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2025年中考数学专题突破系列：倍长中线模型
1．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题：
（1）求的取值范围：_________．
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题：
如图：已知，，，为的中点；
（2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求；
（3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：．
2．（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
3．【特例感知】
如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
（1）中线的取值范围是______．
【类比迁移】
（2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：．
4．小雨同学喜欢学习数学，他喜欢不断地主动探索思考，总结方法，探究问题的本质．学完三角形的中线，他主动进行探究：如图1，是的边的中点，连接，则为边上的中线．他尝试延长到点，使得，连接，发现．
请根据小雨的探究过程，解答下面的问题．
如图2，是的中线，在上，连接，与交于点，且．试说明．
5．几何探究与实践
(1)【模型认识】如图1所示，已知在中，，分别以为直角边构造等腰直角三角形和，连接，则与的关系是： ；
(2)【初步应用】如图2所示，连接，求证：；
(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断和的面积有何关系，并加以证明；
(4)【拓广探索】如图3，在中，，，，以为直角边构造等腰直角三角形，且，连接，试直接写出的长度．
6．某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充证明（1）中“”的推理过程．
（1）求证：
证明：延长到点E，使．
（2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是___________；
【小结】将上面题中“，”改为，，且”，则的取值范围是__________（用m，n的代数式表示）
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】如图2，，，是的中线，，，且，请直接写出的长．
7．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．

【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用与全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证与全等的判定方法是：__________；中线的取值范围是__________．
【阅读感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【理解与应用】如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．证明：．
【问题解决】如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由．
8．综合与探究
数学兴趣小组活动中，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）．
①延长到点，使得；
②连接，通过三角形全等把转化在中；
③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明各边之间的关系．
(1)根据小明组内的做法，能得到的依据是_______，边上的中线的取值范围是_______．
(2)灵活运用：如图3，在中，是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
(3)拓展延伸：以的边为边向外作和，是的中点，连接．当时，请直接写出的长．
9．如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围，小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是______．
(2)求得的取值范围是______．
(3)如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：．
10．数学活动课中，老师给出以下问题：
(1)如图1，在中，是边的中点，若，，则中线长度的取值范围______．
(2)如图2，在中，是边的中点，过点的射线交边于，再作交边于点，连结，请探索三条线段、、之间的大小关系，并说明理由．
(3)已知：如图3，，且，是线段的中点．求证：．
11．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　 　；中线BD的取值范围是 　 　．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
12．已知：等腰和等腰中，，，．
（1）如图1，延长交于点，若，则的度数为 ；
（2）如图2，连接、，延长交于点，若，求证：点为中点；
（3）如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，直接写出的面积．
13．(1)如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系.
解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断.AB，AD，DC之间的等量关系______.
(2)问题探究.
①如图②，AD是△ABC的中线，AB=6，AC=4，求AD的范围：
②如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论.

14．在中，，，为等边三角形，，连接，为中点．
（1）如图1，当，，三点共线时，请画出关于点的中心对称图形，判断与的位置关系是 ；
（2）如图2，当A，，三点共线时，问（1）中结论是否成立，若成立，给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图2，取中点，连，将绕点旋转，直接写出旋转过程中线段的取值范围是　　．
15．如图1，AD为△ABC的中线，延长AD至E，使DE＝AD．
（1）试证明：△ACD≌△EBD；
（2）用上述方法解答下列问题：如图2，AD为△ABC的中线，BMI交AD于C，交AC于M，若AM＝GM，求证：BG＝AC．
《2025年中考数学专题突破系列：倍长中线模型》参考答案
1．（1）；（2）32；（3）见解析
【分析】（1）延长到点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可；
（2）延长交延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：，，，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，则，再利用解答即可；
（3）延长至点F，使得，连接、、，通过证明和，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论．
【详解】（1）解：延长到点E，使，连接，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，延长交延长线于点F，
，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴，，
∵P为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：延长至点F，使得，连接、、，如图，
由（1）同理易证：，
∴，，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
（1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案；
（3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示，
同（1）得，，
，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得，
；
（3），
证明如下：延长至点，使，连接，如图所示，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在和中，
∴，
．
，
．
3．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【分析】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识．
（1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解；
（2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论；
（3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明．
【详解】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接．
为边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
；
故答案为：；
（2）证明：如图2，延长交的延长线于点，
，
，
，，
为的中点，
，
，
，，
，
，
即，
平分；
（3）证明：如图3，延长到点，使，连接，
在和中， ，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
4．详见解析
【分析】本题考查了倍长中线法证明三角形的全等，根据延长到点，使得，连接，得出，且结合是的中线，得，证明，再通过等边对等角以及角的等量代换，即可作答．
【详解】解：如图，延长到点，使得，连接．
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
5．(1)且
(2)见解析
(3)和的面积相等，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质证明即可求解；
（2）在中，，在中，，再根据，即可求解；
（3）如图所示，延长到点，使得，连接，根据题意可证，再根据三角形中线平分三角形面积可求解；
（4）如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，证明，易得，则可得的长；延长，过点Q作延长线于点T，则可求得的长，在中，由勾股定理可求得的长，从而得到的长．
【详解】（1）解：∵，都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
在中，，
∴在中，，
∴，即，
故答案为：且；
（2）证明：由（1）可知，且，
在中，，
在中，，
∵，
∴
，
∴；
（3）解：和的面积相等，理由如下，
如图所示，延长到点，使得，连接，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，点是中点，
∴，
∴，
∴和的面积相等；
（4）解：如图所示，以为边作等腰直角三角形，连接，设交于点，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，垂足为，
在中，，
∴，
如图所示，延长，过点Q作延长线于点T，
∵，
∴，
在中，，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中线平分三角形面积，勾股定理等知识的综合，含角的直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
6．（1）见详解（2）[小结] [问题解决]8
【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）运用证明，即可作答．
（2）由（1）得出，再结合三角形的三边关系列式，进行化简，即可作答．
[小结]与（2）同理，结合三角形的三边关系列式，进行化简得出。即可作答．
[问题解决] 延长交于点F，得证结合得出是的垂直平分线，即可作答．
【详解】解：（1）如图：
延长 到点E，使 ．
因为D是 的中点
所以
在和中，
，
（2）由可得：，，
，
即，
；
[感悟]同理可得：上面题中“，”改为，，且”，
则的取值范围是；
故答案为： ；
[问题解决]
如图3，延长交于点F，
∵，
∴，
∴，
∵是中线，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴是的垂直平分线，
∴
7．阅读理解：；；理解与应用：证明见解析；问题解决：，，理由见解析
【分析】阅读理解：由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
理解与应用：延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
问题解决：延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则，延长交于，根据 ，，可得，即有，则有．
【详解】阅读理解：解：延长至E，使，连接，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
，
，
；
故答案为：；；
理解与应用：证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：

同上可证：，
，
，，
∴是线段的垂直平分线，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
问题解决：解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3所示：

由（1）得：，
，，
，
，即，
，
，
∵，，
∴，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等．
8．(1)；
(2)见解析
(3)6
【分析】（1）先判断出，由“”可证，得出，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，，得，根据线段垂直平分线的性质得到 ，再根据三角形三边关系即可得出结论；
（3）延长到N，使得，连接，同（1）的方法得出，得出，，进而判断出再证明，得出，从而可得到，即可求解．
【详解】（1）解：如图2，延长到，使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；．
（2）解：如图3，延长到，使得，连接，，
由（1）知，
，
，，
，
，
．
（3）解：延长到N，使得，连接，如图4，
由（1）知，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系．倍长中线法，构造全等三角形是解本题的关键．
9．(1)；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理解答即可；
（2）根据三角形的三边关系计算；
（3）延长到E，使，连接，，证明，得到，证明，得到，再利用即可证明．
【详解】（1）解：∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
故答案为：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴在中，，即，
∵，
∴，
故答案为：
（3）解：延长到E，使，连接，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系应用等知识；熟练掌握三角形的三边关系，作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
10．(1)
(2)，证明见解析
(3)见解析
【分析】（1）延长到，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系定理求出即可；
（2）延长到点使，连结，就有，连结，可证，则，即可得出结论；
（3）延长到使，连接，证明，，根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：延长到，使，连接，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴根据三角形的三边关系定理：，
∵，
∴．
∴
∴．
故答案为：．
（2）解：如图，延长到点，使，连结，
∵
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长到使，连接
∵是的中点，
∴，
∵在与中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
∵，
∴，
∵在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线性质定理的逆定理．本题前两问都是利用中线的性质构造全等三角形，再利用全等三角形的性质，将线段放在同一个三角形中进行讨论．
11．（1）SAS；1＜BD＜9；（2）2BD＝MN，BD⊥MN，理由见详解
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，由（1）得：△ABD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，AB＝CE，证出∠BCE＝∠MBN，证明△BCE≌△NBM得出BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，则2BD＝MN．延长DB交MN于G，证出∠BGN＝90°，得出BD⊥MN．即可．
【详解】（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE BC＜BE＜CE BC，
∴10 8＜AE＜10＋8，即2＜BE＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）解：2BD＝MN，BD⊥MN，理由如下：
延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图所示：
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠ABC＋∠MBN＝180°，即∠ABD＋∠CBD＋∠MBN＝180°，
∵∠E＋∠CBD＋∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠MBN，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴CE＝MB，
在△BCE和△NBM中，
，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，
∴2BD＝MN．
延长DB交MN于G，
∵∠NBC＝90°，
∴∠EBC＋∠NBG＝90°，
∴∠MNB＋∠NBG＝90°，
∴∠BGN＝90°，
∴BD⊥MN．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
12．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由已知条件可得，对顶角，则，根据即可的；
（2）过点作的垂线交的延长线于,证明，得,进而可得，再证明即可得证点为中点；
（3）延长至，使得，连接，设交于点，先证明，进而证明，根据角度的计算以及三角形内角和定理求得，进而证明，再根据,证明，根据已知条件求得最后证明即可．
【详解】（1）设交于，如图1，
是等腰和是等腰
即
故答案为
（2）如图2，过点作的垂线交的延长线于,
是等腰和是等腰
又
又
即是的中点
（3）延长至，使得，连接，设交于点，如图
即
是等腰和是等腰
在与中，
（SAS）
，
点是的中点
，
（SAS）
（SAS）
，
即
，
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，构造辅助线是解题的关键．
13．(1)AD=AB+DC；(2)①1【分析】(1)利用平行线的性质及角平分线的定义，易证∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，从而可以推出∠F=∠DAF，再利用等角对等边，可证AD=DF，利用线段中点的定义，可知BE=CE，然后利用AAS证明△ABE≌△FCE，利用全等三角形的对应边相等，可证得AB=CF，再根据DF=DC+CF，可得AB，AD，DC之间的数量关系；
(2)①延长AD至E，使DE=AD，连结BE，利用SAS证得△ADC≌△EDB，根据全等三角形的性质，可得AC=BE，由此将AD，AB，AC转化到一个三角形中，然后利用三角形的三边关系定理，即可求出AD的取值范围；②延长AE交DF的延长线于点G，根据已知易得CE=BE，∠BAE=∠G，再利用 AAS证明△AEB≌△GEC，利用全等三角形的对应边相等可证得AB=GC，然后利用角平分线的定义推出∠FAG=∠G，从而可得到FA=FG，然后根据CG=CF+FG，可证得结论.
【详解】解：(1)AD=AB+DC；
理由：延长AE交DC的延长线于点F，
∵AB∥CD，AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，
∴∠F=∠DAF，
∴AD=DF，
∵点E是CB的中点，
∴BE=CE，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE(AAS)，
∴AB=CF，
∵AD=DF=DC+CF，
∴AD=AB+DC；
(2)①延长AD至E，使DE=AD，连结BE，

∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
∴AC=BE，AE=2AD，
在△ABE中，AB-BE∴2<2AD<10，
∴1②AB=AF+CF；
证明：延长AE交DF的延长线于点G，

∴E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵AB∥DC，
∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，，
∴△AEB≌△GEC，
∴AB=GC，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG=∠FAG，
∵∠BAG=∠G，
∴∠FAG=∠G，
∴FA=FG，
∵CG=CF+FG，
∴AB=AF+CF.
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形三边关系定理、等角对等边以及全等三角形的判定和性质等知识，“遇中线，加倍延”，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
14．（1）图见解析，BM⊥ME；（2）结论成立，理由见解析；（3）-1≤MN≤+1
【分析】（1）先作出图形，进而证明△AMF≌△DME，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得出△AMF≌△DMF，利用四边形的内角和定理及平角的定义得出∠BCE=∠BAF即可得出△AFB≌△CEB，从而求证；
（3）同（2）的方法得出∠BME=90°，进而得出BE=2MN，最后用三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：（1）证明：如图1，
延长BA，EM交于点F，即：△FAM即为所求，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE，∠CED=60°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ABC+∠CED=180°，
∵B，C，E三点共线，
∴AB∥DE，
∴∠FAM=∠MDE，∠MED=∠F，
∵点M是AD中点，
∴AM=DM，
∴△AMF≌△DME，
∴AF=DE=CE，FM=ME，
∵AB=BC，
∴BF=BE，
∴BM⊥ME；
（2）证明：如图2，延长EM到点F，使MF=ME，连接BF，AF，BE
∵AM=DM，∠FMA=∠DME，
∴△AMF≌△DMF，
∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠ABC=120°，∠CED=60°，
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，
∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，
∴∠BCE=∠BAF，
∵AB=AC，
∴△AFB≌△CEB，
∴BF=BE
∴BM⊥ME；
（3）如图3，延长EM到点F，使MF=ME，连接BF，AF，BM，
∵AM=DM，∠FMA=∠DME，
∴△AMF≌△DME，
∴AF=DE=CE，∠FAD=∠ADE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠ABC=120°，∠CED=60°，
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE=180°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE=180°，
∴∠BCE=∠BAD+∠ADE，
∴∠BCE=∠BAF，
∵AB=CB，
∴△AFB≌△CEB，
∴BF=BE，∠ABF=∠CBE，
∴∠FBE=∠ABC=120°，∠BEF=30°，
∴∠BME=90°，
∵点N是BE的中点，
∴MN=BE，
即：BE=2MN，
在△BCE中，BC=2，CE=CD=2，
∴2-2＜BE＜2+2
∴2-2＜2MN＜2+2，
即：-1≤MN≤+1，
故答案为：-1≤MN≤+1
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理，平角的意义，三角形外角的性质，解本题的关键是作出辅助线判断出∠BCE=∠BAF．
15．（1）详见解析；（2）详见解析．
【分析】（1）根据中线的定义，即可得到BD＝CD，再根据SAS即可判定△ACD≌△EBD．
（2）延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，根据SAS证△ADC≌△FDB，推出BF＝AC，∠CAD＝∠F，根据AM＝GM，推出∠CAD＝∠AGM＝∠BGF，求出∠BGF＝∠F，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）．
（2）证明：延长AD到F，使AD＝DF，连接BF，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
∵在△ADC和△FDB中
，
∴△ADC≌△FDB（SAS），
∴BF＝AC，∠CAD＝∠F，
∵AM＝GM，
∴∠CAD＝∠AGM，
∵∠AGM＝∠BGF，
∴∠BGF＝∠CAD＝∠F，
∴BG＝BF＝AC，
即BG＝AC．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握倍长中线法构造全等三角形是解决此题的关键.

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