资源简介

2025 年学业水平阶段性调研测试九年级 数学（2025.05）
注意事项
本试题分试卷和答题卡两部分。第 Ⅰ 卷满分为 40 分；第 Ⅱ 卷满分为 110 分。本试题共 8 页，满分为 150 分。考试时间为 120 分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一并交回。本考试不允许使用计算器。
第 Ⅰ 卷 (选择题 共 40 分)
一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.2025 的绝对值是（ ）
A. 2025 B. -2025 C. D.
2.2024 年 5 月 3 日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行 1m 大约需要 0.0000893s。数据 0.0000893 用科学记数法表示为（ ）
A. 8.93×10 7 B. 893×10 4 C. 8.93×10 4 D. 8.93×10 5
3.下列几何体的俯视图是三角形的是（ ）
4.下列运算结果正确的是（ ）
A. a2·a4=a8 B. (3b2)2=3b4 C. (a4)2=a8 D. a6÷a2=a3
5.“致中和，天地位焉，万物育焉”。对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年。下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
6.槐荫区某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取 10 名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间 (单位：分钟)：55、57、65、55、65、70、65、78、68、70，对这组数据判断正确的是（ ）
A. 方差为 3 B. 平均数为 65 C. 众数为 65 D. 中位数为 67.5
7.化简 的结果是（ ）
A. B. C. D.
8.“石头、剪刀、布” 是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出 “石头”“剪刀”“布” 这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点，连接 EC、FD。点 G、H 分别是 EC、FD 的中点，连接 GH。若 AB = 6，BC = 10，则 GH 的长度为（ ）
A. 2 B. 2 C. D.
10.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线 x= 1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2 4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有 a bt≤at2+b；⑤当图象经过点 (,2)时，方程 ax2+bx+c 2=0的两根为 x1、x2(x1A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题 (本大题共 5 个小题。每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的横线上。)
11. 分解因式：9a2 4= 。
12. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 。
13. 小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起 (一边重合)，如图所示，则形成的 ∠1= 度。
14. 如图，点 A 在双曲线 y= 上，点 B 在双曲线 y=上，且AB∥x轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 。
15. 已知菱形 ABCD 中，∠BAD=120 ，AB = 8，E 为边 AD 的中点，F 为边 BC 上一点，将F 点沿过 C 点的直线翻折，翻折后的对应点 G 恰好落在直线 AC 上，则 EG+ CG的最小值为 。
三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
16. (本小题满分 7 分)计算：∣2 ∣+ +tan60 () 1+( )0
17.(本小题满分 7 分)解不等式组，并写出满足条件的正整数解。
18.(本小题满分 7 分)如图，在 □ABCD中，AE、CF 分别垂直于对角线 BD 的延长线，垂足分别为 E、F。求证：AE = CF。
19.(本小题满分 8 分)植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日。按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节。提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性。1928 年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为 3 月 12 日。新中国成立后的 1979 年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的 3 月 12 日定为植树节。某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，九年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：
完成下面问题：
(1)a= ，n= ；
(2) 在扇形统计图中，A 组对应的圆心角为 度；
(3) 补全条形统计图；
(4) 九年级共有 480 人，请根据以上数据估计其中分数大于 80 分且小于等于 90 分的人数。
20.(本小题满分 8 分)某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图 1 是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图 2 是其示意图，其中 AB、CD 都与地面l平行，车轮半径为 32cm，∠BCD=64 ，BC = 60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 18cm。
(1) 求坐垫 E 到地面的距离；
(2) 根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为 80cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E′(坐垫 E′可在 BE 上活动)，求EE′的长。(结果精确到 0.1cm，参考数据 sin64 ≈0.90，cos64 ≈0.44，tan64 ≈2.05。)
21.(本小题满分 9 分)如图，在 △ABC中，点 O 为 AB 边上一点，⊙O经过 B、D 两点，交 BC 于点 E，交 AB 于点 F，∠CDB=∠DFB。
(1) 求证：AC 是 ⊙O的切线；
(2) 若 AD = 5，AB = 10，求 ⊙O的半径。
22.(本小题满分 10 分)槐荫区某中学组织师生共 480 人去参观博物院。阅读下列对话：
李老师：“客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，且租用 1 辆 60 座客车和 1 辆 45 座客车到山东省博物院，一天的租金共计 1800 元。”
小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 4 辆 60 座和 3 辆 45 座的客车到山东省博物院，一天的租金共计 6400 元。”
(1) 客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2) 若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，请问有几种租车方式？哪种租车方式费用最少，最少是多少元？
23.(本小题满分 10 分)如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，一次函数y1=kx+b与反比例函数 y2=(x>0)的图象交于 A (2，m)、B (4，2) 两点。
(1) 求一次函数 y1与反比例函数 y2的解析式；
(2) 根据图象直接写出当 kx+b ≤0时，x 的取值范围；
(3) y 轴上有一点 P，当以点 O、P、A、B 为顶点的四边形的面积为 7 时，求点 P 的坐标。
24.(本小题满分 12 分)二次函数 y=ax2+bx 3的图象与 x 轴交于 A (-3，0)、B (1，0) 两点，与 y 轴交于点 C。
(1) 求此二次函数的表达式；
(2) 如图 1，点 E 是第三象限内的抛物线上的动点，过点 E 作 轴，交 x 轴于点 D，四边形 CDAE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出 E 点坐标；
(3) 如图 2，点 P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 Q，在 x 轴上有一点 N (-5，0)，连接 NP，在抛物线的对称轴上是否存在一点 H，使得 ∠HNP+∠BCO=45 ，若存在，请求出点 H 的坐标。
25.(本小题满分 12 分)如图 1，已知 DE 为 △ABC中位线，∠BAC=120 ，现将 △ADE绕顶点 A 旋转。
(1) 若 AB = AC，△ADE旋转至如图 2 中 △AD′E′位置，求证：BD′=CE′；
(2) 若 AB = 2，AC = 4。
①将 △ADE绕 A 旋转至如图 3 中 △AD′E′位置，求 的值；
②直接写出 BC 的值；
③如图 4，O 为平面内一点，现将 △ABC平移至 △A1B1C1的位置，此时 O、D、B1 共线，O、E、C1 共线，△ODE为等边三角形，然后将△A1B1C1绕 O 旋转 α(0 <α≤360 )至△A2B2C2，连接 DB2，D′为 D 关于 O 的中心对称点，在旋转过程中，DB2+D′C2是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由。
答案
一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.2025 的绝对值是（ A ）
A. 2025 B. -2025 C. D.
2.2024 年 5 月 3 日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行 1m 大约需要 0.0000893s。数据 0.0000893 用科学记数法表示为（ D ）
A. 8.93×10 7 B. 893×10 4 C. 8.93×10 4 D. 8.93×10 5
3.下列几何体的俯视图是三角形的是（ B ）
4.下列运算结果正确的是（ C ）
A. a2·a4=a8 B. (3b2)2=3b4 C. (a4)2=a8 D. a6÷a2=a3
5.“致中和，天地位焉，万物育焉”。对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年。下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ D ）
6.槐荫区某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取 10 名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间 (单位：分钟)：55、57、65、55、65、70、65、78、68、70，对这组数据判断正确的是（ C ）
A. 方差为 3 B. 平均数为 65 C. 众数为 65 D. 中位数为 67.5
7.化简 的结果是（ B ）
A. B. C. D.
8.“石头、剪刀、布” 是一种猜拳游戏，游戏时，双方每次任意出 “石头”“剪刀”“布” 这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、BC 的中点，连接 EC、FD。点 G、H 分别是 EC、FD 的中点，连接 GH。若 AB = 6，BC = 10，则 GH 的长度为（ C ）
A. 2 B. 2 C. D.
10.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线 x= 1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0；②b2 4ac>0；③4a+c>0；④若t为任意实数，则有 a bt≤at2+b；⑤当图象经过点 (,2)时，方程 ax2+bx+c 2=0的两根为 x1、x2(x1A. ①②③ B. ②③④ C. ②③⑤ D. ②③④⑤
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 110 分)
二、填空题 (本大题共 5 个小题。每小题 4 分，共 20 分。把答案填在答题卡的横线上。)
11. 分解因式：9a2 4= (3a﹣2)(3a+2) 。
12. 一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率为 。
13. 小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起 (一边重合)，如图所示，则形成的 ∠1= 132 度。
14. 如图，点 A 在双曲线 y= 上，点 B 在双曲线 y=上，且AB∥x轴，点 C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 8 。
15. 已知菱形 ABCD 中，∠BAD=120 ，AB = 8，E 为边 AD 的中点，F 为边 BC 上一点，将F 点沿过 C 点的直线翻折，翻折后的对应点 G 恰好落在直线 AC 上，则 EG+ CG的最小值为 6 。
三、解答题 (本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
16. (本小题满分 7 分)计算：∣2 ∣+ +tan60 () 1+( )0
=2 +2+﹣2+1
=3
17.(本小题满分 7 分)解不等式组，并写出满足条件的正整数解。
解：解不等式①，得x >-2
解不等式②，得x ≤2
原不等式组的解集为﹣2< x ≤2
该不等式组的正整数解为1,2
18.(本小题满分 7 分)如图，在 □ABCD中，AE、CF 分别垂直于对角线 BD 的延长线，垂足分别为 E、F。求证：AE = CF。
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB // CD , AB = CD
∴∠ABD =∠CDB
∵AB⊥BE , CF⊥DF
∴∠E =∠F =90°
∴△ABE≌△CDF
∴BE = DF
∴BE - BD = DF - BD
即 DE = BF 。
19.(本小题满分 8 分)植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日。按时间长短可分为植树日、植树周和植树月，共称为国际植树节。提倡通过这种活动，激发人们爱林造林的热情、意识到环保的重要性。1928 年，国民政府为纪念孙中山逝世三周年，将植树节改为 3 月 12 日。新中国成立后的 1979 年，在邓小平提议下，第五届全国人大常委会第六次会议决定将每年的 3 月 12 日定为植树节。某学校在植树节到来之际，举办了一场环保主题的知识竞赛，九年级其中一个班级的成绩作如下整理，部分信息如下：
完成下面问题：
(1)a= ，n= ；
(2) 在扇形统计图中，A 组对应的圆心角为 度；
(3) 补全条形统计图；
(4) 九年级共有 480 人，请根据以上数据估计其中分数大于 80 分且小于等于 90 分的人数。
解：(1)4,20;
(2)14.4;
(3）补全条形统计图如下：
(4)x480=192（人）
答：估计该校此次受表扬的学生人数有192人。
20.(本小题满分 8 分)某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务。图 1 是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图 2 是其示意图，其中 AB、CD 都与地面l平行，车轮半径为 32cm，∠BCD=64 ，BC = 60cm，坐垫 E 与点 B 的距离 BE 为 18cm。
(1) 求坐垫 E 到地面的距离；
(2) 根据经验，当坐垫 E 到 CD 的距离调整为人体腿长的 0.8 倍时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为 80cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E′(坐垫 E′可在 BE 上活动)，求EE′的长。(结果精确到 0.1cm，参考数据 sin64 ≈0.90，cos64 ≈0.44，tan64 ≈2.05。)
解：(1）过点 E 作 EM⊥CD 于点 M
由题意知 ∠BCM =64°, EC=BC +BE=60+18=78
∴EM = EC · sin∠BCM =78xsin64°≈70.2
∵车轮半径为32cm
∴坐垫 E 到地面的距离是70.2+32=102.2cm
(2）如图2所示，过点 E 作 E'H⊥CD 于点 H
由题意知： E'H =80x0.8=64
则 CE'=71.11
∴EE'= CE - CE'=78-71.11=6.89≈6.9cm
21.(本小题满分 9 分)如图，在 △ABC中，点 O 为 AB 边上一点，⊙O经过 B、D 两点，交 BC 于点 E，交 AB 于点 F，∠CDB=∠DFB。
(1) 求证：AC 是 ⊙O的切线；
(2) 若 AD = 5，AB = 10，求 ⊙O的半径。
证明：如图，连接 OD
∵OD = OF
∴∠ODF =∠OFD
∵∠CDB =∠DFB
∴∠CDB =∠ODF
∵BF为直径，
∴∠BDF =90°
即∠BDO +∠ODF =90°
∴∠BDO +∠CDB=∠ODC =90
∵OD 为半径，
∴AC 为⊙O 的切线
(2）解：设半径为 x ,
由（1）得∠ODA =90°,
在 Rt △ ADO 中
∵AD =5, OD = x ,AO = AB - BO =10- x ，AD2+OD2=AO2
∴52+x2=(10- x )2
解得 x＝
半径为
22.(本小题满分 10 分)槐荫区某中学组织师生共 480 人去参观博物院。阅读下列对话：
李老师：“客运公司有 60 座和 45 座两种型号的客车可供租用，且租用 1 辆 60 座客车和 1 辆 45 座客车到山东省博物院，一天的租金共计 1800 元。”
小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了 4 辆 60 座和 3 辆 45 座的客车到山东省博物院，一天的租金共计 6400 元。”
(1) 客运公司 60 座和 45 座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2) 若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，请问有几种租车方式？哪种租车方式费用最少，最少是多少元？
解：(1）设客运公司60座的客车每辆每天的租金是 x 元，45座的客车每辆每天的租金是 y 元
由题意得
解得：
答：客运公司60座的客车每辆每天的租金是1000元，45座的客车每辆每天的租金是800元。(2）设60座的客车租用 m 辆，45座的客车租用 n 辆，
由题意得：60m+45n=480
整理得： m =8﹣n
∵m 、 n 均为非负整数，
有3种租车方式：
n =0时， m =8，费用为：8x1000=8000（元）;
② n =4时， m =5，费用为：5x1000+4x800=8200（元）;
③ n =8时， m =2，费用为：2x1000+8x800=8400（元）;
8000<8200<8400
最省钱的租车费用为8000元
答：共有3种租车方式，当60座的客车8辆时费用最少，此时租车费用为8000元。
23.(本小题满分 10 分)如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，一次函数y1=kx+b与反比例函数 y2=(x>0)的图象交于 A (2，m)、B (4，2) 两点。
(1) 求一次函数 y1与反比例函数 y2的解析式；
(2) 根据图象直接写出当 kx+b ≤0时，x 的取值范围；
(3) y 轴上有一点 P，当以点 O、P、A、B 为顶点的四边形的面积为 7 时，求点 P 的坐标。
解：(1）把 B (4,2)代入y2=得n =8
∴反比例函数 y2的解析式为y2=
把4(2, m)代入y2=得m=4
∴A (2,4),.
把4(2,4), B (4,2）代入y1=kx+b得
解得
∴一次函数 y1的解析式为 y1=-x +6
(2)0< x ≤2或 x >4
(3)P(0,1)或(0，﹣0.5)
24.(本小题满分 12 分)二次函数 y=ax2+bx 3的图象与 x 轴交于 A (-3，0)、B (1，0) 两点，与 y 轴交于点 C。
(1) 求此二次函数的表达式；
(2) 如图 1，点 E 是第三象限内的抛物线上的动点，过点 E 作 轴，交 x 轴于点 D，四边形 CDAE 的面积是否存在最大值？若存在，请求出 E 点坐标；
(3) 如图 2，点 P 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 x 轴交于点 Q，在 x 轴上有一点 N (-5，0)，连接 NP，在抛物线的对称轴上是否存在一点 H，使得 ∠HNP+∠BCO=45 ，若存在，请求出点 H 的坐标。
解：(1）二次函数 y =ax2+ bx -3经过点A (-3,0), B (1,0),
将 A (-3,0), B (1,0）代入表达式得
解得
∴二次函数y =x2+2x -3
（2）E（﹣1，﹣4）
（3）H（﹣，1﹣）或（﹣1，﹣12）
25.(本小题满分 12 分)如图 1，已知 DE 为 △ABC中位线，∠BAC=120 ，现将 △ADE绕顶点 A 旋转。
(1) 若 AB = AC，△ADE旋转至如图 2 中 △AD′E′位置，求证：BD′=CE′；
(2) 若 AB = 2，AC = 4。
①将 △ADE绕 A 旋转至如图 3 中 △AD′E′位置，求 的值；
②直接写出 BC 的值；
③如图 4，O 为平面内一点，现将 △ABC平移至 △A1B1C1的位置，此时 O、D、B1 共线，O、E、C1 共线，△ODE为等边三角形，然后将△A1B1C1绕 O 旋转 α(0 <α≤360 )至△A2B2C2，连接 DB2，D′为 D 关于 O 的中心对称点，在旋转过程中，DB2+D′C2是否存在最小值，若存在，直接写出该最小值；若不存在，请说明理由。
解：(1)∵AB = AC , DE 为△ABC 的中位线
∴AD =AB, AE =AC
∴AD = AE
由题意得∠D'AE'=∠DAE =120°, AD'= AE'
∴∠D'AB +∠BAE'=∠BAE'+ ∠E'AC
∴∠D'AB =∠E'AC
∴△AD'B≌△AE'C
∴BD'= CE'
（2）①
②2
③存在，为2

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