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第六章　6.3　6.3.1平面向量基本定理
一、选择题
1．如图，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
2．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝( )
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
3．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝－
D．＝－＋
4．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a＋b
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC中点，G为AC与DE的交点，若＝a，＝b，则用a，b表示＝( )
A．a－b B．b－a
C．a－b D．b－a
6．(多选题)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是( )
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
7．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A．2 B．4
C．5 D．7
8．在△ABC中，D为BC中点，M为AD中点，＝m＋n，则m＋n＝( )
A．－ B．
C．1 D．－1
二、填空题
9.如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝ 　.
10．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝　.
11．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝　.
12．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为___.
13．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为___.
三、解答题
14．设e1，e2是平面内不平行的非零向量，a＝e1＋e2，b＝e1－2e2.
(1)证明：a，b组成平面上向量的一组基底；
(2)请探究是否存在实数k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
15．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)若＝，求证：D，O，N三点共线．
16．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
第六章　6.3　6.3.1平面向量基本定理
一、选择题
1．C
2．A
由－＝2(－)，
所以3＝＋2＝c＋2b，
所以＝c＋b.
3．D
∵D为BC的中点，∴＝(＋)，
又O为靠近A的三等分点，
∴＝＝(＋)，
∴＝－＝－＋.
4．D
　由平面几何知识可得，＝，又＝a＋b，所以＝a＋b.
5．B
　在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
故△ADG∽△CEG，所以＝＝2，
即＝2， ＝，
故＝－＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b ，故选B．
6．ABD
选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确．
7．B
以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，
则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，
因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，
所以解得所以＝4.故选B．
8．A
因为D是BC的中点，所以＝＋，＝＝×(－)＝－.
又因为M是AD的中点，
所以，＝＋＝－＋(－)＝－＋，
又＝m＋n，所以m＝－，n＝，所以m＋n＝－.故选A．
二、填空题
9. b＋a　.
　＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
10． 　.
　依据平行向量基本定理列方程组求解．
∵λa＋b与a＋3b平行，
∴可设λa＋b＝t(a＋3b)，
即λa＋b＝ta＋3tb，
∴解得
11． a－b　.
　设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1与e2不共线，∴
∴∴e1＋e2＝a－b.
12． _3__.
　设点E为边BC的中点，则(＋)＝，
由题意，得＝，
所以＝＝(＋)＝＋，因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3.
13． _3__.
解法一：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝a＋b，
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λa＋λb，
从而消去λ，得＋＝3.
解法二：由题意知＝×(＋)＝
＝＋，
又P，G，Q三点共线，由三点共线性质定理可知＋＝1，即＋＝3.
解法三：(特例)当PQ∥AB时，m＝n＝，∴＋＝3.
三、解答题
14．
(1)证明：假设a，b共线，设a＝λb，
则e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，
因为e1，e2是平面内不平行的非零向量，所以无解，
所以a，b不共线，所以a，b组成平面上向量的一组基底．
(2)假设存在实数k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行，
设ke1＋e2＝μ(3e1＋ke2)，则ke1＋e2＝3μe1＋μke2，
因为e1，e2是平面内不平行的非零向量，所以解得k＝±，
所以存在实数k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行，k＝±.
15．
　(1)因为AN＝AB，
所以＝＝a，
所以＝－＝a－b.
因为BM＝BC，
所以＝＝＝b，
所以＝＋＝a＋b.
(2)证明：因为＝，所以＝＝(a＋b)＝a＋b，
则＝－＝a＋b－b＝a－b，
＝－＝a－b，
所以＝，即证D，O，N三点共线．
16．
　(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴ ∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴
故所求λ，μ的值分别为3和1.

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