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2025年中考数学三轮复习备考
有关圆的综合题高频考点预测练
1．如图，在中，，点D在AC边上，以AD为直径作交BD的延长线于点E，且．
(1)求证：CE是的切线；
(2)若的直径为12，，求AB的长．
2．如图，是的直径，C，G是上的点，过点的直线于点，交的延长线于点与交于点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数；
(3)连接，在（2）的条件下，若，求的长．
3．如图，内接于，为的直径，交半圆弧于D，点D与点C分别在直径的两侧，连接交于E，过点B作的平行线交延长线于F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4．已知，四边形内接于，对角线交于H，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，作直径交于点F，连接，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，于点Q，交于L，若，，求的长．
5．如图，以的边为直径作，与相切于点，与交于点，连接并延长分别交于，连接
(1)求证：；
(2)若，求的长．
6．如图，在半圆O中，为直径，为弦，C为的中点，．
(1)求证：是的切线．
(2)若，．
①求的长；
②的长是 　　 （结果保留π）．
7．如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得．
(1)求证：直线是的切线；
(2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积．
8．如图1，是菱形的边上的高，以点O为圆心，长为半径画圆．
(1)求证：是的切线．
(2)若点B在上，如图2．
①求的度数；
②已知菱形的边长为6，求图中阴影部分的面积．
9．如图，正方形的边长为2，经过正方形上的点B，C，且与相切于点P．
(1)正方形的内切圆和外接圆的半径分别为______，______；
(2)求的半径；
(3)求图中阴影部分的面积．（参考数据：，）
10．课本再现
如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？
（1）完成上述课本习题．
知识应用
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线．
11．如图，菱形的边长是的直径，与交于点是上一点，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，若，求的长．
12．如图，为的直径，点在上，的平分线交于点．过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
13．如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点．
(1)求证：是切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
14．切割锯（如图）是工人在工作中常用的工具，常用于切割木材、铁制品等，给工作带来了极大的便利，我们根据生活中的切割锯抽象出如图所示的图形，表示面板，表示锯片，线段可绕点带动转动，，当恰好和相切时，．
(1)求的半径；
(2)在切割过程中，点绕点逆时针旋转，和相交，表示切割的长度．
如图，，当时，求切割的长度为多少；
当旋转到时，切割锯能否将宽度为的木板切断！
15．如图，是的外接圆，是直径，，，D是弦下方弧上的点（与B、C均不重合）．连接并延长交过A点的直线于E点，连接，使．
(1)请直接写出的正切函数值，即______；
(2)求证：是的切线；
(3)设与交于点F，点F在上（与O、C均不重合），过F点作，垂足为G，．与的大小相关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
《2025年中考数学三轮复习备考-有关圆的综合题高频考点预测练》参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定和勾股定理是解答的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质得到，，进而得到，根据切线的判定可证得结论；
（2）连接，先推导出，进而由正切定义得到，，根据勾股定理求得，进而求得，，然后再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，则，
∴，，
∵，
∴由得，
解得（负值已舍去），
∵，，
∴由得，
解得或（舍去），
∴，，
在中，．
2．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了切线的判定和性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确的作出辅助线、构造相似三角形和直角三角形是解答本题的关键．
（1）连接，由，得到，则可证明，可得结合即可证明；
（2）由可得，即，，进一步得到，最后解直角三角形即可得到答案；
（3）如图2，过A作于H，解直角三角形得到，，，最后在中应用勾股定理即可求得．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过A作于H，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，圆的相关性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由圆周角定理得到，则由平行线的性质得到，再证明，则可证明是等腰直角三角形，则；
（2）过点C作于H，由勾股定理得，解直角三角形得到，则可求出，，，证明，得到，则，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作于H，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
4．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）可推出，进而得出，进一步得出结论；
（2）设交于点G，可推出，进而推出，进而得出，根据垂径定理得出，进一步得出结论；
（3）作于W，可证明，从而，解直角三角形求得，设，则，根据勾股定理得出，列出关于x的方程，求得x的值，进而根据列出，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，设交于点G，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴直径，
∴，
∴；
（3）解：如图2，作于W，
∴，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
5．(1)见详解
(2)
【分析】（1）根据为直径，与相切于点，可推出，由，，可得，进而得，，根据“等角对等边”即可得结论；
（2）连接，，，证明是等边三角形，由中，，得，，，，用勾股定理求出，，再证明，由及前面所求各线段的长即可求解．
【详解】（1）证明：为直径，与相切于点，
，，
，，
，
，
，
；
（2）解：连接，，，
，
，
，
，
是等边三角形，
中，，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理、圆心角定理、圆内接四边形对角互补等性质；熟知相关知识点，准确作出辅助线是正确解答此题的关键．
6．(1)详见解析
(2)①3；②π
【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论．
（2）①连接，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到结论；
②由①知，是等边三角形，求得，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的半径，
∴是的切线．
（2）解：①连接，如图；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵C为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②由①知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，且，
∴的长的长．
故答案为：π．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，弧长的计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等：
（1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论；
（2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由题意求得，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，即，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）解：过点作于，连接，
，
，
由（1）得，
，
，
，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
8．(1)见解析
(2)①，②
【分析】（1）根据菱形的性质得，结合平行线的性质得，因为是菱形的边上的高，得，即，即可作答．
（2）①根据四边形为菱形，得，证明为等边三角形．再结合，得，即可作答．
②结合是等边三角形，得，．根据勾股定理得，求出，因为，得．即可作答．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴．
∴点C在上，即是半径．
∵，
∴．
∵是菱形的边上的高，
∴．
∴，
即．
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接．
①∵点B在上，
∴．
∵四边形为菱形，
∴．
∴．
∴为等边三角形．
∴．
又，
∴．
②∵是等边三角形，
∴，．
在中，，，
∴，，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的性质与判定，等边三角形的判定与性质，不规则图形的面积，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9．(1)1，
(2)1.25
(3)
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，内心的性质，扇形面积公式．
（1）由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度；
（2）连接并延长，交于点E，连接．设的半径为，在中，由勾股定理列式计算即可求解；
（3）先求得，再利用扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点O作于点B．
∵正方形的边长为2，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即外接圆半径为，内切圆半径为1；
故答案为：1，；
（2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接．
∵是的切线，
∴，
由正方形可得，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，有，
∴，
解得；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴．
10．（1），见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定．
（1）证明，根据于点，于点，即可证明；
（2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
在和中，
，
．
又于点，于点，即分别是边上的高，
．
（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，．
，
同理可得：，
，，
为的平分线．
11．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由圆周角定理得，再结合菱形的性质证明，则，又因为是的直径，故是的切线．
（2）先设，再得，运用勾股定理列式，代入数值计算，得，再结合，得，则，即可作答．
【详解】（1）证明：如图，连接．
是的直径，
．
四边形是菱形，
．
．
在和中，
，
．
，
．
又是的直径，
是的切线．
（2）解：设，
．
由（1）可知，
．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到AB的值，根据角平分线的定义得到，求得，过点B作于点F，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
过点B作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴．
13．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题考查切线的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键．
（1）连接，由切线的性质可知．证明得出，即，说明是的切线；
（2）证明得出，整理得；
（3）利用三角函数比得出，利用勾股定理得出，求出，再利用进而可求的长．
【详解】（1）证明：连接，
与相切于点，
，
在和中，
，
，
是的半径，且，
是的切线；
（2）证明：，，
，
，
；
（3）解：，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
解得，
的长是．
14．(1)
(2)；旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断
【分析】（1）设半径为，由三角函数得，解之即可；
（2）如图，连接，由勾股定理得，由垂径定理得，最后根据，即可求解；
如图，当旋转到时，，由含的直角三角形的性质得，由勾股定理得，所以，因为，所以当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断．
【详解】（1）解：设半径为，
当恰好和相切时，，，
，
解得：；
（2）解：如图，连接，
，，，
在中，，
，
；
如图，当旋转到时，，
，
，
连接，在中，，
，
，
当旋转到时，切割锯不能将宽度为的木板切断．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，含的直角三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用直径所对圆周角是直角得到，再根据正切函数定义 ，代入、计算得出结果．
（2）先由得出，结合证明，得到，再通过圆的性质及等量代换推出，即，从而证明结论．
（3）过点作，先利用平行线性质得出，结合三角函数值求出长度，再通过相似三角形得出长度，进而得到，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质证明 ．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
在中，，，，
∴．
（2）证明：如图，连接，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
是⊙的直径，
，
，
，即，
．
是的半径，
是的切线．
（3），理由如下：
如图，过点作，垂足为，与交于点，
，
，
．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题考查了圆的相关性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定以及三角函数的应用，解题关键是熟练运用上述知识，通过边与角的关系进行推理和计算．

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