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内蒙古自治区乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年八年级下学期5月期中学科素养评价数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式化简后，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，有一根电线杆在离地面处的A点断裂，此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点远的地方，则此电线杆原来长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（ ）
A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形
5．在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（ ）
A．北偏西方向 B．南偏西方向
C．北偏西方向 D．南偏西方向
6．如图，在正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，已知，，则留下的阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．2 C．14 D．
8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点P是对角线BD上一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别是点E、F，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则PE+PF的长为（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题
9．在中，，则的度数为 ．
10．如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）．
11．定义新运算：对于任意实数a、b，都有．
例如：，则的值为 ．
12．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线l上，且，，给出下列结论：①，②，③△COF的面积，④，其中正确的是 ．
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)．
14．问题情境：
学行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上．

问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．
小明：当时，四边形是平行四边形．
理由如下：
，
．
即．
∴．
∵四边形是平行四边形，
．（依据1）
又，
．
．
∴四边形是平行四边形．（依据2）
问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．
小红：当时，四边形是平行四边形．
理由如下：……
数学思考：
（1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”；
依据1：__________________；
依据2：__________________．
（2）请你帮助小红写出问题2的证明过程．
15．如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4，
(1)求OC的长；
(2)求BD的长．
16．如图1，在ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，，．
(1)求证：四边形BFCE是矩形；
(2)如图2，连接EF与BC交于点O，当四边形ABCD是矩形时，试判断EF与BC关系，并说明理由．
17．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则．
(1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答；
(2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？
(3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值．
18．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”．
(1)现有下列四边形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．其中，一定是“神奇四边形”的是 ；（填序号）
(2)如图1，在正方形中，E为边上一点，连接．过点B作，垂足为H，交于点G．连接、．
①求证：四边形是“神奇四边形”；
②如图2，M、N、P、Q分别是、、、的中点，试判断四边形是不是“神奇四边形”，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形的边、上．把正方形沿直线折叠，使的对应边恰好经过点A．上的点E是点A关于的对称点．连接，交于点O．若，正方形的边长为6，求线段的长．
内蒙古自治区乌兰察布市初中联盟校2024-2025学年八年级下学期5月期中学科素养评价数学试题
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B C A B D
1．C
【详解】A．与不能合并，不符合题意；
B．与不能合并，不符合题意；
C．与能合并，符合题意；
D．与不能合并，不符合题意；
故选：C．
2．C
【详解】解：∵点D，E，分别为的中点，
∴为的中位线，
∴；
故选：C．
3．D
【详解】解：由题意可得：在中，，，
∴，
故这根高压电线杆断裂前高度为：．
故选：D．
4．B
【详解】解：如图，
∵两组对边的长度分别相等，，，
∴四边形为平行四边形，
又∵测量它们的两条对角线相等，，
∴平行四边形为矩形．
故选择B．
5．C
【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，
，
所以，
在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图：
，
，
则灯塔O位于渔船B的北偏西方向，
故选：C．
6．A
【详解】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形关于对称，
∴，
故选：A．
7．B
【详解】解：从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，
则留下的阴影部分的面积为，
，，
则留下的阴影部分的面积为，
故选：B．
8．D
【详解】解：∵四边形是菱形
∴，
OA＝4，S菱形ABCD＝24，
即
中，
连接
PE⊥AB，PF⊥AD，
S菱形ABCD＝24，
故选D
9．/90度
【详解】解：在平行四边形中，
，
，
故答案为：．
10．没有变形
【详解】解： 和的长分别为和，又测得点A与点C间的距离为，
，
，
则小红家的木门没有变形，
故答案为：没有变形．
11．
【详解】解：
，
故答案为：．
12．①③/③①
【详解】解：∵正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，
∴△OEF是等腰直角三角形，∠DOE＝45°，∠COE＝∠AOC＝90°，OA＝AB＝6，
∴，∠COD＝∠COE﹣∠DOE＝45°，
∴ OE＝EF＝4，
故①正确，
∴AE＝OA+OE＝6+4＝10，
故②错误；
作FG⊥CO交CO延长线于G，连接DF交OE于M，作DH⊥AB于H，如图所示：
则∠ FMO＝∠MOG＝∠ G＝90°，∠AHD＝∠OAH＝∠DMO＝90°，
∴四边形MFGO是矩形，四边形AHDM是矩形，
∵∠MOF＝45°，
∴△MOF是等腰直角三角形，
∴MO＝MF，
∴四边形MFGO是正方形，
∴OG＝FG＝OM＝OE＝2，AH＝DM＝DF＝OE＝2，DH＝AM＝OA+OM＝6+2＝8，
∴S△COF＝×CO×FG＝6，
故③正确；
∵CG＝OC+OG＝6+2＝8，
∴CF＝，
∵BH＝AB﹣AH＝4，
∴BD＝，
∴CF≠BD，
故④错误；
故答案为：①③．
13．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．（1）平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）证明过程见解析
【详解】解：（1）依据1：平行四边形的对角线互相平分；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
15．(1)20
(2)8
【详解】（1）解：在Rt△AOB中，
由勾股定理得，OA＝，
∵AC＝4．
∴OC＝OA﹣AC＝24﹣4＝20；
（2）解：在Rt△COD中，
由勾股定理得，OD＝，
∴BD＝OD﹣OB＝15﹣7＝8．
16．(1)见解析
(2)EF⊥BC，EF＝BC，理由见解析
【详解】（1）解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC， ∠ECB＝∠BCD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠EBC＋∠ECB＝（∠ABC＋∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠BEC＝90°，
又∵BFCE，CFBE，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴平行四边形BFCE是矩形；
（2）EF与BC关系为 EF⊥BC，EF＝BC ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠BCD＝45°，
∴ BE＝CE，
由（1）得：四边形BFCE是矩形，
∴四边形BFCE是正方形，
∴EF⊥BC，EF＝BC．
17．(1)见解析
(2)新路比原路少0.5千米
(3)
【详解】（1）解：，
∴梯形的面积为或，
，
，
即，
（2）解：设千米，则千米，
在中，，
即，解得：，即，
（千米），
答：新路比原路少千米，
（3）解：由题得，，
在中，，
在中，，
，
即，解得：．
18．(1)④
(2)①见解析；②是“神奇四边形”，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“神奇四边形”，
故答案为：④；
（2）①证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是“神奇四边形”；
②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下：
，为，的中点，
为的中位线，
，，
同理：，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
四边形是“神奇四边形”；
（3）解：如图3，延长交于，
由翻折的性质可知，，，，，
四边形是正方形，边长为6，
，，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即线段的长为．

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