资源简介

第六章　6.4　6.4.3　第1课时余弦定理
一、选择题
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，b＝2，c＝，则a＝( )
A．2 B．
C．3 D．
2．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
A． B．
C． D．
5．(2024·平顶山高一检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acos A，则cos A＝( )
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( )
A．－ B．－
C． D．
7．在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．4 B．
C． D．2
8．(多选题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b210．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，则BC＝ 　.
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，a2＋c2－ac＝9，则角B＝　.
12．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝　.
13．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为　.
三、解答题
14．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大内角．
15．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.
16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状．
第六章　6.4　6.4.3　第1课时余弦定理
一、选择题
1．D
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝3，得a＝.
故选D．
2．C
　由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
3．D
设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cos A＝＝，故选D．
4．B
∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，即b＝a，
由余弦定理得，
cos B＝＝＝.
5．D
因为c＝2acos A，
由余弦定理可得c＝2a·，将a＝3，b＝5代入整理得c＝2，所以cos A＝＝.故选D．
6．D
　∵·＝||·||·cos 〈，〉，
由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos 〈，〉＝＝.
故·＝3×2×＝.
7．A
cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C，
所以AB2＝1＋25－2×1×5×＝32，
所以AB＝4.
8．AC
由(a2＋c2－b2)tan B＝ac得＝ac，
∴sin B＝，∴B＝或π.故选AC．
二、填空题
9. π　.
　由a2＋b2－c2<0知cos C<0，所以C为钝角．故C＝π.
10． 3　.
　由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcos B，又因为B＝45°，AC＝，AB＝2，所以()2＝BC2＋22－2×BC×2×cos 45°，
整理，得BC2－2BC－6＝0，
所以(BC－3)(BC＋)＝0，
解得BC＝3或BC＝－(舍去)，
所以BC边的长为3.
11． 　.
　因为b＝3，a2＋c2－ac＝9，即a2＋c2－ac＝b2，
所以cos B＝＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
故答案为.
12． 　.
　因为C＝60°，所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°，
即c2＝a2＋b2－ab.①
又因为(a＋b)2－c2＝4，
所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.②
由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝.
13． 　.
　∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cos C＝＝＝，
∵0三、解答题
14．
由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)．因此c是最大边，其所对角C为最大内角．
由余弦定理推论得：
cos C＝＝＝－，
∵0°15．
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
即72＝82－2bc＋bc，
∴bc＝15.又b＋c＝8，
解得或
16．
　(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2cos A＝1，∴cos A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形．

展开更多......

收起↑