资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
随机变量及其分布 专题四 利用贝叶斯公式结合全概率公式和由数列递归关系求解条件概率和马尔科夫链问题
2024-2025学年数学人教A版(2019) 选择性第三册
一、单选题
1．已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率，假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．张某经营、两家公司，张某随机到公司指导与管理，已知他第1个月去公司的概率是.如果本月去公司，那么下个月继续去公司的概率为；如果本月去公司，那么下个月去公司的概率为，如此往复.设张某第个月去公司的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．甲乙两人分别掷两枚骰子，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着掷．第一次掷由甲开始，设第次由甲掷的概率为，则与之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游戏币到预期的个.设当参与者手中有个（）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为，下列说法错误的是（ ）
A．，
B．记参与者通关的局数，在前13局中，，
C．
D．若参与者最初手中有20个游戏币，他希望赢到100个，则他输光的概率为
6．中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然，．下列判断正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
二、多选题
7．甲罐中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙罐中有1个红球，2个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，用、、表示甲罐取出红球、白球、黑球的事件；用B表示由乙罐取出红球的事件，则（ ）
A．与相互独立 B．
C． D．
8．已知，，三个盒子，其中盒子内装有2个红球，1个黄球和1个白球；盒子内装有2个红球，1个白球；盒子内装有3个红球，2个黄球.若第一次先从盒子内随机抽取1个球，若取出的球是红球放入盒子中；若取出的球是黄球放入盒子中；若取出的球是白球放入盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为
B．第二次抽到红球的概率为
C．如果第二次抽到的是红球，则它来自号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种
三、填空题
9．电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 .
10．某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启.已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为.记玩家第次抽盲盒，抽中奖品的概率为，则 ； .
四、解答题
11．把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球.
(1)求摸出的球是红球的概率；
(2)若摸出的球是红球，记该红球为“”.
（i）求“”是从乙盒摸出的概率；
（ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率.
12．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.
(1)求和；
(2)求证：是等比数列；
(3)求的数学期望（用表示）.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A A C C C ABD AD
1．B
【分析】根据题意，先分析求解从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可
【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球，
则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为
.
故选：B.
2．A
【分析】借助全概率公式及贝叶斯公式计算即可得.
【详解】设从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为i个的事件为，
从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2个的事件为B，
由题意：①，；
②，；
③，.
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，
则从甲袋中取出的是2个红球的概率为：
.
故选：A.
3．A
【分析】先根据全概率公式得到数列的递推公式，再根据递推公式求通项公式，可求.
【详解】设表示第个月去公司，则，，
根据题意，得，，
由全概率公式，得
，
即，整理得，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则.
故选：A
4．C
【分析】据题意列出第次由甲掷的两种情况，根据互斥事件判断可得到答案.
【详解】第次由甲掷应该有两种情况：
①第次由甲掷，第次继续由甲掷，此时概率为；
②第次由乙掷，第次由甲掷，此时概率为．
由于这两种情况是互斥的，
因此与之间的关系式是，其中．
故选：C．
5．C
【分析】根据游戏规则可直接判定A；根据，可计算，，判断B；由全概率公式判断C；由选项C可得为等差数列，结合1数列通项公式可判断D.
【详解】对于A，当时，游戏币已经输光了，因此，
当时，参与者已经到了终止游戏的条件，因此输光的概率，故A正确；
对于B，由题意可得，，
所以，故B正确；
对于C，参与者有n个游戏币的状态，可能来源于有个游戏币再赢一局，
也可能来源于有个游戏币再输一局，
由全概率公式，，故C错误；
对于D，由C得，
所以为等差数列，其中首项，
设公差为，则，即，，
所以，当时，，故D正确.
故选：C．
6．C
【分析】根据全概率公式列出关于和之间的关系式，再利用基本不等式求解即可.
【详解】第次就餐去“公寓食堂”的概率为，第次就餐去“风味餐厅”的概率为，
第次就餐去“清真食堂”的概率为，
由全概率公式得，
，即，
当且仅当时等号成立.
故选：C．
7．ABD
【分析】由题意知，是两两互斥的事件，利用相互独立的定义，即可判断A；由条件概率公式求得的值，即可判断B；由概率的乘法公式求得的值，即可判断C；由全概率公式先求得的值，再由贝叶斯公式求得的值，即可判断D.
【详解】由题意知，是两两互斥的事件，
,
设，则，
因为，所以与相互独立，
故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，
，故D正确.
故选：ABD
8．AD
【分析】由条件概率判断选项；利用全概率公式计算选项；利用贝叶斯公式计算选项；求不同元素的分组分配种数判断选项.
【详解】记第一次抽到红 黄 白球的事件分别为，，，则有， ，对于，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入盒子内，
因此第二次抽到红球的概率为，正确；
记第二次在第，，号盒内抽到红球的事件分别为，而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到红球的事件为，
，不正确；
若取出的球是红球放入盒子中，若取出的球是黄球放入盒子中，若取出的球是白球放入盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，
，，
，
即第二次抽到的是红球，则它来自盒子的概率最大，不正确；
把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的方法种数是种，正确.
故选：AD.
9．
【分析】结合条件概率分析，利用贝叶斯定理计算.
【详解】文件未被丢失的概率为，此时文件均匀分布在88个文件夹中每个文件夹的概率为；文件丢失的概率为.
已知检查了个文件夹未找到文件，此时文件要么在剩下的个文件夹中，要么已丢失.
文件存在且未被检查到的概率：，所以总的未找到文件的概率：.
在已知未找到的条件下，文件存在于剩余文件夹中的概率为：.
故答案为：.
10． ； .
【分析】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件，则由全概率公式可得，利用构造法可求通项并得到.
【详解】记玩家第次抽盲盒并抽中奖品为事件，
依题意，，，，，
，
所以，所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故，则，
故，
故答案为： ， .
【点睛】思路点睛：概率计算中马尔科夫链问题，关键在于利用全概率公式构建数列的递推关系，再结合数列中构造法即可求出概率的一般形式.
11．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）借助全概率公式计算即可得；
（2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得.
【详解】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、
“随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、
“随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、
“从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件，
则
；
（2）（i）；
（ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件，
，
，
分别记、、为、、，
则
.
12．(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）结合独立事件乘法公式出求，再利用全概率公式求.
（2）利用全概率公式求得、与、的关系，再利用构造法证明等比数列.
（3）求出的分布列及期望，再利用由（2）求出通项公式.
【详解】（1）依题意，，，
，
.
（2）设表示次取球后甲口袋有2个黑球，表示次取球后甲口袋有1个黑球，
表示一次操作甲乙都取的是白球，表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，
表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，表示一次操作甲，乙都取黑球，
当时，
则，
，
，
，
因此，即，，
所以是为首项为公比的等比数列.
（3）依题意，的分布列为
0 1 2
期望，由（2）得，
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑