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19.2.3 一次函数与方程、不等式 同步试题
2024--2025学年初中数学人教版八年级下册
一、单选题
1．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线的图象经过点，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，若一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是(　　)
A． B． C． D．
8．如图，直线和与轴分别相交于点，点，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
9．如图直线与交于点，点的横坐标是，则关于的方程的解是 ．
10．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ．
11．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
12．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
13．如图，已知函数和的图象交于点，则当时的取值范围是 ．

三、解答题
14．如图，平面直角坐标系中，直线与直线交于点．
(1)求，的值；
(2)关于、的二元一次方程组的解为___________；
(3)当时，的取值范围是___________．
15．如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求△ABC的面积．
16．如图，直线与直线交于点，直线经过点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）直接写出方程组的解______；
（3）若点在直线的下方，直线的上方，写出的取值范围______．
17．已知：一次函数的图像经过点且与直线平行．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求在这个一次函数的图像上且位于轴上方的所有点的横坐标的取值范围．
18．已知关于的一次函数．当时，；当时，．
(1)求的值；
(2)若是该函数图象上的两点，求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D A A B A A
1．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得．
【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得，
∴点的坐标为，
∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法，把不等式的解集理解为当时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：∵不等式的解是，
∴对于一次函数，当时，，
即当时，一次函数的图象上x的上方．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得．
【详解】解：将点代入函数得：，解得，
∴，
∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，
∴由函数图象可知，，
即关于的不等式的解集是，
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解进行解答即可．
【详解】解：直线与的交点的坐标为，
方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，
方程组的解是，
故选：A．
5．A
【分析】将点P（、4）代入，求出的值，结合图像交点P的坐标即为二元一次方程组的解．
【详解】一次函数与的交点为P（、4）
解得
点P的坐标为（2、4）
的解为：
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是求出点P坐标，结合图形求解．
6．B
【分析】观察函数图象得到答案即可．
【详解】解：由图象可得：当x＞﹣1时，kx+b＞2，
所以不等式kx+b＞2的解集为x＞﹣1，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
7．A
【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可得．
【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点，
方程组的解为，
故选：A．
【点睛】本题考查了利用一次函数的交点确定方程组的解，掌握函数图象法是解题关键．
8．A
【分析】本题考查了一次函数与轴的交点问题，求一元一次不等式组的解集．由图象可知，的解集为，的解集为，即可解不等式组．
【详解】解：由图象可知，的解集为，的解集为，
不等式组解集为，
故选：A．
9．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，由一次函数图象的交点的横坐标就是两个一次函数解析式所构成的一元一次方程的解即可求解，掌握一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系是解题的关键．
【详解】解：∵直线与交于点，点的横坐标是，
∴的方程的解为：，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵关关于x的方程的解为，
∴，
解得：．
∴一次函数为，
令，得．
解得：，
∴一次函数与x轴交点的坐标为．
故答案为．
11．
【分析】利用函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：当时，，
所以关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，是求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
12．
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据两一次函数的交点的横纵坐标是两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，进行求解即可．
【详解】解：∵函数和的图象交于点，
∴关于x，y的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查的是根据函数图象，求不等式的解集，掌握一元一次不等式与函数图象的关系是解决此题的关键．利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．
【详解】解：由图象可知：在点右侧图象符合，且点的横坐标为
∴若不等式，则
故答案为：
14．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的解析式，一次函数和二元一次方程组，以及不等式，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）把先代入求出m，再代入求出a即可；
（2）根据图像可知交点坐标即为二元一次方程组的解；
（3）根据图象写出的解集即可．
【详解】（1）解：把代入得，
把代入得：，
解得；
（2）解：由图像可知二元一次方程组的解为．
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：．
15．(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2).
【分析】（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y＝0，求出x的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）根据三点的坐标求出BC的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：（1）直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7联立得，，
解得，
∴交点为A（2，5），
令y＝0，则2x+1＝0，﹣x+7＝0，
解得x＝﹣0.5，x＝7，
∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；
（2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5，
∴S△ABC＝×7.5×5＝．
故答案为(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2).
【点睛】本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的坐标，求直线与x轴的交点坐标，令y＝0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x＝0求解．
16．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）求出点C坐标，由待定系数法可得直线的函数表达式；
（2）方程组的解即为交点C横纵坐标的值；
（3）由题意可知当，，根据直线的表达式求出即可.
【详解】解：（1）当时，，解得，
即点坐标为；
由与直线交于点，直线经过点，得
，
解得，
直线的函数表达式为；
（2）方程组的解即为交点C横纵坐标的值, 点坐标为，所以方程组解为；
（3）由题意可知当，，
所以．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式及图像，熟练掌握待定系数法，将题目与图像相结合是解题的关键.
17．（1）；（2）横坐标的取值范围是小于的一切实数
【分析】（1）根据两直线平行可知，再将点A（1，3）代入可得直线解析式；
（2）由于位于轴的上方的点其纵坐标都大于0，所以得到，解此不等式即可．
【详解】（1）∵直线与直线平行，
∴，
∵直线经过点，
∴．
解得．
∴这个一次函数的解析式为；
（2）∵所求的点在直线上且位于轴上方，
∴．
解得，
即所有这样的点的横坐标的取值范围是小于的一切实数．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，根据两直线平行得到两直线的斜率相等是关键．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）把，代入一次函数，计算即可证明结论．
【详解】（1）解：由题意得
解得
（2）把分别代入得
，
．
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