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方程思想求角
题型一 直接设一个未知数求角
方法技巧
求结论中未知角的度数时，若题目中的未知角与此角都有联系，就直接设该角度数列方程.
【例1】 如图,AD∥BC,∠A=∠C=50°,线段AD上从左到右依次有两点E,F(不与A,D重合).
(1)判断AB与CD 的位置关系，并说明理由；
(2)若∠FBD:∠CBD=1:4,BE平分∠ABF,且∠1=∠BDC,求∠FBD的度数,并判断BE与AD的位置关系
题型二 间接设未知数求角
方法技巧
题目中未知角与所求角之间的联系不直接，而与其它某个未知角联系简单明了一些，则采用间接设未知数的办法求解.
【例2】 如图1,AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于点B,过点 B作BD⊥AM于点D.
(1)求证:∠ABD=∠C;
(2)如图2,点E,F在DM上,连接BE,BF,CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠ABF=2∠ABE,求∠FCB的度数.
题型三 设两个未知数，列关系式求解
方法技巧
题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解.
【例3】 如图1,在五边形ABCDE中,
(1)猜想AB与CD 之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图2,延长 DE 至点 F,连接 BE,若 求 的度数.
题型四 设两个未知数列一个方程巧解角的度数
方法技巧
题目中有两个独立未知角，只有一个等式，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角.
【例4】 已知 M,N分别是直线AB,CD上两点,点G在AB,CD之间,连接MG,NG,点E是AB 上方一点，连接EM，EN，且GM的延长线平分 NE平分 求 的度数.
针对练习7
1.如图,AB∥CD,点E在直线AB上,点N,F在直线CD上,PE平分∠AEN,FH∥EN,延长PF到点G,FG平分∠DFH,若∠PFC=∠AEP+10°,求∠BEN的度数.
2.如图1,AC平分∠DAB,∠1=∠2.
(1)试说明AB与CD 的位置关系，并予以证明；
(2)如图2,延长AD,BC交于点G,过点D作DH∥BC交AC于点H,若AC⊥BC,问当∠CDH多少度时,∠GDC=∠ADH
3.如图,已知AB∥CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若2∠F-∠E=10°,求∠ABE 的度数.
方程思想求角
题型一 直接设一个未知数求角
方法技巧
求结论中未知角的度数时，若题目中的未知角与此角都有联系，就直接设该角度数列方程.
【例1】 如图,AD∥BC,∠A=∠C=50°,线段AD上从左到右依次有两点E,F(不与A,D重合).
(1)判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由；
(2)若∠FBD:∠CBD=1:4,BE平分∠ABF,且∠1=∠BDC,求∠FBD的度数,并判断BE与AD的位置关系
【分析】 (1)根据平行线的判定说明即可；
(2)根据平行线的性质和角平分线的性质解答即可.
【解答】 (1)AB∥CD,理由:∵AD∥BC,
∴∠A+∠ABC=180°.∵∠A=50°,∴∠ABC=130°,
∵∠C=50°,∴∠C+∠ABC=180°,∴AB∥CD.
(2)∵AD∥BC,∴∠1=∠EBC.∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD,
∵∠1=∠BDC,∴∠1=∠BDC=∠ABD=∠EBC.∴∠ABE=∠DBC.
∵BE平分∠ABF,设∠FBD=x,则∠DBC=4x,∴∠ABE=∠EBF=4x,
∴∠ABC=4x+4x+x+4x=130°,∴x=10°,∴∠FBD=10°,∵∠1=4x+x+4x=90°,∴BE⊥AD.
题型二 间接设未知数求角
方法技巧
题目中未知角与所求角之间的联系不直接，而与其它某个未知角联系简单明了一些，则采用间接设未知数的办法求解.
【例2】 如图1,AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于点B,过点B作BD⊥AM于点D.
(1)求证:∠ABD=∠C;
(2)如图2,点E,F在DM上,连接BE,BF,CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠ABF=2∠ABE,求∠FCB的度数.
【分析】 (1)过点B作BG∥DM，用同角的余角相等证明；
(2)间接设∠DBE=x,列方程求解
【解答】 (1)略.
设∠DBE=x=∠ABE,易得∠BCN=∠ABD=2x,∠ABF=2∠ABE=2x,∠FBC=∠DBF=4x,∠ABC=2x+4x=6x=90°,x=15°,∴∠BCN=2x=30°.∵DM∥NC,∴∠NCF+∠DFC=180°,∵∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠DFC.又∵∠DFC+∠FCB+∠BCN=180°.∴2∠FCB+30°=180°,∠FCB=75°.
题型三 设两个未知数，列关系式求解
方法技巧
题目中有两个独立未知角，一个已知方程不能求出未知角时，需列两个方程求解.
【例3】 如图1,在五边形 ABCDE中,AE∥BC,∠A=∠C.
(1)猜想AB与CD 之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图2,延长DE至点F,连接BE,若∠1=∠3,∠AEF=2∠2,∠AED=2∠C--140°,求∠C的度数.
【分析】 (1)直接运用同旁内角互补两直线平行证明；
(2)证明∠1=∠2=∠3,设∠1=∠2=x,∠C=y,列方程组求解.
【解答】 (1)猜想:AB∥CD,
理由:∵AE∥BC,
∴∠A+∠B=180°.∵∠A=∠C,∴∠C+∠B=180°.
∴AB∥CD.
(2)∵AE∥BC,
∴∠2=∠3,∠A+∠ABC=180°,
∵∠1=∠3,∴∠1=∠2=∠3,
∵∠ABC+∠C=180°,∴∠C+2∠2=180°.
设∠1=∠2=∠3=x,∠C=y,则y+2x=180°,
∠AEF=2∠2=2x,∠AEF+∠AED=180°,∠AED=2∠C-140°,
∴2x+2y-140°=180°,即x+y=160°,又y+2x=180°,∴x=20°,y=140°.
∴∠C=140°.
题型四 设两个未知数列一个方程巧解角的度数
方法技巧
题目中有两个独立未知角，只有一个等式，这时设两个未知数，列一个方程，巧解所求角.
【例4】 已知AB∥CD,M,N分别是直线AB,CD上两点,点G在AB,CD之间,连接MG,NG,点E是AB上方一点,连接EM,EN,且GM的延长线平分∠AME,NE平分∠CNG,2∠MEN+∠MGN=105°,求∠AME的度数.
【分析】 题目中两条角平分线，两个独立未知数，只有2∠MEN+∠MGN=105°一个等式，列一个方程巧解.
【解答】 过点E作ET∥AB,过点G作GK∥AB,
∵AB∥CD,∴AB∥ET∥KG∥CD,设∠AMF=x,∠ENC=y.
∵FM平分∠AME,NE平分∠CNG,
∴∠GNE=∠ENC=y,∠AMF=∠EMF=∠FGK=x,
易得∠GND=180°-2y,∠MEN=∠TEN-∠TEM=y-2x,
∠MGN=∠FGK+∠KGN=x+180°-2y,
又2∠MEN+∠MGN=105°,∴2(y-2x)+x+180°-2y=105°,
解得x=25°.∴∠AME=2x=50°.
针对练习7
1.如图,AB∥CD,点E在直线AB上,点 N,F在直线CD上,PE平分∠AEN,FH∥EN,延长PF到点G,FG平分∠DFH,若∠PFC=∠AEP+10°,求∠BEN的度数.
【解答】 ∵PE 平分∠AEN,FG平分∠DFH,
∴∠PEN=∠AEP=x,∠HFG=∠DFG=∠PFC=y.
∵AB∥CD,EN∥FH,
∴∠ENF=∠AEN=2x,∠NFH=∠ENF=2x.
又∠PFC+∠NFH+∠HFG=180°,
∴y+2x+y=180°,x+y=90°.又y=x+10°,
∴x=40°,y=50°.
∴∠BEN=180°-∠AEN=180°-2x=100°.
2.如图1,AC平分∠DAB,∠1=∠2.
(1)试说明AB与CD 的位置关系，并予以证明；
(2)如图2,延长AD,BC交于点G,过点D作DH∥BC交AC于点H,若AC⊥BC,问当∠CDH多少度时,∠GDC=∠ADH
【解答】 (1)∵AC平分∠DAB,∴∠1=∠CAB.
又∵∠1=∠2,∴∠CAB=∠2.∴AB∥CD;
(2)设∠1=∠2=x,所以∠DAB=2∠1=2x.
∵AB∥CD,∴∠GDC=∠DAB=2x.
∴∠GDC=∠ADH=2x.∴∠CDH=180°-4x.
∵DH∥BC,∴∠GCD=∠CDH=180°-4x.
又∵∠ACG=90°.
∴180°-4x+x=90°,x=30°.
∴∠CDH=180°-4x=60°.
故∠CDH=60°时,∠GDC=∠ADH.
3.如图,已知AB∥CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若2∠F-∠E=10°,求∠ABE 的度数.
【解答】 过点 E作EG//AB,过点 F 作 FH//AB.设∠ABF=x,则∠FBE=2x.设∠DCF=∠FCE=y,∠BEC=∠CEG-∠BEG=2y-3x,∠CFB=∠CFH-∠BFH=y-x,又∵2∠CFB-∠CEB=10°,∴2(y-x)--(2y-3x)=10°,解得x=10°,∠ABE=3x=30°.

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