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黑龙江省龙东地区2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12
6．的三边长分别是a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点连接AF，BF，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF的长是 （ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，在上，在的延长线上，，连接、、，交对角线于点，为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．若使二次根式有意义，则a 的取值范围是 ．
12．如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．
13．若，则的值为 ．
14．如图，中，，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为、、已知，， ．
15．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为 ．
16．如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是 ．
18．如图，在中，，点P是上的任意一点，作于点D，于点E，连接，则的最小值为 ．
19．如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发以的速度，沿长方形的边运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为 ．
20．如图，矩形的面积为12，对角线交于点：以，为邻边作平行四边形对角线交于点；以，为邻边作平行四边形，对角线交于点；…，依此类推，则平行四边形的面积为 ．
三、解答题
21．计算：
(1)；
(2)．
22．先化简，再求值：，其中．
23．如图，内部有一点D，且．

(1)判断的形状；
(2)求四边形的面积．
24．已知：如图，是的角平分线，过点D分别作和的平行线交于点E，交于点F．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，试求四边形的面积．
25．如图，在矩形中，点E，O分别为的中点，过点A作交EO的延长线于点F，连接交于点G．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，且，求的长．
26．阅读下面的材料，然后解答问题：
，①
，②
③
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．④
(1)化简：__________，_________；
(2)参照③式化简：；
(3)参照④式化简：．
27．在平行四边形中．，点在边所在直线上，，垂足为，垂足为，垂足为．请解答下列问题：
(1)当点在的延长线上时，如图①，求证：；
(2)当点在线段上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需证明．
28．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的边在轴上，在轴上，且的长满足，是的中点，过点和点作直线，直线沿直线以每秒2个单位长度的速度由点向点平移，到点停止．设直线平移的时间为秒，直线在平移过程中扫过矩形的面积为．
(1)求出点的坐标；
(2)求与的函数关系式；
(3)在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
黑龙江省龙东地区2024-2025学年下学期八年级数学期中考试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B C B B A D
1．D
【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
2．C
【详解】解：A、∵，
∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意；
B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
C、∵，
∴6，8，10是勾股数，符合题意；
D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
3．D
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【详解】解：由数轴得，
∴
，
故选：A
5．B
【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．
当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，
如图所示：
此时，AB＝＝＝13cm，
∴h＝24﹣13＝11cm．
∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm．
故选：B．
6．C
【详解】解：A、∵∠A=∠B-∠C，
∴∠B=∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴2∠B=180°，
解得∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
B、∵a：b：c=5：12：13，
设a=5x，b=12x，c=13x，
∴a2+b2=169x2=c2，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=75°，
∴△ABC是锐角三角形，所以此选项符合题意；
D、∵a2=（b+c）（b-c），
∴a2=b2-c2，
∴a2+c2=b2，
∴△ABC是直角三角形，所以此选项不符合题意；
故选：C．
7．B
【详解】解：在直角三角形中，．
∴点表示的数为．
故选：B．
8．B
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=4，
∵BC= 14，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=7，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B
9．A
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48，
∴BD=16，
∵DH⊥AB，BO=DO=8，
∴OH=BD=4．
故选：A．
10．D
【详解】解：正方形中，，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，故①正确；
，
正方形，为对角线，
，
，，，
，故②正确；
连接、，
是的中点，、是直角三角形，
，
又，
直线是的垂直平分线，故③正确；
过点作于，则，
是的中点，，，
是的中位线，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选：D．
11．
【详解】∵二次根式有意义
∴
∴．
故答案为：．
12．（答案不唯一）
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形．
故答案为：（答案不唯一）．
13．
【详解】解：∵m=，n=，
∴(m+n)2=()2=12，
mn=()()=2，
∴=．
故答案为：．
14．100
【详解】解：∵，
∴，
∴，即．
故答案为：100．
15．16
【详解】解：过点作于，于，则，
∵两张纸条的对边平行，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
在中，，，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：16．
16．10
【详解】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：10．
17．
【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，
∵点的坐标是，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴点坐标为，
故答案为：．
18．
【详解】解：中，，，，
，
连接，
∵于点，于点，
四边形是矩形，
，
当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，
．
故答案为：．
19．3秒或8秒或26秒
【详解】解：在长方形中，，，
①当点P在上时，是等腰三角形，
∴，
在长方形中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点P在上时，是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
③当点P在上时，是等腰三角形，
∵，
∴，
∴（秒），
综上所述，秒或8秒或26秒时，是等腰三角形．
故答案为：3秒或8秒或26秒．
20．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴S矩形ABCD，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
21．(1)4
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．，
【详解】解：
，
当时，
原式．
23．(1)直角三角形
(2)24
【详解】（1）∵.
在中，根据勾股定理得：
则，
∵
∴
则是直角三角形；
（2）
则四边形面积为24．
24．(1)见解析
(2)24
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图所示，连接，与交于点O，
∵四边形是菱形，
∴互相垂直且平分，
∴，
根据勾股定理得，
∴，
∴四边形的面积．

25．(1)见解析
(2)3
【详解】（1）证明：在矩形中，．
点，分别为，的中点，
，即．
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：连接．
由（1）得，四边形为平行四边形，
，，
，，
，
．
，
．
为斜边上的中线，
，即为等边三角形．
，
．
26．(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）解：；
；
故答案为：；；
（2）解：
；
（3）解：
．
27．(1)见解析
(2)当点E在线段上时，；当点E在延长线上时，．
【详解】（1）解：如图，过点G作延长线于N，
∵是平行四边形，则，
又，则是等边三角形，
∴，
∵，，则，
∴，
∵，则，
∵，
∴，
∵，则是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点E在线段上时，
如图，过点G作延长线于N，
是等边三角形，则，
又，，则，
∴，
∵，则，
又，则，
∵，则是矩形，
∴，
∴；
当点E在延长线上时，如图，过点G作于N，
是等边三角形，则，
∵，，则，
∴，
∵，则，
∵，
∴，
∵，则是矩形，
∴，
∴．
28．(1)点的坐标为；
(2)；
(3)点的坐标为或或．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵是的中点，
∴，
当时，如图，四边形是平行四边形，且，
；
当时，如图，交于点，四边形是平行四边形，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
综上，；
（3）解：当是对角线时，
∴，，
∴点的坐标为；
当是对角线时，
∴，，
∴点的坐标为；
当是对角线时，设平行四边形的中心为，
∴，，
∴点的坐标为；
∵点的坐标为，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．

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