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2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校 班级 姓名 考场号 座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，再求交集运算即可.
【详解】，
所以，
故选：B.
2. 已知为虚数单位，复数，则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数除法运算可求得复数，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可.
【详解】
所以，A错误；
因为，所以虚部为，B错误；
，C错误；
在复平面内对应的点为在第四象限，故D正确.
故选：D
3. 一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先判断分位数的位置，然后根据题意列方程求解即可.
【详解】因为，
所以该组数据的分位数是第4、第5位数的平均数，
所以，解得，
故选：C.
4. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可得，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，即，即，
且，则，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
5. 已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算出向量与的夹角的余弦值，设出向量的坐标根据已知条件列出方程组即可求出向量的坐标.
【详解】，
设，所以，即，
又因为向量与的夹角等于向量与的夹角，
所以，即，
解方程组解得或，
所以或，又因为向量与不共线，
所以.
故选：A
6. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ）
A. 55 B. 45 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可.
【详解】令可得，
再令可得，
又因为，所以，
再令可得，
又因为，所以有，
即是等比数列，则有首项，公比，
所以，即，
则，
故选：C.
7. 从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离.
【详解】
根据双曲线具有的对称性，不妨设双曲线上第一象限的点，
则由双曲线可得渐近线方程为，即
所以由点到直线的距离公式可得：
由，
由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得，
即，则代入双曲线得：，
则过点作渐近线的垂线可得方程为：，
与渐近线联立解得：，即得，
再过点作渐近线的垂线可得方程为：，
与渐近线联立解得：，即得，
所以，
故选：A.
8. 若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，取中点，连接，过点作，由线面垂直的判定定理可得平面，然后由余弦定理可得的值，即可得到的值，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】
取中点，连接，过点作，
由条件可得均为等边三角形，
则，且，平面，
所以平面，又平面，所以，
且，平面，所以平面，
又，则，
且是三棱锥外接球的直径，则，
则，
在中，由余弦定理可得，
则，
所以，
则.
故选：C
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设函数，则（ ）
A. 函数为奇函数
B.
C. 函数的值域为
D. 函数在其定义域上为增函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于B选项直接代入对应的函数解析式即可判断；对于C选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域；对于D选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性.
【详解】，
令，此函数定义域为，
，故此函数为奇函数，A正确；
；
，B正确；
，令，则，
因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知
所以，即，
所以函数的值域为，C正确；
，令，
，
由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且
由反比例函数单调性可知： 随增大而减小，
故当当时即时为减函数，故D错误.
故选：ABC
10. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（）
A.
B. 直线是曲线的对称轴
C. 在区间内有两个极值点
D. 曲线与直线所围成封闭图形的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用辅助角公式，结合图象变换可得到；对于B，只需验证是否为最小值或最大值即可；对于C，利用换元法判断在上的极值点即可；对于D，由周期性及对称性可求封闭图形的面积.
【详解】对于A，，
向右平移个单位长得度，故A正确；
对打B，由A知，
是曲线的对称轴，故B正确；
对于当时，
在单调递增，在单调递减，
sint在只有1个极值点，故只有1个极值点，故错误；
对于D，的最小正周期为，而的距离为，
所以围成的矩形面积为
又为轴对称及中心对称图形，
所围成封闭图形的面积为，故D还确.
故选：ABD
11. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A.
B. 若服从两点分布，，则
C. 若，则
D. 若实数为常数，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据随机变量的生成函数定义，结合随机变量数学期望的求法，逐项判断即可.
【详解】对于A，随机变量的生成函数，则，当时，，所以A正确；
对于B，服从两点分布，，则生成函数为，所以B错误；
对于C，，则生成函数为，所以C错误；
对于D，对于线性变换的生成函数，所以D正确.
故选：AD
【点睛】1、随机变量两点分布，则；
2、随机变量，则；
3、.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得为线段的中点，即可得到，再由焦半径公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，其准线方程为，
设，因为，则为线段的中点，
所以，即，
由抛物线的定义可得.
故答案为：2
13. 若角的终边经过点，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的定义来得到已知角的函数值，再用二倍角公式和诱导公式来求其它角的三角函数值.
【详解】根据已知条件可知：，
则
，
故答案为：.
14. 已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设与交于点，根据点的坐标写出点的坐标，然后在直角三角形中运用勾股定理列方程可得的关系式，进而得出的范围，最后求的取值范围即可．
【详解】如图，连接，设与交于点．
因为四边形是矩形，则，．
连接，在中，，
所以，
所以，即，
所以，所以，
故答案为：.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为的面积为，满足.
（1）求的值；
（2）若，求的周长.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由面积公式和余弦定理，即可求答案；
（2）由已知两角一边，先用正弦定理求另一边，再利用三角形内角和第三个角，再由正弦定理求第三边，从而可求得周长.
【小问1详解】
，再利用面积公式，
，即
又由余弦定理，得，
.
，
.
【小问2详解】
设的外接圆半径为，
，
由正弦定理，得.
，
.
，
由正弦定理，得，
所以，的周长为.
16. 如图1，已知平面四边形纸片.将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图2.
（1）若，证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）方法一：由余弦定理可得，再由勾股定理可得，由线面垂直的判定定理，即可证明；方法二：由空间向量的基底运算，可得垂直平面内任一向量，即可证明；
（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
方法一：（1）不妨设，
由题意可知，.
，
根据余弦定理，
得
，所以.
，
.
又且，平面，
平面.
方法二：（1）不妨设，
由题意可知，.
令，
以构成空间的一个基底，
则
设是平面内任一向量，
根据平面向量基本定理，得.
由于，
且，
所以，
从而，平面.
【小问2详解】
方法一：取中点为中点为，连接，
所以，
因为，所以，
因为中点为，所以，
又，所以平面，
因为平面，所以，
又，所以为等腰直角三角形，
又为中点，所以，
又，所以平面，
又平面，所以面面，
过作垂直于，交于点，则面，过作垂直于，交于点，连接，则即为平面与平面所成角，
不妨设，则
在中，
.
在中，
在中，
所以
所以平面与平面所成角的余弦值为.
方法二：以中点为坐标原点，以所在直线为轴，平面内过点垂直于直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系如图，设，则，则
设，
因为，
则
所以，不妨取，
易得平面的一个一个法向量为
设平面的一个法向量为
则，即，
不妨设，可得
设平面与平面所成角为
则
故平面与平面所成角的余弦值为.
17. 已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为.
（1）求椭圆方程；
（2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，定点
【解析】
【分析】（1）利用斜率公式可求参数，再由点在椭圆上可求参数，即可得椭圆方程；
（2）利用斜率取特殊值0时，找到定点的坐标，再利用一般斜率来进行证明即可得证.
【小问1详解】
设，且点，
得，.
由直线与直线的斜率之比为，得：
又因为点在上，
所以，，
将代入，解得，
所以的方程为.
【小问2详解】
当直线斜率为0时，分别为轴上两个端点，
此时，要满足成立，
则，此时点，点，猜想直线斜率不为0时，定点，
当直线斜率不为0时，设
由得
，
根据猜想有，
此时，满足也成立，
所以综上，椭圆的长轴上存在定点，使得直线与椭圆交于两点时，恰好成等差数列.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，
①求的取值范围；
②判断与的大小关系，并给出证明.
【答案】（1）
（2）①；②，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义代入计算，即可得到结果；
（2）①由条件可得有三个零点等价于在上有且只有一个零点，然后转化为的零点，然后利用导数即可判断；②结合①中的结论，考虑函数的单调性即可证明.
【小问1详解】
当时，，，
则，所以，切点，
则切线方程为.
【小问2详解】
①当时，即，
则，
且，
若有三个零点等价于在上有且只有一个零点，
令，则，函数的零点与有相同的零点，又在上零点情况等价于在上零点情况，
，
当时，，
在上单调递减，所以，在上无零点，不符合题意，
当时，令，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以在有唯一零点，即在有唯一零点
综上所述，有三个零点时，；
②由①知，时有三个零点，（其中），
考虑，
令，
则，所以在上单调递减，
所以，即，
所以，
又函数在上为增函数，
所以.
19. 依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）.
（1）求；
（2）求的递推关系式，并求；
（3）求的数学期望（用含有的式子表示）.
【答案】（1）
（2），
（3）.
【解析】
【分析】（1）由概率新定义计算可得；
（2）记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，由可得递推关系；由递推关系得到，然后设，求出即可；
（3）为第次投掷后出现的点数种类数，则，当时，通过计算得到，令，得到是以为首项，为公比的等比数列即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为；
记第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为，则第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率为；
故，
，
，
，
设，
则，于是，得，
，
所以，
所以，
又也满足上式，
所以.
【小问3详解】
为第次投掷后出现的点数种类数，
则，
当时，
，
令，则，
，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
，即，
.2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（二）
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校 班级 姓名 考场号 座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，复数，则（ ）
A.
B. 的虚部为
C.
D. 在复平面内对应的点在第四象限
3. 一组数据由小到大排列为，已知该组数据的分位数是9.5，则的值是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4. 若，且，则的最小值为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
5. 已知向量，若向量与的夹角等于向量与的夹角，且向量与不共线，则向量（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ）
A 55 B. 45 C. D.
7. 从双曲线上一点向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若是三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 设函数，则（ ）
A. 函数为奇函数
B.
C. 函数的值域为
D. 函数在其定义域上增函数
10. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位长度得到，则（）
A.
B. 直线是曲线的对称轴
C. 在区间内有两个极值点
D. 曲线与直线所围成封闭图形的面积为
11. 已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A.
B. 若服从两点分布，，则
C. 若，则
D. 若实数常数，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设抛物线的焦点为，点在抛物线上且，则__________.
13. 若角的终边经过点，则__________.
14. 已知是圆上两个动点，点坐标为，若点满足四边形是矩形，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别为的面积为，满足.
（1）求的值；
（2）若，求周长.
16. 如图1，已知平面四边形纸片.将该纸片沿对角线翻折，连接得到三棱锥，如图2.
（1）若，证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成角的余弦值.
17. 已知椭圆的左右顶点分别为，点在椭圆上.点为直线上的动点，直线与直线的斜率之比为.
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的长轴上是否存在定点，使得直线与椭圆交于两点，当点在直线上运动时，恒构成等差数列？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有三个零点，
①求的取值范围；
②判断与的大小关系，并给出证明.
19. 依次投掷一枚骰子若干次，观察向上一面的点数，表示在第次投掷后，前次的结果中出现种点数的概率，规定.记为第次投掷后出现的点数种类数（例如：投掷三次，向上一面点数分别为，则只有“3”“5”两种点数，于是）.
（1）求；
（2）求的递推关系式，并求；
（3）求的数学期望（用含有的式子表示）.

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