=-,所以3a6-S6=3(a1+5d)-(6a1+15d)=-3a1=-3×-=.
4.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　).
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
B.若α⊥β,m α,则m⊥β
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n
D.若m⊥n,m∥α,则n⊥α
【答案】C
【解析】如图所示,
对于A,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,m为B1C1,则α⊥β,m∥α,而m β,故A错误;
对于B,设平面α为平面ABCD,平面β为平面BCC1B1,m为AD,则α⊥β,m α,而m∥β,故B错误;
对于C,过m作平面γ与平面α交于直线b,m∥α,则m∥b,n⊥α,可得n⊥b,则m⊥n,故C正确;
对于D,设平面α为平面ABCD,m为A1B1,n为B1C1,则m⊥n,m∥α,而n∥α,故D错误.故选C.
5.学校食堂的一个窗口售卖5种菜品,甲、乙两名同学每人从中选1种或2种,且两人选择菜品互不影响,则不同的选法种数为(　　).
A.20 B.25 C.225 D.450
【答案】C
【解析】甲和乙各自的选择方法都有+=15(种),所以不同的选择方法共有15×15=225(种).
6.几何学史上著名的米勒问题如下:“设E,F是锐角∠APB的一边PA上的两点,试在边PB上找一点Q,使得∠EQF最大.”如图,其结论如下:Q为过E,F两点且与射线PB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点E(2,4),F(4,2),点Q在y轴上移动,则∠EQF的最大值为(　　).
A.30° B.45° C.60° D.135°
【答案】B
【解析】设圆心C的坐标为(a,b),点P的坐标为(0,m),则Q(0,b),圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=a2,直线EF的方程为y=-x+6,所以m=6,且b<6.
因为E,F两点在圆C上,所以解得
所以Q(0,2),C(2,2),所以|QF|=4,|QE|=2,|EF|=2,
所以△QEF为等腰直角三角形,所以∠EQF=45°.
故选B.
7.已知a∈(0,π),且sin a+cos a=,则tan 2a=(　　).
A. B.- C. D.-
【答案】C
【解析】因为sin a+cos a=,所以(sin a+cos a)2=1+2sin acos a=,即sin acos a=-,
又因为a∈(0,π),所以sin a>0,cos a<0,
又(sin a-cos a)2=1-2sin acos a=,所以sin a-cos a=,
结合sin a+cos a=,可得sin a=,cos a=-,则tan a=-.
故tan 2a===.故选C.
8.设F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A是双曲线C右支上的一点,若△AF1F2的内切圆M的半径为a(M为圆心),且 λ∈R,使得+3=λ(O为原点),则双曲线C的离心率为(　　).
A. B. C.2 D.2
【答案】A
【解析】设M(xM,yM),A(xA,yA),根据对称性,不妨设点A在第一象限,此时点M也在第一象限.
因为+3=λ,所以yM-yA+3yM=0,即yA=4yM=4a,
所以=×2c×4a=·(|AF1|+|AF2|+2c)·a,又|AF1|-|AF2|=2a,解得|AF1|=3c+a,|AF2|=3c-a,F1(-c,0),所以|AF1|=====exA+a,
所以|AF1|=a+exA,解得xA=3a,所以A(3a,4a),代入双曲线方程得-=1,解得b=a,c==a,所以e==.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数f(x)=Asinωx-(A>0,ω>0)的图象过点(0,-1),且两条相邻对称轴之间的距离为,则下列说法正确的是(　　).
A.ω=2
B.函数f(x)在0,上单调递增
C.直线x=-为函数f(x)图象的一条对称轴
D.函数f(x)在0,上的值域为[-1,2]
【答案】ACD
【解析】由函数f(x)的图象过点(0,-1),知-1=Asin-,得A=2.
对于A,因为f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为,且ω>0,所以×=,解得ω=2,故A正确.
对于B,由题意知,f(x)=2sin2x-.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)在0,上单调递增,在,上单调递减,故B不正确.
对于C,由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).
当k=-1时,x=-,所以直线x=-为函数f(x)图象的一条对称轴,故C正确.
对于D,由x∈0,,得2x-∈-,.
当2x-=,即x=时,函数f(x)=2sin2x-取得最大值,最大值为2;
当2x-=-,即x=0时,函数f(x)=2sin2x-取得最小值,最小值为-1.
所以f(x)∈[-1,2],故D正确.故选ACD.
10.已知z1,z2互为共轭复数,则(　　).
A.= B.|z1|=|z2|
C.z1+z2∈R D.z1z2∈R
【答案】BCD
【解析】设z1=a+bi,z2=a-bi(a,b∈R).
对于A,=a2-b2+2abi,=a2-b2-2abi,则=不一定成立,故A错误;
对于B,|z1|=|z2|=,故B正确;
对于C,z1+z2=2a∈R,故C正确;
对于D,z1z2=a2+b2∈R,故D正确.
故选BCD.
11.函数y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,且满足f(3+x)-f(3-x)+6x=0,函数f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,则(　　).
A.f(x)的图象关于点(1,1)对称
B.8是f(x)的一个周期
C.f(x)一定存在零点
D.f(101)=-299
【答案】ACD
【解析】对于A,因为f(1-2x)的图象关于点(0,1)对称,所以f(1-2x)+f(1+2x)=2,故f(1-x)+f(1+x)=2,所以函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,故A正确;
由f(3+x)-f(3-x)+6x=0,得f(3+x)+3x=f(3-x)-3x,令g(x)=f(3+x)+3x,所以g(-x)=f(3-x)-3x,所以g(x)=g(-x),故g(x)为偶函数,又f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x)+f(-x+2)=2,又f(x)=g(x-3)-3(x-3),从而g(x-3)-3(x-3)+g(-x+2-3)-3(-x+2-3)=2 g(x-3)+g(-x-1)=-10,
所以函数g(x)的图象关于点(-2,-5)对称,
对于C,在f(1-x)+f(1+x)=2中,
令x=0,则f(1)=1>0,
所以g(-2)=f(1)-6=-5,所以g(2)=-5=f(5)+6,可得f(5)=-11<0,由于y=f(x)在区间(-∞,+∞)上的图象是一条连续不断的曲线,则由零点存在性定理可得f(x)在(1,5)上有零点,故C正确;
对于D,由函数g(x)的图象关于点(-2,-5)对称,且g(x)=g(-x),得g(x)+g(-x-4)=-10 g(x)+g(x+4)=-10,又g(x+8)+g(x+4)=-10,所以g(x)=g(x+8),所以g(x)是周期为8的周期函数,f(101)=g(98)-3×98=g(2)-294=-5-294=-299,故D正确;
对于B,f(1)=1,f(9)=g(6)-18=g(-2)-18=g(2)-18=-5-18=-23≠f(1),所以8不是f(x)的周期,故B错误.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,则实数a的值为　　　　.
【答案】3
【解析】由集合A={1,|a-1|,a+2},且2∈A,得|a-1|=2或a+2=2,解得a=0或a=3或a=-1.
当a=0时,A={2,1,1},与集合中元素的互异性矛盾,舍去;
当a=3时,A={1,2,5},符合题意;
当a=-1时,A={1,2,1},与集合中元素的互异性矛盾,舍去.
故实数a的值为3.
13.我国古代数学典籍《九章算术》中有一种名为“羡除”的几何体,它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示,在五面体ABCDEF中,EF∥AD∥BC,四边形ADEF,ADCB,EFBC为等腰梯形,且平面ADEF⊥平面ADCB.其中EF=a,AD=b,BC=c(b>c>a),且EF到平面ADCB的距离为h,BC和AD之间的距离为d.若a=4,b=10,c=6,h=3,d=4,则该“羡除”的体积为　　　　.
【答案】40
【解析】如图,在平面ADEF内,过点E,F分别作AD的垂线,垂足分别为G,H,
在平面ADCB内,过点G,H分别作AD的垂线,与BC分别交于点M,N,
将“羡除”ABCDEF分割为两个四棱锥F-BNHA,E-CMGD和一个直棱柱EGM-FHN.
因为EF∥AD∥BC,四边形ADEF,ADCB,EFBC为等腰梯形,且平面ADEF⊥平面ADCB,
所以EF=GH=MN=a,EG=FH=h,MG=NH=d,故所求几何体的体积VABCDEF=VEGM-FHN+VF-BNHA+VE-CMGD=S△EGM·GH+S四边形BNHA·FH+S四边形CMGD·EG=·MG·EG·HG+×·(BN+AH)·NH·FH+×·(CM+GD)·EG·MG=dha+dh·(BN+AH+CM+GD)=dha+dh(c-a+b-a)=dh(a+b+c)=×4×3×(4+10+6)=40.
14.设a,b为正实数,若a+4b=4,则的最小值为　　　　,此时a的值为　　　　.
【答案】2　2
【解析】由a,b为正实数,a+4b=4,得4=a+4b≥2=4,当且仅当a=4b=2时取等号,因此0令y=,其中x=ab∈(0,1],因为该函数在(0,1]上单调递减,所以当x=1时,y取得最小值,ymin=,
所以当ab=1,且a+4b=4,即a=2,b=时,取得最小值,最小值为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．(13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(b－a，c)，n＝(sinB－sinC，sinA＋sinB)，且m∥n.
(1)求A；
(2)若△ABC的外接圆半径为2，且cosBcosC＝－，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为m∥n，
所以c(sinB－sinC)－(b－a)(sinA＋sinB)＝0，
由正弦定理得c(b－c)－(b－a)(a＋b)＝0，
即bc－c2＋a2－b2＝0，
即b2＋c2－a2＝bc，
所以由余弦定理的推论得cosA＝＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为A＝，所以B＋C＝，
则cos(B＋C)＝－，
即cosBcosC－sinBsinC＝－，
又cosBcosC＝－，
所以sinBsinC＝.
因为△ABC的外接圆半径R＝2，
所以由正弦定理可得sinBsinC＝·＝＝，
所以bc＝，
所以S△ABC＝bcsinA＝××＝.
16．(15分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥AB，PA＝AB＝1，AD＝2，E，F分别是BC，PA的中点．
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)若平面PAB⊥平面ABCD，求直线PD与平面DEF所成角的余弦值．
【解析】(1)证法一：取PD的中点G，连接GF，CG，
因为G，F分别为PD，PA的中点，
所以GF∥AD，且GF＝AD.
又四边形ABCD为矩形，且E为BC的中点，
所以CE∥AD，且CE＝AD，
所以GF∥CE，且GF＝CE，
所以四边形CEFG为平行四边形，
所以EF∥CG.又EF 平面PCD，CG 平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
证法二：取AD的中点M，连接FM，ME，
则EM∥CD，FM∥PD，
因为EM 平面PCD，CD 平面PCD，
所以EM∥平面PCD，
同理FM∥平面PCD.
又EM∩FM＝M，EM，FM 平面EFM，
所以平面EFM∥平面PCD.
又EF 平面EFM，所以EF∥平面PCD.
(2)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PA⊥AB，PA 平面PAB，
所以PA⊥平面ABCD.
如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(1,1,0)，F，
可得D＝(1，－1,0)，D＝，P＝(0,2，－1)．
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则y＝1，z＝4，
可得n＝(1,1,4)．
设直线PD与平面DEF所成的角为θ，
则sinθ＝|cos〈n，P〉|＝＝＝，
所以cosθ＝＝＝，
即直线PD与平面DEF所成角的余弦值为.
17．(15分)春节临近，为了吸引顾客，某市一大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A，B，C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是.
(1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A，B，C三个项目，如果A，B，C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望；
(2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率．
【解析】(1)设每位顾客获得X元奖券，X的所有可能取值为：100,50,0，
P(X＝100)＝××＝，
P(X＝50)＝×C××＋×2＝，
P(X＝0)＝1－－＝，
∴每位顾客获得奖券金额的期望是
E(X)＝100×＋50×＋0＝16(元)．
(2)设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3，
则P(M)＝(Ni)P(M|Ni)＝×＋×＋×＝，
∴P(N1|M)＝＝＝＝，
即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是.
18．(17分)已知抛物线E：x2＝2y，焦点为F，过F作y轴的垂线l0，点P在x轴下方，过点P作抛物线E的两条切线l1，l2，l1，l2分别交x轴于A，B两点，l1，l2分别交l0于C，D两点．
(1)若l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，求点P的坐标；
(2)证明：△PAB的外接圆过定点；
(3)求△PCD面积S的最小值．
【解析】(1)∵l1，l2与抛物线E相切于C，D两点，
∴不妨令C，D，
此时l1的方程：－x＝2·，即x＋y＋＝0，
l2方程：x＝2·，即x－y－＝0，
联立l1，l2的方程得P.
(2)证明：设过点P的两条切线分别与抛物线切于点Q，点R，如图所示，
∴PQ方程：x1x＝2·，即x1x＝＋y，
同理PR方程：x2x＝＋y，
∴P，且A，B.
设△PAB外接圆方程为2＋(y－m)2＝2＋m2.
∵△PAB外接圆经过点P，
∴2＋2＝2＋m2，
∴＋－mx1x2＝0，∴m＝，
∴2＋2＝2＋2，
整理得x2－x＋y2－y＋＝0，
∴x2＋y2－－x＋(1－2y)＝0，
令解得
∴△PAB的外接圆过定点.
(3)由题意得CD方程：y＝，
∴C，D，
∴|CD|＝
＝·
＝·.
又点P到直线CD的距离d＝，
∴S△PCD＝··.
设x1x2＝－t2，t>0，|x1－x2|＝n，
由(x1＋x2)2＝(x1－x2)2＋4x1x2＝n2－4t2≥0，得n≥2t，当且仅当x1＋x2＝0时，等号成立，
∴S△PCD＝··＝≥.
令f(t)＝，t>0，f′(t)＝·＝.由f′(t)<0得00得x>.
∴f(t)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(t)≥f＝，
∴△PCD面积S的最小值为.
19．(17分)已知数列{an}满足＋＝2，n∈N*.
(1)已知an>0.
①若a3＝1，求a1；
②若关于m的不等式am<1的解集为M，集合M中的最小元素为8，求a1的取值范围；
(2)若a1＝，是否存在正整数k(k≥2)，使得ak＝a1，若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)①令a＝2，得＋＝2，
由a3＝1，得＋＝2，即a－3a2＋2＝0，
∴a2＝1或2，
令n＝1，得＋＝2，
若a2＝1，则＋＝2，解得a1＝1或2；
若a2＝2，则＋＝2，解得a1＝3或4，经检验均符合，
∴a1＝1或2或3或4.
②由已知等式得4a－2an＋1＋a＋an＝4anan＋1，
∴(2an＋1－an)2－(2an＋1－an)＝0，
∴(2an＋1－an)(2an＋1－an－1)＝0，
∴an＋1＝或an＋1＝，
∴a2＝或a2＝，
a3＝或或或，
a4＝或或或或…或，
…
a7＝或或…或，
a8＝或或…或.
由题意得∴解得1≤a1<128，
∴a1的取值范围为[1,128)．
(2)由(1)②可知，ak＝或或或…或，k≥2.
令＝，0≤m′≤2k－1－1，m′∈N，
∴＝m′，
当k＝11时，m′＝93，a11＝＝＝a1，
∴存在正整数k，使得ak＝a1，kmin＝11.

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