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浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·拱墅期末）如图所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·拱墅期末）下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·拱墅期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·拱墅期末）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·拱墅期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·拱墅期末）小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是（　　）
A．样本容量是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．中位数是4
7．（2024八下·拱墅期末）若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．图象一定不经过 B．图象一定经过
C．图象一定经过 D．图象一定经过
8．（2024八下·拱墅期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024八下·拱墅期末）二次函数（为常数，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·拱墅期末）如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（　　）
A．的长 B．矩形的面积
C．的面积 D．的度数
11．（2024八下·拱墅期末）请写出一个的值：　 　，使二次根式在实数范围内有意义．
12．（2024八下·拱墅期末）六边形的内角和等于　 　度．
13．（2024八下·拱墅期末）学校男子篮球队的10位队员的身高如表：
身高（单位：cm） 176 177 179 180
人数 1 4 3 2
这10位队员身高的中位数是　 　．
14．（2024八下·拱墅期末）在二次函数中，当时，则的取值范围是　 　．
15．（2024八下·拱墅期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则　 　度．
16．（2024八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是　 　．
17．（2024八下·拱墅期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·拱墅期末）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024八下·拱墅期末）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为______；
（2）将表格补充完整．
班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 ______ 90 ______
二班 87 ______ 80
（3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．
20．（2024八下·拱墅期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
（1）若与是关于6的美好二次根式，求的值：
（2）若与是关于的美好二次根式，求和的值．
21．（2024八下·拱墅期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t-5t2 ，
（1）经过多少秒足球重新回到地面？
（2）经过多少秒足球的高度为15米？
22．（2024八下·拱墅期末）在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点．
（1）若时，求的度数：
（2）设，
①当时，求的长；
②用含的代数式表示．
23．（2024八下·拱墅期末）已知反比例函数．
（1）若点，都在该反比例函数图象上，
①求的值；
②当时，求的取值范围；
（2）若点，都在该反比例函数图象上，且，，，小浙同学说“此时不能判断与的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到”，你认为谁的说法正确，请说明理由．
24．（2024八下·拱墅期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，当时，是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
B、，分母中含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
C、，含有两个未知数，是二元二次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义"只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程"并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.≠-2，原等式不成立，此选项不符合题意；
B.≠2，原等式不成立，此选项不符合题意；
C.和不是同类二次根式，不能合并，原等式不成立，此选项不符合题意；
D.，原等式成立，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的减法和二次根式的除法运算法则计算各选项，依次判断即可求解．
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意，应假设，
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，从而推出与已知条件（或已学过的性质等）相矛盾的结论，于是可得原假设不成立，原命题得证．
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a=1，b=-2，c=3，
∴，
方程没有实数根，此选项不符合题意；
B、∵a=1，b=6，c=9，
∴，
方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
C、∵a=4，b=-3，c=-2，
∴，
方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意；
D、∵a=3，b=-1，c=2，
∴，
方程没有实数根，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由题意分别求出每个方程中判别式b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、由方差计算公式可知，这组数据为6、5、5、4，
∴这组数据一共有4个，即样本容量为4，说法正确，此选项符合题意；
B、∵5出现了2次，出现的次数最多，
∴众数为5而不是4，此选项不符合题意；
C、平均数为≠4，此选项不符合题意；
D、∵处在最中间的两个数分别为5和5，
∴中位数是≠4，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据方差计算公式可得这组数据为4、5、5、6，然后根据这组数据分别求出这组数据的平均数，众数，中位数和样本容量，再结合各选项即可判断求解．
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，
图象一定不经过，此选项不合题意；
B、反比例函数的图象经过点，
，
，
当时，则，
图象一定经过，此选项不符合题意；
C、把代入，得，此选项符合题意；
D、把代入，得，图象一定经过，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】把各选项中的点的坐标代入反比例函数的解析式计算，然后根据计算结果和反比例函数图象上点的坐标特征即可判断求解．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A.由图知：抛物线开口向上，则，对称轴在y轴左侧，，与轴的交点在y轴的正半轴，故此选项符合题意；
B.抛物线开口向上，则，对称轴在y轴左侧，，与轴的交点在y轴的负半轴，而，所以与轴的交点应该在y轴的正半轴，故此选项不符合题意；
C.抛物线开口向上，则，对称轴在y轴右侧，而对称轴，对称轴应该在y轴的左侧，故此选项不符合题意；
D.抛物线开口向上，则，对称轴在y轴右侧，而对称轴，对称轴应该在y轴的左侧，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系：开口向上；开口向下；抛物线的对称轴为直线＜0在y轴左侧，a、b同号，对称轴为直线＞0在y轴左侧，a、b异号；抛物线与轴的交点在y轴的正半轴时，c＞0，抛物线与轴的交点在y轴的负半轴时，c＜0，结合各图象依次判断各选项即可求解．
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，
∴∠FMD=∠GAD，
设，，
∵平分，
∴∠FAD=∠GAD，
∴∠FAD=∠FMD，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，则，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，由平行线的性质可得∠FMD=∠GAD，设，，由角平分线的性质可得∠FAD=∠FMD，由等角对等边得，根据等腰三角形的三线合一可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，根据同底等高的两个三角形的面积相等可得，由此计算即可求解．
11．【答案】2024
【知识点】二次根式有意义的条件
12．【答案】720
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（6﹣2） 180=720度，则六边形的内角和等于720度．
【分析】可利用多边形内角和公式(n-2)180° .
13．【答案】178
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵学校男子篮球队有10位队员，∴第五、第六位队员的身高的平均数就是这组数据的中位数，
而第五、第六位队员的身高分别是177，179，
位队员身高的中位数是，
故答案为：178．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合统计表中的数据计算即可求解．
14．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴a=-1＜0，函数图象开口向下，且当函数y有最大值为4，
∴当时，y=-(0-1)2+4=3，当时，y=-(3-1)2+4=0，
∵，
∴y的取值范围为，
故答案为：．
【分析】由题意，先将二次函数的解析式配成顶点式，根据题二次函数的性质可得当函数y有最大值为4，然后分别把x=0和3代入解析式计算求出y的值，可得y的取值范围．
15．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
四边形是菱形，
，，
设，
垂直对角线，
，
，
由折叠的性质知，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：72．
【分析】由菱形的性质得到，并得到，根据平行线的性质及折叠的性质得出角的关系，由平角的定义列出等式解方程即可解答.
16．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知：当或时．
故答案为：或．
【分析】y1＞y2，就是y1的图象高于y2的图象所对应的x的范围，观察函数图象并结合两图象的交点A的坐标即可求解．
17．【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式
=.
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式乘法计算法则和二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式和二次根式乘法计算法则计算即可求解．
18．【答案】（1）解：，
∴，
∴，
解得：.
（2）解：，
，
，
∴x+1=0，x-1=0，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法（完全平方公式）计算即可求解；
（2）利用因式分解法（提公因式）计算即可求解．
19．【答案】（1）18
（2）87；90；85
（3）解：选一班级参加市知识竞赛.
理由如下：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看：一班的中位数大于二班的中位数，一班的众数大于二班的众数，所以一班成绩好（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由条形图可知：A级有3人，B级有10人，C级有5人，
∴一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为：（人），
故答案为：；
（2）解：由题意可得：一班成绩的平均分为：（分）；
∵一班成绩中90分出现了10次，次数最多，
∴一班成绩的众数为：90（分）；
∵一班抽取的学生人数为：3+10+5+2=20（人），
∴二班抽取的学生人数20（人），
∵二班成绩中A级的百分数为30%，B级的百分数为20%，C级的百分数为40%，D级的百分数为10%，
∴二班成绩中为A级的人数为：（人），
B级的人数有：（人）；
C级的人数有：（人）；
D级的人数有：（人），
把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，处于第10位、第11位的两个成绩分别为：90分、80分，
∴二班成绩的中位数为：（分），
补充表格如下：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 87 90 90
二班 87 85 80
【分析】（1）根据条形图可知A、B、C级的频数，将A、B、C的频数相加即可求解；
（2）众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；分别根据平均数、众数和中位数的定义并结合题意即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数的大小分析即可求解．（答案不唯一）
20．【答案】（1）解：∵m与是关于6的美好二次根式，
∴m·=6，
解得：m=.
（2）解：∵与是关于n的美好二次根式，
∴()·()=n，
∴4-3m+(m-4)=n，
∵n是有理数，
∴，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算
21．【答案】（1）解：当h=0时，足球重新回到地面 即20t-5t2=0，解得
∴经过4秒足球重新回到地面
（2）解：当20t-5t2=15时，
解得
∴经过1秒或者3秒足球的高度为15米．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）当h=0时，求出t的值即可；
（2）根据高度为15米，当h=15时，解方程即可．
22．【答案】（1）解：∵由题意得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴AD=AB，
∴，
又∵，
∴=∠ABD，
设=，
∵∠AEB是三角形ADE的一个外角，
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE=2x，
而在△ABE中，
，
∴，
解得，
∴=.
（2）解：①过点B作于点M，连接交于点O，如图：
∵和是菱形对角线，
∴，且，
∵，，，
，
又∵，BM⊥AE，
，
在Rt△中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
，
的长为；
②过点B作于点M，连接交于点O，如图：
∵和是菱形对角线，
∴，且，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由作图可得，由等边对等角得，根据菱形的性质，又，，设，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，根据，在直角三角形和直角三角形AOB中，根据勾股定理和三角形的面积可求出、AO、BO的值，然后由即可求解；
②过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，在直角三角形中，用勾股定理可将BM用含k的代数式表示出来，根据三角形ABE的面积的两种求法可得关于AO的方程，解方程可将AO用含k的代数式表示出来，在直角三角形AOB和直角三角形AOE中，用勾股定理可将BO、OE用含k的代数式表示出来，根据线段的构成计算即可求解.
23．【答案】（1）解：①∵点，都在该反比例函数图象上，
∴，
解得：.
②由①知：k=3＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=3，
∴当x＞1时，y的取值范围为：0＜y＜3.
（2）小江同学说法正确，理由如下：
由已知条件可知：k＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当x1＞1时，y1的取值范围为：0＜y1＜k，
∵x1＞1，x1+x2＜0，
∴x2＜-1，
当x2=-1时，y=，
∴当x2＜-1时，y2的取值范围为：-k＜y2＜0，
∴y1-y2＜2k.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）①由题意，把点，代入反比例函数的解析式可得关于a、k的方程组，解方程组即可求解；
②由题意。把代入①中求得的解析式可求得y的值，然后根据反比例函数的性质“k＞0时，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小”可求解；
（）根据反比例函数的性质“k＞0时，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小”可得：当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，即可求得.
24．【答案】（1）证明：如图，作于，于，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠ACD=∠ACB=45°，∠BCD=90°，
∴EQ=EP，四边形PCQE是矩形，
∴∠PEQ=90°=∠QEF+∠PEF，∠PEF+∠PED=90°，
∴∠QEF=∠PED，
在△EQF和△EPD中
∴△EQF≌△EPD（ASA）
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形.
（2）解：由（1）知：矩形DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，DE=DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠EDC+∠CDG=∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG（SAS）
∴CG=AE，
在Rt△ABC中，AB=BC=3，
∴AC=，
∵CE=，
∴AE=AC-CE=，
∴CG=AE=.
（3）解：由题意可分两种情况：
①当DE与AD的夹角∠ADE=30°时，如下图：
∴∠EDC=90°-30°=60°，
在四边形DEFC中，∠FED+∠EDC+∠DCF+∠EFC=360°，
∴∠EFC=360°-∠FED-∠EDC-∠DCF=360°-60°-90°-90°=120°；
②当DE与DC的夹角∠CDE=30°时，过作EM⊥BC于点，过作EN⊥CD于点，如下图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，
∴EN=CN，
∴四边形CNEM是正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠FEN=∠MEF+∠FEN=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA）
∴∠EFC=∠EDC=30°.
综上可得：∠EFC=120°或30°.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（）作于，于，由同角的余角相等可得∠QEF=∠PED，结合正方形的性质，用角边角可证，于是由全等三角形的对应边相等可得，然后根据正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可得证；
（）同理可证∠CDG=∠ADE，结合正方形的性质，用边角边可证△ADE≌△CDG，于是由全等三角形的对应边相等可得CG=AE，在Rt△ABC中，用勾股定理可求出AC的值，根据线段的构成AE=AC-CE可求出AE的值，然后根据CG=AE可求解；
（）由题意可分两种情况讨论：①当DE与AD的夹角∠ADE=30°时，在四边形DEFC中，由四边形的内角和等于360°可求解； ②当DE与DC的夹角∠CDE=30°时，过作EM⊥BC于点，过作EN⊥CD于点，由题意，用角边角可证△DEN≌△FEM，于是∠EFC=∠EDC可求解.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·拱墅期末）如图所示图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
2．（2024八下·拱墅期末）下列方程中，一定是关于的一元二次方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、，当时，是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
B、，分母中含有未知数，是分式方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
C、，含有两个未知数，是二元二次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意；
D、，是一元二次方程，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程的定义"只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程"并结合各选项即可判断求解．
3．（2024八下·拱墅期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】A.≠-2，原等式不成立，此选项不符合题意；
B.≠2，原等式不成立，此选项不符合题意；
C.和不是同类二次根式，不能合并，原等式不成立，此选项不符合题意；
D.，原等式成立，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的减法和二次根式的除法运算法则计算各选项，依次判断即可求解．
4．（2024八下·拱墅期末）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意，应假设，
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，从而推出与已知条件（或已学过的性质等）相矛盾的结论，于是可得原假设不成立，原命题得证．
5．（2024八下·拱墅期末）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵a=1，b=-2，c=3，
∴，
方程没有实数根，此选项不符合题意；
B、∵a=1，b=6，c=9，
∴，
方程有两个相等的实数根，此选项不符合题意；
C、∵a=4，b=-3，c=-2，
∴，
方程有两个不相等的实数根，此选项符合题意；
D、∵a=3，b=-1，c=2，
∴，
方程没有实数根，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由题意分别求出每个方程中判别式b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可判断求解.
6．（2024八下·拱墅期末）小浙同学将一组数据准确地代入方差公式：．下列对这组数据的描述正确的是（　　）
A．样本容量是4 B．众数是4 C．平均数是4 D．中位数是4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、由方差计算公式可知，这组数据为6、5、5、4，
∴这组数据一共有4个，即样本容量为4，说法正确，此选项符合题意；
B、∵5出现了2次，出现的次数最多，
∴众数为5而不是4，此选项不符合题意；
C、平均数为≠4，此选项不符合题意；
D、∵处在最中间的两个数分别为5和5，
∴中位数是≠4，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据方差计算公式可得这组数据为4、5、5、6，然后根据这组数据分别求出这组数据的平均数，众数，中位数和样本容量，再结合各选项即可判断求解．
7．（2024八下·拱墅期末）若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是（　　）
A．图象一定不经过 B．图象一定经过
C．图象一定经过 D．图象一定经过
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、反比例函数的图象与坐标轴没有交点，
图象一定不经过，此选项不合题意；
B、反比例函数的图象经过点，
，
，
当时，则，
图象一定经过，此选项不符合题意；
C、把代入，得，此选项符合题意；
D、把代入，得，图象一定经过，此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】把各选项中的点的坐标代入反比例函数的解析式计算，然后根据计算结果和反比例函数图象上点的坐标特征即可判断求解．
8．（2024八下·拱墅期末）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
9．（2024八下·拱墅期末）二次函数（为常数，且）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】A.由图知：抛物线开口向上，则，对称轴在y轴左侧，，与轴的交点在y轴的正半轴，故此选项符合题意；
B.抛物线开口向上，则，对称轴在y轴左侧，，与轴的交点在y轴的负半轴，而，所以与轴的交点应该在y轴的正半轴，故此选项不符合题意；
C.抛物线开口向上，则，对称轴在y轴右侧，而对称轴，对称轴应该在y轴的左侧，故此选项不符合题意；
D.抛物线开口向上，则，对称轴在y轴右侧，而对称轴，对称轴应该在y轴的左侧，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系：开口向上；开口向下；抛物线的对称轴为直线＜0在y轴左侧，a、b同号，对称轴为直线＞0在y轴左侧，a、b异号；抛物线与轴的交点在y轴的正半轴时，c＞0，抛物线与轴的交点在y轴的负半轴时，c＜0，结合各图象依次判断各选项即可求解．
10．（2024八下·拱墅期末）如图，在矩形中，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，若要知道的面积，则需要知道（　　）
A．的长 B．矩形的面积
C．的面积 D．的度数
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，
∴∠FMD=∠GAD，
设，，
∵平分，
∴∠FAD=∠GAD，
∴∠FAD=∠FMD，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，则，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】过点作FM∥，交的延长线于M，交的延长线于点，连接，由平行线的性质可得∠FMD=∠GAD，设，，由角平分线的性质可得∠FAD=∠FMD，由等角对等边得，根据等腰三角形的三线合一可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等可得，根据同底等高的两个三角形的面积相等可得，由此计算即可求解．
11．（2024八下·拱墅期末）请写出一个的值：　 　，使二次根式在实数范围内有意义．
【答案】2024
【知识点】二次根式有意义的条件
12．（2024八下·拱墅期末）六边形的内角和等于　 　度．
【答案】720
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（6﹣2） 180=720度，则六边形的内角和等于720度．
【分析】可利用多边形内角和公式(n-2)180° .
13．（2024八下·拱墅期末）学校男子篮球队的10位队员的身高如表：
身高（单位：cm） 176 177 179 180
人数 1 4 3 2
这10位队员身高的中位数是　 　．
【答案】178
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：∵学校男子篮球队有10位队员，∴第五、第六位队员的身高的平均数就是这组数据的中位数，
而第五、第六位队员的身高分别是177，179，
位队员身高的中位数是，
故答案为：178．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合统计表中的数据计算即可求解．
14．（2024八下·拱墅期末）在二次函数中，当时，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴a=-1＜0，函数图象开口向下，且当函数y有最大值为4，
∴当时，y=-(0-1)2+4=3，当时，y=-(3-1)2+4=0，
∵，
∴y的取值范围为，
故答案为：．
【分析】由题意，先将二次函数的解析式配成顶点式，根据题二次函数的性质可得当函数y有最大值为4，然后分别把x=0和3代入解析式计算求出y的值，可得y的取值范围．
15．（2024八下·拱墅期末）如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则　 　度．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
四边形是菱形，
，，
设，
垂直对角线，
，
，
由折叠的性质知，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：72．
【分析】由菱形的性质得到，并得到，根据平行线的性质及折叠的性质得出角的关系，由平角的定义列出等式解方程即可解答.
16．（2024八下·拱墅期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数的图象交于点．若，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由图可知：当或时．
故答案为：或．
【分析】y1＞y2，就是y1的图象高于y2的图象所对应的x的范围，观察函数图象并结合两图象的交点A的坐标即可求解．
17．（2024八下·拱墅期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
=
=.
（2）解：原式
=.
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式乘法计算法则和二次根式的性质“、”计算即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式和二次根式乘法计算法则计算即可求解．
18．（2024八下·拱墅期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，
解得：.
（2）解：，
，
，
∴x+1=0，x-1=0，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据因式分解法（完全平方公式）计算即可求解；
（2）利用因式分解法（提公因式）计算即可求解．
19．（2024八下·拱墅期末）学校将以班级为单位选拔参加市知识竞赛，在预赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如图的统计图．
请你根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次竞赛中，一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为______；
（2）将表格补充完整．
班级成绩 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 ______ 90 ______
二班 87 ______ 80
（3）请根据你在（2）中所求的统计量，你认为选哪个班级参加市知识竞赛？请简述理由．
【答案】（1）18
（2）87；90；85
（3）解：选一班级参加市知识竞赛.
理由如下：从平均数的角度看两班成绩一样；从中位数和众数的角度看：一班的中位数大于二班的中位数，一班的众数大于二班的众数，所以一班成绩好（答案不唯一）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由条形图可知：A级有3人，B级有10人，C级有5人，
∴一班成绩在C级以上（包括C级）的人数为：（人），
故答案为：；
（2）解：由题意可得：一班成绩的平均分为：（分）；
∵一班成绩中90分出现了10次，次数最多，
∴一班成绩的众数为：90（分）；
∵一班抽取的学生人数为：3+10+5+2=20（人），
∴二班抽取的学生人数20（人），
∵二班成绩中A级的百分数为30%，B级的百分数为20%，C级的百分数为40%，D级的百分数为10%，
∴二班成绩中为A级的人数为：（人），
B级的人数有：（人）；
C级的人数有：（人）；
D级的人数有：（人），
把二班的成绩按照从小到大的顺序排列，处于第10位、第11位的两个成绩分别为：90分、80分，
∴二班成绩的中位数为：（分），
补充表格如下：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 87 90 90
二班 87 85 80
【分析】（1）根据条形图可知A、B、C级的频数，将A、B、C的频数相加即可求解；
（2）众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；分别根据平均数、众数和中位数的定义并结合题意即可求解；
（3）根据平均数、中位数、众数的大小分析即可求解．（答案不唯一）
20．（2024八下·拱墅期末）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式．
（1）若与是关于6的美好二次根式，求的值：
（2）若与是关于的美好二次根式，求和的值．
【答案】（1）解：∵m与是关于6的美好二次根式，
∴m·=6，
解得：m=.
（2）解：∵与是关于n的美好二次根式，
∴()·()=n，
∴4-3m+(m-4)=n，
∵n是有理数，
∴，
解得：，．
【知识点】二次根式的混合运算
21．（2024八下·拱墅期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h=20t-5t2 ，
（1）经过多少秒足球重新回到地面？
（2）经过多少秒足球的高度为15米？
【答案】（1）解：当h=0时，足球重新回到地面 即20t-5t2=0，解得
∴经过4秒足球重新回到地面
（2）解：当20t-5t2=15时，
解得
∴经过1秒或者3秒足球的高度为15米．
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）当h=0时，求出t的值即可；
（2）根据高度为15米，当h=15时，解方程即可．
22．（2024八下·拱墅期末）在边长为1的菱形中，以点为圆心，长为半径画弧，交对角线于点．
（1）若时，求的度数：
（2）设，
①当时，求的长；
②用含的代数式表示．
【答案】（1）解：∵由题意得：，
∴，
∵四边形是菱形，
∴AD=AB，
∴，
又∵，
∴=∠ABD，
设=，
∵∠AEB是三角形ADE的一个外角，
∴∠AEB=∠ADE+∠DAE=2x，
而在△ABE中，
，
∴，
解得，
∴=.
（2）解：①过点B作于点M，连接交于点O，如图：
∵和是菱形对角线，
∴，且，
∵，，，
，
又∵，BM⊥AE，
，
在Rt△中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
，
的长为；
②过点B作于点M，连接交于点O，如图：
∵和是菱形对角线，
∴，且，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
∵，
∴，
解得：，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
．
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】（1）由作图可得，由等边对等角得，根据菱形的性质，又，，设，根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及三角形的内角和等于180°可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）①过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，根据，在直角三角形和直角三角形AOB中，根据勾股定理和三角形的面积可求出、AO、BO的值，然后由即可求解；
②过点B作于点M，连接交于点O，根据菱形性质，在直角三角形中，用勾股定理可将BM用含k的代数式表示出来，根据三角形ABE的面积的两种求法可得关于AO的方程，解方程可将AO用含k的代数式表示出来，在直角三角形AOB和直角三角形AOE中，用勾股定理可将BO、OE用含k的代数式表示出来，根据线段的构成计算即可求解.
23．（2024八下·拱墅期末）已知反比例函数．
（1）若点，都在该反比例函数图象上，
①求的值；
②当时，求的取值范围；
（2）若点，都在该反比例函数图象上，且，，，小浙同学说“此时不能判断与的大小关系”，小江同学说“结合所给条件，可以得到”，你认为谁的说法正确，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵点，都在该反比例函数图象上，
∴，
解得：.
②由①知：k=3＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x=1时，y=3，
∴当x＞1时，y的取值范围为：0＜y＜3.
（2）小江同学说法正确，理由如下：
由已知条件可知：k＞0，
∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∴当x1＞1时，y1的取值范围为：0＜y1＜k，
∵x1＞1，x1+x2＜0，
∴x2＜-1，
当x2=-1时，y=，
∴当x2＜-1时，y2的取值范围为：-k＜y2＜0，
∴y1-y2＜2k.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）①由题意，把点，代入反比例函数的解析式可得关于a、k的方程组，解方程组即可求解；
②由题意。把代入①中求得的解析式可求得y的值，然后根据反比例函数的性质“k＞0时，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小”可求解；
（）根据反比例函数的性质“k＞0时，反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小”可得：当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，即可求得.
24．（2024八下·拱墅期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接．
（1）如图，求证：矩形是正方形；
（2）若，，求的长度；
（3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数．
【答案】（1）证明：如图，作于，于，
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴∠ACD=∠ACB=45°，∠BCD=90°，
∴EQ=EP，四边形PCQE是矩形，
∴∠PEQ=90°=∠QEF+∠PEF，∠PEF+∠PED=90°，
∴∠QEF=∠PED，
在△EQF和△EPD中
∴△EQF≌△EPD（ASA）
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形.
（2）解：由（1）知：矩形DEFG是正方形，
∴∠EDG=90°，DE=DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，DA=DC，
∴∠EDC+∠CDG=∠EDC+∠ADE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
在△ADE和△CDG中
∴△ADE≌△CDG（SAS）
∴CG=AE，
在Rt△ABC中，AB=BC=3，
∴AC=，
∵CE=，
∴AE=AC-CE=，
∴CG=AE=.
（3）解：由题意可分两种情况：
①当DE与AD的夹角∠ADE=30°时，如下图：
∴∠EDC=90°-30°=60°，
在四边形DEFC中，∠FED+∠EDC+∠DCF+∠EFC=360°，
∴∠EFC=360°-∠FED-∠EDC-∠DCF=360°-60°-90°-90°=120°；
②当DE与DC的夹角∠CDE=30°时，过作EM⊥BC于点，过作EN⊥CD于点，如下图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°，
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，
∴EN=CN，
∴四边形CNEM是正方形，
∴EM=EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠FEN=∠MEF+∠FEN=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
∴△DEN≌△FEM（ASA）
∴∠EFC=∠EDC=30°.
综上可得：∠EFC=120°或30°.
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（）作于，于，由同角的余角相等可得∠QEF=∠PED，结合正方形的性质，用角边角可证，于是由全等三角形的对应边相等可得，然后根据正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可得证；
（）同理可证∠CDG=∠ADE，结合正方形的性质，用边角边可证△ADE≌△CDG，于是由全等三角形的对应边相等可得CG=AE，在Rt△ABC中，用勾股定理可求出AC的值，根据线段的构成AE=AC-CE可求出AE的值，然后根据CG=AE可求解；
（）由题意可分两种情况讨论：①当DE与AD的夹角∠ADE=30°时，在四边形DEFC中，由四边形的内角和等于360°可求解； ②当DE与DC的夹角∠CDE=30°时，过作EM⊥BC于点，过作EN⊥CD于点，由题意，用角边角可证△DEN≌△FEM，于是∠EFC=∠EDC可求解.
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