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【培优练】人教版数学八年级下学期 18.2.3 正方形
一、选择题
1．（2023八下·华容期末）下列说法中错误的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．（2024八下·宁波期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
3． 如图， 将长方形纸片折叠， 使点 落在 上的点 处， 折痕为 ． 若沿 剪下， 则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
4．（2024八下·宛城月考）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．对角线夹角为 B．对角线垂直
C．对角线与一边夹角 D．对角线相等
5．（2024八下·博山期中）如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．90°
6．（2022八下·乐亭期末）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．（2024八下·黔江期末）如图，点 分别在正方形 的边 上， ，已知 ， 则 =（　　）
A．6 B．12 C．15 D．30
8．（2024八下·农安期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·杭州期末）如图，在正方形中，，点E、F分别是边、的中点，连接、，点M，N分别是、的中点，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．2
10．（2024八下·东莞期中）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·惠阳期中）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（　　）
A． B． C． D．10
12．（2020八下·重庆期末）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G.则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 ﹣2.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．（2024八下·昆明期中）如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为　 　．
14．（2024八下·澄海期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O．若AB=8，AE=6，则OM的长为　 　．
15．（2025八下·潮阳期中）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作分别交AB，BC于E，F两点，，则EF的长为　 　．
16．（2024八下·重庆市期末）如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为　 　．
17．（2024八下·青秀期中）如图，在正方形中，点B的坐标是，点E、F分别在边、上，，若，则F点的纵坐标是　 　．
18．（2025八下·宁波期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，则图中阴影部分的面积为　 　.

三、解答题
19．（2024八下·凤山期末） 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，于点于点与EF交于点O.
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若，求DG的长.
20．（2024八下·确山期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
21．（2024八下·定州期中）如图，在正方形中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
22．（2024八下·巴楚期中） 已知：如图，正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，．
（1）观察猜想和的大小关系，并证明你的猜想；
（2）若，求的度数．
23．（2024八下·广安期中）如图，点A是菱形对角线的交点，，，连接，交于点O．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）探究：当______时，四边形是正方形，并证明你的结论．
24．（2024八下·中山期末）如图， 在正方形中，，分别为，的中点，与交于点 P．
（1）试猜想的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）连接，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在第 （2） 问的条件下， 若， 求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形，故正确，不合题意；
B、每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形，故正确，不合题意；
C、四个角都相等，四个角的内角和为，可得到每个内角为所以为矩形，故正确，不合题意；
D、应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分，故错误，不合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、平行四边形、矩形和正方形的判定定理逐项判断解题．
2．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
3．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得∠A=∠EFB=90°，AB=BF，
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∵AB=BF，
∴矩形ABFE为正方形.
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；其它选项都不能直接推导出ABFE为正方形.
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．对角线夹角为的平行四边形不一定是矩形，故A错误；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确；
C．对角线与一边夹角的矩形是正方形，故C正确；
D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确．
故答案为：A．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理解答即可．
5．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，
∴∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，
，
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，再根据等边三角形性质可得PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，则∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图，
由题意知，BE=BC=25，
四边形ABCD是矩形，
，AB=DC=24， AD=BC=25，
在中，
．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AE的长即可。
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝∠BAE，
在△ADH和△ABE中，
∴△ADH≌△ABE（ASA），
∴BE＝HD，AH＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF＝45°，
在△AFH和△AFE中，
AF＝AF
∴△AFH≌△AFE（SAS），
∴EF＝HF，
∵DF＝2，
∴CF＝4，
∵EF2＝CE2＋CF2，
∴（2＋BE）2＝16＋（6 BE）2，
∴BE＝3，
∴HF＝HD＋DF＝5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，
故答案为：C．
【分析】过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，先证出△ADH≌△ABE可得BE＝HD，AH＝AE，再利用“SAS”证出△AFH≌△AFE，可得EF＝HF，再结合EF2＝CE2＋CF2，可得（2＋BE）2＝16＋（6 BE）2，求出BE的长，再利用线段的和差求出HF的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接和，则和都过点O，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接和，则和都过点O，根据正方形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，则，即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵点M，N为别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】连接，利用正方形的性质和勾股定理求得长，再利用三角形中位线定理解答．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质求出，连接交于，再证出是等边三角形，则，再利用菱形的性质可得，，，最后利用勾股定理及菱形的性质求出即可.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：
∵正方形的边长为10，
∴，，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长，
∵点Q时的中点，∴，
由勾股定理得，，
故选：A．
【分析】
首先，取正方形对角线CD的中点Q，连接PQ，EQ。由于P是BC的中点，根据中位线定理，可得PQ平行且等于EF的一半。又因为ABCD是正方形，所以BD等于边长的倍，即BD=10。结合AB=EF，且AB=10，可以求出EF=5。因此，PQ==，且PQ平行于EF。由此可以得出四边形PQEF是一个平行四边形。根据平行四边形的西安可得PF=EQ。因此，AE+PF=AE+EQ。当A、E、Q三点共线时，AE+PF的值最小，最小值就是AQ的长。由于Q是CD的中点，所以DQ==5。根据勾股定理可以求出AQ的长，
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接AE，过E作EH⊥AB于H，
则EH＝BC，
∵AB＝BC，
∴EH＝AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EGH＝∠AFB，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，
∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC；故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E，P，F，C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
故③正确；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝ AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，
∴当O、C、P共线时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣ AE，
∵OC＝ ＝ ，AE＝ ＝ ，
∴PC的最小值为 ﹣ ，故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E，P，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正确；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝ AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当O、C、P共线时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质可得，根据等腰三角的性质及三角形内角和定理可得．
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示连结ME：
∵MN是BE的垂直平分线，∴，又∵四边形ABCD为正方形，
∴，且，则，则，设，则，在中：，即，解得：，即，∴在中：
故答案为：.
【分析】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，属于中档题型.连结ME，根据垂直平分线定理可得：，再利用正方形的性质及勾股定理求得BE=10，从而得到OB=OE=5，设，设，则，然后在中：，建立方程，解出x的值，再在中运用勾股定理进行求解即可.
15．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中
∴(ASA)，
∴，
∴，即，
∴在Rt中，．
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，根据全等三角形判定定理可得(ASA)，得出，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：过B作交延长线于H，则，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明，列出关于BH，HE的比例式，求出BH与HE，再证明，列出关于DF的比例式，求出DF，再根据求出FG．
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长到G，使，连接，．
∵四边形为正方形，且点B坐标为，
，；
在与中，
，
，
，，
；
在与中，
，
，
，
设，则， ，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
∴F点的纵坐标是，
故答案为：．
【分析】
连接，．延长到G，使，根据正方形的性质可得：，，进而根据SAS可证，推出，，然后根据SAS可证，推出，在中，设，则，，根据勾股定理可得，代入以上数据列出方程即可求解．
18．【答案】8
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
连接GF， FH， HE， 如图所示：

依题意得
∵四边形ABCD为正方形，
，
即
在 和 中，
∴EH = HF，
同理： △AEH≌△DGE≌△CFG≌△BHF(SAS)
∴EH = EG = FG= HF，
∴四边形EHFG为菱形，
∴EG∥HF，
又∵EG∥CF，
∴C， F， H在同一条直线上，
∴∠HBC+∠BCH=∠HBC+ABH=∠ABC=90°，
∴∠BHC = 90°，
∴菱形EHFG为正方形，
∴EG =GF = FH = HE =4，
同理： A， E， G在同一条直线上，B，H，E在同一条直线上，D，G，F在同一条直线上，
设AE =x， 则DG=CF =x，
整理得：
解得： (不合题意，舍去) ，
故答案为： 8.
【分析】连接GF， FH， HE， 先证 和 中全等， 同理得 ，则 ， 由此得四边形EHFG为菱形， 再根据EG∥HF，EG∥CF得C， F， H在同一条直线上， 由此得则菱形EHFG为正方形，进而得同理得A， E， G在同一条直线上，B，H，E在同一条直线上， D，G，F在同一条直线上，设 则 则 再根据 求出 则 进而可得图中阴影部分的面积.
19．【答案】（1）证明：∵矩形，
四边形ABEF是矩形，
平分，
四边形ABEF是正方形；..
（2）解：平分，
四边形ABCD是矩形，
又
由（1）可知四边形ABEF是正方形
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质和判定证出四边形ABEF是矩形，再根据角平分线的性质证出EF=EB，最后根据邻边相等的矩形是正方形证出即可.
(2)先根据全等三角形的判定AAS证出进而得到DG=BE得出即可.
20．【答案】（1）
（2）解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的判定定理解答；
（2）连接和，交于点，可以得到、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，，然后根据“神似度”的定义计算解题．
21．【答案】（1）解：四边形是正方形，，，
，，
（2）证明：四边形是正方形，是直角三角形，
点为EF的中点．，，
，，，
由（1）可知，，，．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，根据SAS证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）由正方形的性质证是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质得到 CH=FH，利用角之间的关系求证即可．
22．【答案】（1）解：．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据等边对等角性质可得，则，即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：当，四边形是正方形，证明如下：
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
24．【答案】（1）解：结论：，，
理由：正方形中，，分别为，的中点，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：结论：．理由如下：
如图，延长到点，使，
，
，
．
、分别为，的中点，
，
．
，，
，
是等腰直角三角形，
．
，
．
（3）解：正方形中，，分别为，的中点，
，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明，推出，，可得结论；
（2）延长到点，使，证明，进而证明是等腰直角三角形，可得结论．
（3）利用勾股定理求出，得到，再利用三角形面积公式求出，进而得到，即可利用勾股定理求出，由，即可求
1 / 1【培优练】人教版数学八年级下学期 18.2.3 正方形
一、选择题
1．（2023八下·华容期末）下列说法中错误的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形，故正确，不合题意；
B、每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形，故正确，不合题意；
C、四个角都相等，四个角的内角和为，可得到每个内角为所以为矩形，故正确，不合题意；
D、应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分，故错误，不合题意；
故答案为：D．
【分析】根据菱形、平行四边形、矩形和正方形的判定定理逐项判断解题．
2．（2024八下·宁波期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是(　　)
A．若，则四边形是正方形
B．若，则四边形是平行四边形
C．若，则四边形是菱形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误；
B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误；
C、，则四边形是矩形，原选项判断错误；
D、，则四边形是矩形，原选项判断正确；
故选：D．
【分析】
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
3． 如图， 将长方形纸片折叠， 使点 落在 上的点 处， 折痕为 ． 若沿 剪下， 则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得∠A=∠EFB=90°，AB=BF，
∵∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∵AB=BF，
∴矩形ABFE为正方形.
故答案为：A.
【分析】本题考查正方形的判定：有一组邻边相等的矩形是正方形；其它选项都不能直接推导出ABFE为正方形.
4．（2024八下·宛城月考）小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（　　）
A．对角线夹角为 B．对角线垂直
C．对角线与一边夹角 D．对角线相等
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．对角线夹角为的平行四边形不一定是矩形，故A错误；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确；
C．对角线与一边夹角的矩形是正方形，故C正确；
D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确．
故答案为：A．
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理解答即可．
5．（2024八下·博山期中）如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA的度数是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，
∴∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，
，
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，再根据等边三角形性质可得PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，则∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
6．（2022八下·乐亭期末）如图，在矩形中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图，
由题意知，BE=BC=25，
四边形ABCD是矩形，
，AB=DC=24， AD=BC=25，
在中，
．
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理求出AE的长即可。
7．（2024八下·黔江期末）如图，点 分别在正方形 的边 上， ，已知 ， 则 =（　　）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝∠BAE，
在△ADH和△ABE中，
∴△ADH≌△ABE（ASA），
∴BE＝HD，AH＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF＝45°，
在△AFH和△AFE中，
AF＝AF
∴△AFH≌△AFE（SAS），
∴EF＝HF，
∵DF＝2，
∴CF＝4，
∵EF2＝CE2＋CF2，
∴（2＋BE）2＝16＋（6 BE）2，
∴BE＝3，
∴HF＝HD＋DF＝5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，
故答案为：C．
【分析】过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，先证出△ADH≌△ABE可得BE＝HD，AH＝AE，再利用“SAS”证出△AFH≌△AFE，可得EF＝HF，再结合EF2＝CE2＋CF2，可得（2＋BE）2＝16＋（6 BE）2，求出BE的长，再利用线段的和差求出HF的长，最后利用三角形的面积公式求解即可.
8．（2024八下·农安期末）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：
连接和，则和都过点O，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中
，
，
，
故答案为：C．
【分析】连接和，则和都过点O，根据正方形性质可得，，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，则，即可求出答案.
9．（2024八下·杭州期末）如图，在正方形中，，点E、F分别是边、的中点，连接、，点M，N分别是、的中点，则的长为（　　）
A．5 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点E、F分别是边、的中点，
∴，，
∴，
∵点M，N为别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】连接，利用正方形的性质和勾股定理求得长，再利用三角形中位线定理解答．
10．（2024八下·东莞期中）小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，四边形是正方形，，
，
在图2中，连接交于，
，，
是等边三角形，则，
四边形是菱形，
，，，
，
，
故答案为：C．
【分析】先利用正方形的性质求出，连接交于，再证出是等边三角形，则，再利用菱形的性质可得，，，最后利用勾股定理及菱形的性质求出即可.
11．（2024八下·惠阳期中）如图，在边长为10的正方形对角线上有E，F两个动点，且，点P是中点，连接，则最小值为（　　）
A． B． C． D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：取的中点Q，连接，，如下图所示：
∵正方形的边长为10，
∴，，
∵是正方形的对角线，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，∴，
∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当A、E、Q三点共线时，的值最小，最小值就是的长，
∵点Q时的中点，∴，
由勾股定理得，，
故选：A．
【分析】
首先，取正方形对角线CD的中点Q，连接PQ，EQ。由于P是BC的中点，根据中位线定理，可得PQ平行且等于EF的一半。又因为ABCD是正方形，所以BD等于边长的倍，即BD=10。结合AB=EF，且AB=10，可以求出EF=5。因此，PQ==，且PQ平行于EF。由此可以得出四边形PQEF是一个平行四边形。根据平行四边形的西安可得PF=EQ。因此，AE+PF=AE+EQ。当A、E、Q三点共线时，AE+PF的值最小，最小值就是AQ的长。由于Q是CD的中点，所以DQ==5。根据勾股定理可以求出AQ的长，
12．（2020八下·重庆期末）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G.则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为 ﹣2.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接AE，过E作EH⊥AB于H，
则EH＝BC，
∵AB＝BC，
∴EH＝AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EGH＝∠AFB，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，
∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC；故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E，P，F，C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
故③正确；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝ AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，
∴当O、C、P共线时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣ AE，
∵OC＝ ＝ ，AE＝ ＝ ，
∴PC的最小值为 ﹣ ，故④错误，
故答案为：C.
【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E，P，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正确；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝ AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当O、C、P共线时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论.
二、填空题
13．（2024八下·昆明期中）如图，正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，且．则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：正方形的两条对角线相交于点O，点E在上，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据正方形的性质可得，根据等腰三角的性质及三角形内角和定理可得．
14．（2024八下·澄海期末）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O．若AB=8，AE=6，则OM的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示连结ME：
∵MN是BE的垂直平分线，∴，又∵四边形ABCD为正方形，
∴，且，则，则，设，则，在中：，即，解得：，即，∴在中：
故答案为：.
【分析】本题主要考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，属于中档题型.连结ME，根据垂直平分线定理可得：，再利用正方形的性质及勾股定理求得BE=10，从而得到OB=OE=5，设，设，则，然后在中：，建立方程，解出x的值，再在中运用勾股定理进行求解即可.
15．（2025八下·潮阳期中）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作分别交AB，BC于E，F两点，，则EF的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴在和中
∴(ASA)，
∴，
∴，即，
∴在Rt中，．
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质可知，，，．由题意可得出，即得出，根据全等三角形判定定理可得(ASA)，得出，根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案.
16．（2024八下·重庆市期末）如图，在正方形中，点E为中点，连接，过点A作于点F．点G为线段上一点，连接，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图：过B作交延长线于H，则，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先证明，列出关于BH，HE的比例式，求出BH与HE，再证明，列出关于DF的比例式，求出DF，再根据求出FG．
17．（2024八下·青秀期中）如图，在正方形中，点B的坐标是，点E、F分别在边、上，，若，则F点的纵坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长到G，使，连接，．
∵四边形为正方形，且点B坐标为，
，；
在与中，
，
，
，，
；
在与中，
，
，
，
设，则， ，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
∴F点的纵坐标是，
故答案为：．
【分析】
连接，．延长到G，使，根据正方形的性质可得：，，进而根据SAS可证，推出，，然后根据SAS可证，推出，在中，设，则，，根据勾股定理可得，代入以上数据列出方程即可求解．
18．（2025八下·宁波期中）将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，则图中阴影部分的面积为　 　.

【答案】8
【知识点】正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
连接GF， FH， HE， 如图所示：

依题意得
∵四边形ABCD为正方形，
，
即
在 和 中，
∴EH = HF，
同理： △AEH≌△DGE≌△CFG≌△BHF(SAS)
∴EH = EG = FG= HF，
∴四边形EHFG为菱形，
∴EG∥HF，
又∵EG∥CF，
∴C， F， H在同一条直线上，
∴∠HBC+∠BCH=∠HBC+ABH=∠ABC=90°，
∴∠BHC = 90°，
∴菱形EHFG为正方形，
∴EG =GF = FH = HE =4，
同理： A， E， G在同一条直线上，B，H，E在同一条直线上，D，G，F在同一条直线上，
设AE =x， 则DG=CF =x，
整理得：
解得： (不合题意，舍去) ，
故答案为： 8.
【分析】连接GF， FH， HE， 先证 和 中全等， 同理得 ，则 ， 由此得四边形EHFG为菱形， 再根据EG∥HF，EG∥CF得C， F， H在同一条直线上， 由此得则菱形EHFG为正方形，进而得同理得A， E， G在同一条直线上，B，H，E在同一条直线上， D，G，F在同一条直线上，设 则 则 再根据 求出 则 进而可得图中阴影部分的面积.
三、解答题
19．（2024八下·凤山期末） 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，于点于点与EF交于点O.
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）若，求DG的长.
【答案】（1）证明：∵矩形，
四边形ABEF是矩形，
平分，
四边形ABEF是正方形；..
（2）解：平分，
四边形ABCD是矩形，
又
由（1）可知四边形ABEF是正方形
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)先根据矩形的性质和判定证出四边形ABEF是矩形，再根据角平分线的性质证出EF=EB，最后根据邻边相等的矩形是正方形证出即可.
(2)先根据全等三角形的判定AAS证出进而得到DG=BE得出即可.
20．（2024八下·确山期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形中，对角线，的长分别为，（），我们把定义为菱形的“神似度”．
（1）当菱形的“神似度”______时，菱形就是正方形；
（2）当时，求菱形的“神似度”．
【答案】（1）
（2）解：如图，连接和，交于点O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，即菱形的“神似度”为．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定
【解析】【解答】（1）解：∵对角线相等的菱形是正方形，
∴当时，即时，菱形是正方形，
∴当菱形的“神似度”时，菱形就是正方形，
故答案为：；
【分析】（1）利用正方形的判定定理解答；
（2）连接和，交于点，可以得到、，结合含角的直角三角形的性质、勾股定理，求出，，然后根据“神似度”的定义计算解题．
21．（2024八下·定州期中）如图，在正方形中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：四边形是正方形，，，
，，
（2）证明：四边形是正方形，是直角三角形，
点为EF的中点．，，
，，，
由（1）可知，，，．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质准备条件，根据SAS证明，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）由正方形的性质证是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质得到 CH=FH，利用角之间的关系求证即可．
22．（2024八下·巴楚期中） 已知：如图，正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，．
（1）观察猜想和的大小关系，并证明你的猜想；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据等边对等角性质可得，则，即可求出答案.
23．（2024八下·广安期中）如图，点A是菱形对角线的交点，，，连接，交于点O．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）探究：当______时，四边形是正方形，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：当，四边形是正方形，证明如下：
∵四边形是菱形，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，再根据菱形性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
24．（2024八下·中山期末）如图， 在正方形中，，分别为，的中点，与交于点 P．
（1）试猜想的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；
（2）连接，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在第 （2） 问的条件下， 若， 求的长．
【答案】（1）解：结论：，，
理由：正方形中，，分别为，的中点，
，，，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：结论：．理由如下：
如图，延长到点，使，
，
，
．
、分别为，的中点，
，
．
，，
，
是等腰直角三角形，
．
，
．
（3）解：正方形中，，分别为，的中点，
，，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）证明，推出，，可得结论；
（2）延长到点，使，证明，进而证明是等腰直角三角形，可得结论．
（3）利用勾股定理求出，得到，再利用三角形面积公式求出，进而得到，即可利用勾股定理求出，由，即可求
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