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2025高考数学宜昌一中名师原创押题卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则中所有元素和为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 9
2.双曲线的一个焦点为，则( )
A. B. C. 3 D.
3.的展开式中的常数项是( )
A. 第673项 B. 第674项 C. 第675项 D. 第676项
4.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历
A. B. C. D.
5.已知，，点P满足，当取到最大值时的面积为
A. B. C. D.
6.已知，，则( )
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
7.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，若P点坐标为，则
A. 0 B. 2 C. 6 D. 10
8.设x，y，，则的最大值是( )
A. 1 B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若小明坐公交上班的用时单位：分钟和骑自行车上班的用时单位：分钟分别满足，，且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在分钟时相交，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为，则
D. 若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交
10.在平面直角坐标系xOy中，，，P是曲线上一点，则
A.
B.
C.
D.
11.已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，P，Q分别是棱BC，的中点，G是线段上一个动点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 多面体的体积为
C. 存在一点G，使得
D. 若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角，满足，，则 .
13.已知正实数a，b满足，则的最小值为 .
14.已知为等比数列，且，从，，，这2025个数中任取两个数，则这两个数之和能被3整除的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区50名男业主和50名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
满意 不满意
男业主 40 10
女业主 30 20
依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？
从该小区的业主中任选一人，A表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，B表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值．
附：
16.本小题15分
已知函数
若曲线在处的切线过点，求实数a的值;
当时，证明：
17.本小题15分
如图，在正四棱台中，，，，棱上的点E满足取得最小值.
证明：平面
在空间取一点为G，使得，设平面AGE与平面的夹角为，求的值.
18.本小题17分
已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点B在直线上，且三边的平方和为
求C的方程；
过点且斜率不为0的直线与C交于M、N两点.
求面积的最大值；
设点G是线段MN上异于M，N的一点，满足，证明：
19.本小题17分
已知数列的前n项和为，且，，当数列的项数大于2时，将数列中各项的所有不同排列填入一个n!行n列的表格中每个格中一个数字，使每一行均为这n个数的一个排列.将第!行的数字构成的数列记作，将数列中的第项记作若对，j，均有，则称数列为数列的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为
求数列的通项公式
当数列的项数为4时，求M的值;
若数列为数列的“异位数列”，试讨论的最小值.
答案和解析
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A D A D B D A BD ACD BD
12.
13.6
14.
15.解：由题可得：，
依据的独立性检验，认为男、女业主对该物业公司服务的评价有差异，
此推断犯错误的概率不大于
利用调查数据，，
16.解：函数的定义域为R，，所以，又，
所以线在处的切线方程为，
将点代入得，解得
证明：，设，则，
因为，所以当时，，即单调递减;
当时，，即单调递增：
当时，，，，，
所以存在唯一的，使得，即，
且当时，，单调递减;当时，，单调递增;
所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值，所以，
因为，所以，所以，所以，得证.
17.解：证明：在等腰梯形中，因为，，
所以，
所以，
将侧面与侧面沿着展平到同一个平面内，连接AC，如图，
可得当且仅当时，取得最小值，此时，
设AC与BD交于O，再连结EO，
因为，所以，所以，
因为平面AEC，平面AEC，
所以平面
设上底面的中心为，则OA，OB，两两垂直，分别以直线OA，OB，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，在直角梯形中得，
，
显然平面的法向量为，
，，，，
所以，
不妨设，
设平面AEG的一个法向量为，
所以不妨设，
所以
18.解：在中令，得，则，所以，
又三边的平方和为30，所以，
解得，
所以C的方程为
设，，直线MN的方程为，
联立，得，
则，所以，
且，，
，
令，则，
，
当且仅当时取等号，此时满足式，
面积的最大值为
设，如图，由，则的平分线与x轴垂直，
所以，
所以点G在线段的垂直平分线上，即，
则，
设，则，
则，①
又点在直线MN上，所以，
则，
所以，则，
整理得，②
由①②得，
所以，则，所以，
故

19.解：由题，，解得，
由得，
两式作差得，即，
所以，，，，，
累乘得：，即，
因为，符合上式，
所以
由知，，所以，
当数列的项数为4时，可知，，，，
若数列为数列的“异位数列”，则：
当时，有，，或，，或，，共3种情况.
同理当或时，对应的排列各有3种情况，
所以
因为数列为数列的“异位数列”，所以!，
即，所以，所以，
当，时，若对任意的j，都有，取等号，
此时，，，，，
所以当，时，的最小值为n，
当，时，的不可能取到等号，
因为存在j，使得，
将1，2，3，，n分为k组，不妨为，，，，时，
可以取到等号，
此时，，，，，，，，
此时，
所以当，时，的最小值为，
综上，当n为偶数时，的最小值为当n为奇数时，的最小值为

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