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高二下学期期中考试数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．24种 B．6种 C．12种 D．9种
2．已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A．250 B． C．500 D．
4．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（ ）
A．8 B．2 C．4 D．1
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线与函数的图象分别交于点，当取得最小值时，（ ）
A．e B．1 C．0 D．
7．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．记为等差数列的前项和．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．若为奇函数，则
B．的图象关于直线对称
C．若，则的单调递增区间为
D．当时，在上单调递增
11．已知表示中最小的数，表示中最大的数．若数列都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ）
A．的值可能为4，5，6，7 B．的值可能为3，4，5，6
C．的概率为 D．的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列的通项公式为，则的最小项的值为______．
13．将6名志愿者安排到5个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种．
14．将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则______，的前202项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求的取值范围．
16．（15分）为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，进行实验后得到如下结果：
单位：人
服用情况 患病情况
患病 不患病
服用中药预防方 100 900
不服用中药预防方 400 600
（1）从参与该实验的人中任选1人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人不患病”．利用该调查数据，求，的值．
（2）以频率作为概率，若每天从参与该实验且服用了中药预防方的人中随机抽取1人，连续抽取10天，每天抽取的结果相互独立，记这10天抽到的人中不患病的人数为X，求X的期望．
17．（15分）设等比数列的公比为，前项和为．令，数列的前项和为．
（1）若，求的通项公式；
（2）若为等比数列，且，求．
18．（17分）已知函数．
（1）求的极值；
（2）讨论的单调区间；
（3）若，求的取值范围．
19．（17分）某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球，取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有2个白球和3个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加1个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第2名和第3名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第n名顾客抽取的概率；
（3）求由第k名顾客终止抽奖活动的概率．

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