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第六章　6.3　6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝( )
A． B．－
C． D．－
3．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
4．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于( )
A．－1＋ B．－1－
C．－1± D．1
5．(2024·浙江温州)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb(t∈R)，若＝，则实数t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
6．已知向量a＝(5,12)，b＝(2,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－ B．－
C． D．
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A． B．
C． D．
8．(2024·湖南长沙)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,3)，则向量a在b方向上的投影向量为( )
A．b B．－b
C．b D．－b
二、填空题
9．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝ 　.
10．(2024·云南昆明)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，y)，(a＋b)⊥a，则a在b方向上的投影向量是___.(用坐标表示)
11．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝　；·＝___.
12．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为　；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为 　.
13．已知点A(0,2)，B(2,3)，C(3,3)，D(6,7)，则在上的投影向量为　.(用坐标表示)
三、解答题
14．在如图的方格纸(每个小方格边长为1)上有A，B，C三点，已知向量a以A为始点．
(1)试以B为始点画出向量b，使b·a＝2，且|b|＝，并求向量b的坐标；
(2)在(1)的条件下，求(a＋b)·.
15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，求|＋3|的最小值．
16．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
第六章　6.3　6.3.5平面向量数量积的坐标表示
一、选择题
1.B
　∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．B
c＝(3＋k,1)，a·c＝0 3(3＋k)＋1＝0.
所以k＝－.
3．C
　由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.
所以，|a|＝＝＝2.
4．C
∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝，
即－＝，
化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±.
5．C
a＝(3,4)，b＝(1,0)，
所以c＝a＋tb＝(3,4)＋t(1,0)＝(3＋t,4)，|a|＝＝5，|b|＝1，
因为＝，
所以＝，解得t＝5.
故选C．
6．C
因为a＝(5,12)，b＝(2,0)，c＝a＋tb，
则c＝(5,12)＋t(2,0)＝(5＋2t,12)，
所以a·c＝5(5＋2t)＋122，b·c＝2(5＋2t)，|a|＝＝13，|b|＝2，
|c|＝≠0，
因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，
所以＝，即＝，解得t＝.
故选C．
7．D
不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
8．C
　因为向量a＝(2,1)，b＝(－1,3)，
所以向量a在b方向上的投影向量为·＝b＝b，故选C．
二、填空题
9． －　.
　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
10． (－1,2)__
由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝a2＋a·b＝10＋2＋3y＝0，y＝－4，即b＝(2，－4)，
∴a·b＝2－12＝－10，又|b|＝＝2，
∴a在b方向上的投影向量是·＝·(2，－4)＝(－1,2)．
故答案为(－1,2)．
11． 　； _－1__.
　以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，
＝(＋)＝(2,0)＋(2,2)＝(2,1)，
则点P(2,1)，∴＝(－2,1)，＝(0，－1)，
因此，||＝＝，·＝0×(－2)＋1×(－1)＝－1.
12． (1) 　；
(2) －　.
　(1)∵2a＋b＝(3,1)，
∴|2a＋b|＝＝.
∴与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为＝.
(2)∵b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝，|a|＝1，
(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)，＝－2，
∴cos＝＝＝.
13． 　
　在上的投影向量为||cos〈，〉e，其中e＝为与同向的单位向量，
则||cos 〈，〉e＝||··＝·.
又＝(2,1)，＝(3,4)，·＝10，||2＝25，
则·＝＝.
故答案为.
三、解答题
14
　(1)向量b满足b·a＝2，且|b|＝，则如图，这两个向量均满足题意，证明如下：
向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，则2x＝2，得x＝1，
因为|b|＝＝，解得y＝±1，所以b＝(1，±1)．
(2)若b＝(1,1)，a＋b＝(3,1)，＝(3，－1)，所以(a＋b)·＝3×3＋1×(－1)＝8.
若b＝(1，－1)，a＋b＝(3，－1)，＝(3，－1)．
所以(a＋b)·＝3×3＋(－1)×(－1)＝10.
15
　建立如图所示的平面直角坐标系，
设DC＝h，则A(2,0)，B(1，h)，设P(0，y)，(0≤y≤h)，则＝(2，－y)，＝(1，h－y)，
则＋3＝(5,3h－4y)，
所以|＋3|＝≥＝5，当且仅当3h＝4y，即DP＝DC时，等号成立，故|＋3|的最小值为5.
16．
　(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，
∴＝2，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2，可得
解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos θ＝＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.

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