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垂线
题型一 垂线的画法与计算
方法技巧
1.过一点画已知直线的垂线有两种方法：一是用三角板，二是用量角器.用这两种工具时，应掌握以下要
领：一贴：将三角形的一条直角边紧贴在已知直线上，或将量角器的0°刻度线与已知直线重合；
二过：使三角板的另一直角边经过已知点，或使量角器的90°刻度线经过已知点和另一点；
三画：沿已知点所在直角边画出所求直线，或用量角器的直边连接已知点和另一点.
2.画垂线时，常在垂足处打上垂直符号“￢”，便于识别和应用.
3.注意等积(面积)法求高或底.
【例1】 如图,在△ABC中,AB=39,BC=25,AC=56,过点A作BC的垂线交CB 延长线于点D.
(1)过点B作AC 的垂线，垂足为点 E；过点C作AB 的垂线，垂足为点F，画出图形；
(2)若 求BE,CF的长;
(3)你发现题目中三条垂线的位置关系有何特征
题型二 运用方程思想求与垂直有关的角度问题.
方法技巧
1.将线的垂直关系转化为特殊角————90°.
2.理清题目中多个未知量之间的数量关系，巧设未知数，列方程求解.
【例2】 直线AB,EF交于点O,OC⊥AB,OM平分∠EOB,若∠COM=2∠EOC,求∠AOE 的度数.
题型三 整体思想求角
方法技巧
多个具有某种确定数量关系的未知角的问题，可以巧设一个或两个未知数，运用角的和或差整体求角.
【例3】 如图,∠AOB=120°,OC⊥OD,OE 平分∠DOB,OM平分∠AOC,OM的反向延长线为射线ON.求∠EON 的度数.
题型四 分类讨论思想求角
方法技巧
1.无图或关键线没有画出的题目，考虑是否有多种情形，运用分类讨论法求解.
2.分类讨论的标准有：线在角的内部或外部；一条射线在另一条射线的左边还是右边，上面还是下面等.
【例4】 如图,∠AOB=110°,OD为∠AOB 内一条射线,∠AOE=∠DOE,∠DOF=∠BOF.求∠EOF的度数.
题型五 垂线的性质及其应用
方法技巧
1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成“垂线段最短”.
【例5】 在△ABC中,BC=6,AC=3,过点C作CP⊥AB,垂足为点 P,则CP长的最大值为( )
A.5 B.4 C.3 D.2
针对练习2
1.如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点 A 到BC 的距离是线段AD 的长度，点B到AC 的距离是线段 的长度，点C到AB 的距离是线段 的长度.若BF=3cm,CF=4cm,BC=5cm,则F到BC边的距离为 cm.
2.点 P为直线l外的一点,点A,B,C在直线l上,PA=5,PB=4,PC=3,则点 P 到直线l的距离( )
A.大于等于3 B.3 C.小于3 D.小于等于3
3.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥OF,OD平分∠AOE,下列结论:
①∠BOE 的余角是∠AOE,补角是
③∠BOE=2∠COF;④∠BOF=∠COF.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,直线AB与CD 相交于点O,OE是 的平分线，
(1)求 的度数；
(2)∠EOF 与∠BOG是否相等呢 请说明理由;
(3)直接写出图中 的所有余角.
5.如图,OB⊥AC,垂足为点O,∠EOF=120°,OC平分∠EON,OF 平分 求 的度数.
6.如图,已知∠AOB 和∠COD 的两边分别互相垂直,且∠COD 比∠AOB的3倍少( 求 的度数.
垂线
题型一 垂线的画法与计算
方法技巧
1.过一点画已知直线的垂线有两种方法：一是用三角板，二是用量角器.用这两种工具时，应掌握以下要领：一贴：将三角形的一条直角边紧贴在已知直线上，或将量角器的0°刻度线与已知直线重合；
二过：使三角板的另一直角边经过已知点，或使量角器的90°刻度线经过已知点和另一点；
三画：沿已知点所在直角边画出所求直线，或用量角器的直边连接已知点和另一点.
2.画垂线时，常在垂足处打上垂直符号“￢”，便于识别和应用.
3.注意等积(面积)法求高或底.
【例1】 如图,在△ABC中,AB=39,BC=25,AC=56,过点A作BC的垂线交CB延长线于点D.
(1)过点B 作AC的垂线，垂足为点E；过点C作AB 的垂线，垂足为点F，画出图形；
(2)若 求 BE,CF的长;
(3)你发现题目中三条垂线的位置关系有何特征
【分析】 (1)，(3)画图解决问题；(2)用面积法解决问题.
【解答】 (1)如图;( 解得
(3)发现三条垂线交于一点.
题型二 运用方程思想求与垂直有关的角度问题.
方法技巧
1.将线的垂直关系转化为特殊角———90°.
2.理清题目中多个未知量之间的数量关系，巧设未知数，列方程求解.
【例2】 直线AB,EF交于点O,OC⊥AB,OM平分∠EOB,若∠COM=2∠EOC,求∠AOE 的度数.
【分析】 图中未知角都可用∠EOC的代数式表示，设未知数列方程求解.
【解答】 设∠EOC=x,则∠COM=2x.∵OM平分∠EOB,
∴∠EOM=∠MOB=3x.∵OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC=90°.
又∵∠COM+∠MOB=∠COB,∴2x+3x=90°,x=18°,
∴∠EOC=18°,∠AOE=90°-∠EOC=72°.
题型三 整体思想求角
方法技巧
多个具有某种确定数量关系的未知角的问题，可以巧设一个或两个未知数，运用角的和或差整体求角.
【例3】 如图,∠AOB=120°,OC⊥OD,OE 平分∠DOB,OM平分∠AOC,OM 的反向延长线为射线ON.求∠EON的度数.
【分析】 由于∠AOC与∠DOB的度数未知，且列不出两个方程求出它们的值，设两个未知数，整体求解.
【解答】 设∠AOC=2x,∠DOB=2y.
∵OE平分∠DOB,OM平分∠AOC,
∴∠AOB=2x+2y+90°=120°,x+y=15°,
∠MOE=∠MOC+∠DOE+∠COD=x+y+90°=105°.
∴∠EON=180°-∠MOE=75°.
题型四 分类讨论思想求角
方法技巧
1.无图或关键线没有画出的题目，考虑是否有多种情形，运用分类讨论法求解.
2.分类讨论的标准有：线在角的内部或外部；一条射线在另一条射线的左边还是右边，上面还是下面等.
【例4】 如图, OD为 内一条射线， 求 的度数.
【分析】 分OE在 的内部和外部，OF在 的内部和外部出现的四种情形进行讨论求解.
【解答】 设
①当OE,OF 都在∠AOD,∠BOD的内部时(图中 的位置)，
则
②当OE在∠AOD 内部,OF在∠BOD 的外部时,
此时OF 在①中OF 的反向延长线上(图中OE ,OF 的位置),
此时
③当OE,OF都在∠AOD,∠BOD的外部时(图中 的位置)，
易得
④当OE在∠AOD外部,OF 在∠BOD的内部时(图中 的位置)，
易得
综上所述,∠EOF=125°或55°.
题型五 垂线的性质及其应用
方法技巧
1.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成“垂线段最短”.
【例5】 在△ABC中,BC=6,AC=3,过点C作( 垂足为点 P，则CP长的最大值为( C )
A.5 B.4 C.3 D.2
【分析】 根据垂线段最短得出结论.
【解答】 根据垂线段最短可知PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选C.
针对练习2
1.如图，图中已标明了三组互相垂直的线段，那么点 A 到BC 的距离是线段AD 的长度，点B 到AC 的距离是线段 BF 的长度，点C到AB 的距离是线段 CE 的长度.若BF=3cm,CF=4cm,BC=5cm,则F到BC边的距离为 cm.
2.点P为直线l外的一点,点A,B,C在直线l上,PA=5,PB=4,PC=3,则点P到直线l的距离( D )
A.大于等于3 B.3 C.小于3 D.小于等于3
3.如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥OF,OD平分∠AOE,下列结论:
①∠BOE 的余角是∠AOE,补角是∠B
③∠BOE=2∠COF;④∠BOF=∠COF.其中正确的有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,直线AB与CD 相交于点O,OE 是∠AOC的平分线,OF⊥CD,OG⊥OE,∠BOD=52°.
(1)求∠AOF 的度数;
(2)∠EOF 与∠BOG是否相等呢 请说明理由;
(3)直接写出图中∠AOE 的所有余角.
【解答】 (1)∠AOF=38°;(2)相等,理由:∵∠AOC与∠BOD是对顶角,
∴∠AOC=∠BOD=52°.∵OE是∠AOC的平分线,
又∵OG⊥OE,
∴∠EOG=90°.∴∠BOG=180°-∠AOE-∠EOG=64°.
而∠EOF=∠AOF+∠AOE=38°+26°=64°,∴∠EOF=∠BOG.
(3)图中∠AOE的所有余角为∠EOF,∠COG,∠BOG.
5.如图,OB⊥AC,垂足为点O,∠EOF=120°,OC平分∠EON,OF 平分∠AON.求∠BOE 的度数.
【解答】 设∠EOC=x,∵OC平分∠EON,∴∠NOC=∠EOC=x.
∵∠EOF=120°,∴∠FON=120°-2x,
∵OF平分∠AON,∴∠AOF=∠FON=120°-2x.
∵OB⊥AC,∴∠BOC=90°,∠BOE=90°-x.
又∵∠AOB+∠EOF+∠BOE+∠AOF=360°,
6.如图,已知∠AOB 和∠COD 的两边分别互相垂直,且∠COD 比∠AOB 的3 倍少 60°,求∠COD 的度数.
【解答】 设∠AOB=x.
①如图1,当∠AOB在∠COD的内部时
∵∠AOB和∠COD 的两边分别互相垂直,
即
②当∠AOB在∠COD的外部时,
如备用图,∵OA⊥OC,OB⊥OD,
∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠AOC,x+90°=3x-60°+90°,
x=30°.∴∠COD=30°.
综上所述,∠COD的度数为30°或120°.

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