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浙江省金华市浦江县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·浦江期末）如图，在墙面上安装某一管道需要经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数是（　　）
A． B． C． D．不能确定
2．（2024七下·浦江期末）已知是方程的一个解，则的值为(　　).
A．-2 B．-1 C．0 D．1
3．（2024七下·浦江期末）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024七下·浦江期末）如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·浦江期末）已知，则分式的值为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024七下·浦江期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·浦江期末）已知，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024七下·浦江期末）某校708班数学老师将学生成绩分成三组，情况如表所示，则表格中的值为(　　)
第一组 第二组 第三组
频数 16 20
频率
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2024七下·浦江期末）若关于的分式方程无解，则的值为(　　)
A．3或 B．3或 C．-3或 D．-3或
10．（2024七下·浦江期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
11．（2024七下·浦江期末）因式分解： 　 　.
12．（2024七下·浦江期末）计算：　 　.
13．（2024七下·浦江期末）设，则代数式A、B的大小关系为：　 　B.(填“>”、“<”或“=”)
14．（2024七下·浦江期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则　 　．
15．（2024七下·浦江期末）如图，在中，角平分线交于点，已知：，则　 　．
16．（2024七下·浦江期末）如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则：
（1）由可列等式：　 　+　 　；
（2）若，那么与之间的数量关系是　 　．
17．（2024七下·浦江期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024七下·浦江期末）解方程组：
（1）
（2）
19．（2024七下·浦江期末）已知分式方程：，下框中是小明同学对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打，若解法错误，请给出正确解法．
小明： 解去分母，得 去括号，得 化简，得
你的解法：
20．（2024七下·浦江期末）2024年6月6日，嫦娥六号上升器圆满完成了月球样品容器转移，返回器正踌躇满志地踏上归途，近期，某中学举行了以“航天精神”为主题的知识竞赛活动，赛后整理统计部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为（优秀）、（良好）、（及格）、（不及格）四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2），但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）整理统计参赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）如果全校有1800名学生，请计算全校“航天精神”知识竞赛成绩为良好及以上的学生大约有多少人？
（4）请你对此次竞赛活动的学生成绩做一个评价．
21．（2024七下·浦江期末）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
（2）若，求长方形增加的面积．
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
22．（2024七下·浦江期末）依据素材，解答问题．
方案设计
材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力．
材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件．
材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变．
问题解决
任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少．
任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量．
23．（2024七下·浦江期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）．
（1） 点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：．
（2）若将沿折叠，使顶点落在点处．
①若点刚好在直线上，求：的度数．
②若点落在两平行线之间，且，求：的度数．
24．（2024七下·浦江期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可解答.
2．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为：B.
【分析】把方程的解代入方程建立关于m的方程，解方程即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方以及幂的乘方，同底数幂的除法逐一求解即可．
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，是高，
∴，，
∵，
∴的值为，
故答案为：A ．
【分析】由三角形内角和定理可得，根据高的定义即可求出，再由角平分线的定义及角的和差运算即可求得答案.
5．【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：已知，则，
故答案为：D.
【分析】把x=2y代入计算即可求解．
6．【答案】B
【知识点】因式分解的应用；数形结合
【解析】【解答】解：图形的面积为：或：，
∴，
故答案为：B．
【分析】用两种不等的方法表示正方形的面积，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
，，故A正确．
故答案为：A.
【分析】首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案．
8．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意，，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴的值为9，
故答案为：D.
【分析】基本关系：频率=频数÷总数，据此求解。
9．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
∵关于的分式方程无解，
∴且，或，
∴且，或，
当时，，
解得，，
∴的值为或，
故答案为：A .
【分析】根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解．
10．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图所示，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，
∴正方形①的边长为，正方形⑤的边长为，正方形④的边长为，
∴长方形②的长为，长方形③的短边为，长边长为，
∴正方形①的周长为：；
长方形②的周长为：；
长方形③的周长为：；
正方形④的周长为：；
正方形⑤的周长为：；
∴①和②的周长之差为：；
①和④的周长之差为：；
③和④的周长之差为：；
④和⑤的周长之差为：；
∴若已知正方形⑥的边长，可得①和④，③和④，④和⑤的周长之差，共3对，
故答案为：C ．
【分析】
根据题意，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，分别用含的式子表示出①③④⑤的边长，并求出各图形的周长，在分别求出①和②；①和④；③和④；④和⑤的周长之差，即可比较解答．
11．【答案】(x+3y)(x-3y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
故答案为：(x+3y)(x-3y).
【分析】观察原式形式可知刚好是平方差公式的形式，由平方差公式： 两个数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积，可对原式进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：.
【分析】先把第二个分式的分母转化为x-1，再根据同分母分式的加减法的法则计算．
13．【答案】>
【知识点】多项式乘多项式；整式的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】先计算A-B，根据差与0的大小关系比较大小．
14．【答案】200
【知识点】因式分解﹣公式法；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴．
故答案为：．
【分析】由数形结合思想，根据平方差公式和图形面积，即可求解.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得DE=DF，在根据等面积法，表示出△ABD和△ACD的面积，即可得出，由此即可求解．
16．【答案】；；
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，
（1），
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：（1）；；（2） ．
【分析】（1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解；
（2）列出面积关系等式，运用乘法公式变形即可得到与之间的数量关系.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，最后算加减；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则即可求解．
18．【答案】（1）解：
由②得：③
把③代入①得，，
解得，，
把代入③得，，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得，，
①+②得，，
解得，，
把代入①得，，
则方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组，由②得：，代入①即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法解二元一次方程组，①+②即可消去y．
19．【答案】解：原解法错误，打×；
去分母，得
去括号，得
移项，得
化简，得
经检验，是增根，应舍去，所以原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式方程的解法，先去分母将分式方程化成整式方程，在解整式方程，求出整式方程的解后检验是否为分式方程的解，按步骤判断原题解法即可解答.
20．【答案】（1），
（2）
（3）解：（人），∴全校“航天精神”知识竞赛成绩为良好及以上的学生大约有人；
（4）解：A等级有30人，占比为，∴此次“航天精神”知识竞赛半数以上的同学掌握情况良好，但仍需要加大宣传，让更多的同学理解并掌握“航天精神”知识的内容．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：A等级有30人，占比为，
∴（人），
C等级有15人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）
解：B等级的人数为（人），
∴补全条形图如下，
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图中，A等级的人数和百分比即可求解；
（2）根据各等级的人数及抽样总人数，可计算出B等级的人数，即可解答；
（3）运用样本百分比估算总体数量的方法即可求解；
（4）根据调查数据作决策，合情合理即可．
（1）解：A等级有30人，占比为，
∴（人），
C等级有15人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：B等级的人数为（人），
∴补全条形图如下，
（3）解：（人），
∴全校“航天精神”知识竞赛成绩为良好及以上的学生大约有人；
（4）解：A等级有30人，占比为，
∴此次“航天精神”知识竞赛半数以上的同学掌握情况良好，但仍需要加大宣传，让更多的同学理解并掌握“航天精神”知识的内容．
21．【答案】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，∴；
（3）解：∵，∴，
∴
；
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
（1）根据题意，分别表示出新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把代入（1）中的代数式，再计算即可；
（3）由“新长方形的面积是原长方形面积的2倍”整理可得，再计算，最后整体代入即可；
（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
22．【答案】解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，
根据题意可列方程：
解得，
答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程：
，
解得，
经检验，是该方程的解，
答：车间需要到其他企业调配8人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】
任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，根据数量关系列方程求解即可；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意列分式方程求解即可．
23．【答案】（1）证明，
，
，
，
；
（2）解：①如图2，由折叠可知，
，
，
，
，
；
②如图3，由折叠可知，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质及判定即可证明结论；
（2）①根据折叠性质可得，再根据平行线的性质及，可得，由此即可求解；②由折叠可知，根据题意可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解．
（1）证明，
，
，
，
；
（2）解：①如图2，由折叠可知，
，
，
，
，
；
②如图3，由折叠可知，，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】解：（1）由平移可得，，，；
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
，，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移性质可知，从而可证，可得，由此即可求证；
②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．
1 / 1浙江省金华市浦江县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·浦江期末）如图，在墙面上安装某一管道需要经过两次拐弯，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数是（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据题意，拐弯后的管道与拐弯前的管道平行，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可解答.
2．（2024七下·浦江期末）已知是方程的一个解，则的值为(　　).
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得，，
故答案为：B.
【分析】把方程的解代入方程建立关于m的方程，解方程即可．
3．（2024七下·浦江期末）下列计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项的法则，积的乘方以及幂的乘方，同底数幂的除法逐一求解即可．
4．（2024七下·浦江期末）如图，在中，分别是的角平分线和高线，交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，
∵是的角平分线，是高，
∴，，
∵，
∴的值为，
故答案为：A ．
【分析】由三角形内角和定理可得，根据高的定义即可求出，再由角平分线的定义及角的和差运算即可求得答案.
5．（2024七下·浦江期末）已知，则分式的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：已知，则，
故答案为：D.
【分析】把x=2y代入计算即可求解．
6．（2024七下·浦江期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的应用；数形结合
【解析】【解答】解：图形的面积为：或：，
∴，
故答案为：B．
【分析】用两种不等的方法表示正方形的面积，即可得出答案.
7．（2024七下·浦江期末）已知，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
，，故A正确．
故答案为：A.
【分析】首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案．
8．（2024七下·浦江期末）某校708班数学老师将学生成绩分成三组，情况如表所示，则表格中的值为(　　)
第一组 第二组 第三组
频数 16 20
频率
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意，，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴的值为9，
故答案为：D.
【分析】基本关系：频率=频数÷总数，据此求解。
9．（2024七下·浦江期末）若关于的分式方程无解，则的值为(　　)
A．3或 B．3或 C．-3或 D．-3或
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
∵关于的分式方程无解，
∴且，或，
∴且，或，
当时，，
解得，，
∴的值为或，
故答案为：A .
【分析】根据解分式方程的方法“去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根”解出的值，再根据分式方程无解的概念即可求解．
10．（2024七下·浦江期末）如图，是由正方形①、④、⑤、⑥和长方形②、③无重合、无缝隙组成的一个长方形，若已知正方形⑥的边长，则下列各对图形的周长之差：①和②；①和④；③和④；④和⑤能计算的有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：如图所示，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，
∴正方形①的边长为，正方形⑤的边长为，正方形④的边长为，
∴长方形②的长为，长方形③的短边为，长边长为，
∴正方形①的周长为：；
长方形②的周长为：；
长方形③的周长为：；
正方形④的周长为：；
正方形⑤的周长为：；
∴①和②的周长之差为：；
①和④的周长之差为：；
③和④的周长之差为：；
④和⑤的周长之差为：；
∴若已知正方形⑥的边长，可得①和④，③和④，④和⑤的周长之差，共3对，
故答案为：C ．
【分析】
根据题意，设正方形⑥的边长为，长方程②的短边为，分别用含的式子表示出①③④⑤的边长，并求出各图形的周长，在分别求出①和②；①和④；③和④；④和⑤的周长之差，即可比较解答．
11．（2024七下·浦江期末）因式分解： 　 　.
【答案】(x+3y)(x-3y)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y).
故答案为：(x+3y)(x-3y).
【分析】观察原式形式可知刚好是平方差公式的形式，由平方差公式： 两个数的平方差等于两个数的和与这两个数的差的积，可对原式进行因式分解.
12．（2024七下·浦江期末）计算：　 　.
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：.
【分析】先把第二个分式的分母转化为x-1，再根据同分母分式的加减法的法则计算．
13．（2024七下·浦江期末）设，则代数式A、B的大小关系为：　 　B.(填“>”、“<”或“=”)
【答案】>
【知识点】多项式乘多项式；整式的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】先计算A-B，根据差与0的大小关系比较大小．
14．（2024七下·浦江期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则　 　．
【答案】200
【知识点】因式分解﹣公式法；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴．
故答案为：．
【分析】由数形结合思想，根据平方差公式和图形面积，即可求解.
15．（2024七下·浦江期末）如图，在中，角平分线交于点，已知：，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，作于点，过点作于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
【分析】过点作于点，作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得DE=DF，在根据等面积法，表示出△ABD和△ACD的面积，即可得出，由此即可求解．
16．（2024七下·浦江期末）如图2，是由形如图1所示的四块全等的直角三角形拼成的大正方形和小正方形．则：
（1）由可列等式：　 　+　 　；
（2）若，那么与之间的数量关系是　 　．
【答案】；；
【知识点】完全平方公式的几何背景；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：如图所示，
（1），
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：（1）；；（2） ．
【分析】（1）根据图形，分别表示几何图形的面积，进行计算，比较即可求解；
（2）列出面积关系等式，运用乘法公式变形即可得到与之间的数量关系.
17．（2024七下·浦江期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，最后算加减；
（2）根据多项式除以单项式的运算法则即可求解．
18．（2024七下·浦江期末）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由②得：③
把③代入①得，，
解得，，
把代入③得，，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得，，
①+②得，，
解得，，
把代入①得，，
则方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组，由②得：，代入①即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法解二元一次方程组，①+②即可消去y．
19．（2024七下·浦江期末）已知分式方程：，下框中是小明同学对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误在框内打，若解法错误，请给出正确解法．
小明： 解去分母，得 去括号，得 化简，得
你的解法：
【答案】解：原解法错误，打×；
去分母，得
去括号，得
移项，得
化简，得
经检验，是增根，应舍去，所以原方程无解；
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据分式方程的解法，先去分母将分式方程化成整式方程，在解整式方程，求出整式方程的解后检验是否为分式方程的解，按步骤判断原题解法即可解答.
20．（2024七下·浦江期末）2024年6月6日，嫦娥六号上升器圆满完成了月球样品容器转移，返回器正踌躇满志地踏上归途，近期，某中学举行了以“航天精神”为主题的知识竞赛活动，赛后整理统计部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为（优秀）、（良好）、（及格）、（不及格）四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2），但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）整理统计参赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，的值为______；
（2）补全条形统计图；
（3）如果全校有1800名学生，请计算全校“航天精神”知识竞赛成绩为良好及以上的学生大约有多少人？
（4）请你对此次竞赛活动的学生成绩做一个评价．
【答案】（1），
（2）
（3）解：（人），∴全校“航天精神”知识竞赛成绩为良好及以上的学生大约有人；
（4）解：A等级有30人，占比为，∴此次“航天精神”知识竞赛半数以上的同学掌握情况良好，但仍需要加大宣传，让更多的同学理解并掌握“航天精神”知识的内容．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：A等级有30人，占比为，
∴（人），
C等级有15人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）
解：B等级的人数为（人），
∴补全条形图如下，
【分析】
（1）根据条形统计图和扇形统计图中，A等级的人数和百分比即可求解；
（2）根据各等级的人数及抽样总人数，可计算出B等级的人数，即可解答；
（3）运用样本百分比估算总体数量的方法即可求解；
（4）根据调查数据作决策，合情合理即可．
（1）解：A等级有30人，占比为，
∴（人），
C等级有15人，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：B等级的人数为（人），
∴补全条形图如下，
（3）解：（人），
∴全校“航天精神”知识竞赛成绩为良好及以上的学生大约有人；
（4）解：A等级有30人，占比为，
∴此次“航天精神”知识竞赛半数以上的同学掌握情况良好，但仍需要加大宣传，让更多的同学理解并掌握“航天精神”知识的内容．
21．（2024七下·浦江期末）一个长方形的长、宽分别为，如果将长方形的长和宽分别增加和．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少？
（2）若，求长方形增加的面积．
（3）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求的值．
【答案】（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，∴；
（3）解：∵，∴，
∴
；
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】
（1）根据题意，分别表示出新的长方形与原长方形的面积，再作差即可；
（2）把代入（1）中的代数式，再计算即可；
（3）由“新长方形的面积是原长方形面积的2倍”整理可得，再计算，最后整体代入即可；
（1）解：依据面积公式得，新长方形的面积为；
原长方形的面积为
所以；
（2）解：当时，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
；
22．（2024七下·浦江期末）依据素材，解答问题．
方案设计
材料一 随着杭温高铁建设的顺利进行，我县正在迈向更加美好的明天．这一高铁项目的建成通车，将为我县居民带来更多便利和机遇，也必将成为当地发展的新引擎，为本地注入新的活力和动力．
材料二 某企业承接了为高铁建设配套的28000个集成套件的生产任务，计划安排给、两个车间共60人，合作20天完成．已知车间每人每天平均可以生产20个集成套件，车间每人每天平均以生产25个集成套件．
材料三 高铁建设项目指挥部要求企业提前完成生产任务，该企业计了两种方案： 方案1：车间改进生产方式，每个工人提高工作效率车间工作效率保持不变． 方案2：车间再到其他企业调配若干名与车间工作效率一样的工人，车间的工作效率保持不变．
问题解决
任务一 求A、B两个车间参与生产的集成套件的工人人数各是多少．
任务二 若材料三中设计的两种生产方案，企业完成生产任务的时间相同，求B车间需要到其他企业调配的工人数量．
【答案】解：任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，
根据题意可列方程：
解得，
答：车间参与生产的工人有20人，车间参与生产的工人有40人；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意可列方程：
，
解得，
经检验，是该方程的解，
答：车间需要到其他企业调配8人．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【分析】
任务一：设A车间参与生产的工人有人，则车间参与生产的工人有人，根据数量关系列方程求解即可；
任务二：设车间需要到其他企业调配a人，根据题意列分式方程求解即可．
23．（2024七下·浦江期末）如图，直线，直线与直线相交于点，已知，点是射线上的一个动点（不包括端点）．
（1） 点是直线上点右侧一点，且．当时，求证：．
（2）若将沿折叠，使顶点落在点处．
①若点刚好在直线上，求：的度数．
②若点落在两平行线之间，且，求：的度数．
【答案】（1）证明，
，
，
，
；
（2）解：①如图2，由折叠可知，
，
，
，
，
；
②如图3，由折叠可知，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质的应用-折叠问题
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质及判定即可证明结论；
（2）①根据折叠性质可得，再根据平行线的性质及，可得，由此即可求解；②由折叠可知，根据题意可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解．
（1）证明，
，
，
，
；
（2）解：①如图2，由折叠可知，
，
，
，
，
；
②如图3，由折叠可知，，
，
，
，
，
，
．
24．（2024七下·浦江期末）一、知识回顾
（1）三角形中线性质：三角形的中线能够把三角形面积分成相等的两个部分．
（2）图形的平移性质：图形的平移不改变图形的形状和大小；一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等．
二、知识应用
如图1，把沿着射线方向平移到，线段与交于点．
（1）若，求的度数．
（2）若点为的中点，的面积为8．
①求证：点是的中点．
②求的面积．
三、知识拓展
（3）如图2，把沿着射线方向平移到，线段与交于点，点为的中点，与交于点，若，时，求的面积．
【答案】解：（1）由平移可得，，，；
（2）①证明：连结，由平移可知，，
，
，，
，
，
，即点是中点；
②连结，
是中点，
，
是中点，
，
；
（3）连结，
∵为中点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）根据平移的性质及三角形内角和定理即可求解；
（2）①由平移性质可知，从而可证，可得，由此即可求证；
②是中点，是中点，根据中线的性质可得，，由此即可求解；
（3）连结，根据为中点，结合中位线的性质可得，，根据，可得，由即可求解．
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