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2025年黑龙江省龙东地区九年级数学中考二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体由若干个大小相同的小正方体组成，其主视图、左视图和俯视图都如图所示．则组成该几何体的小正方体的个数最少为（ ）

A．4个 B．6个 C．7个 D．8个
4．学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动，小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：
课外书数量/本 6 7 9 12
人数 6 9 10 5
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ）
A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．8，10
5．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．且
6．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或3
7．小明购买口罩，现在有A、B两种型号的口罩可供选择，A型口罩每个6元，B型口罩每个4元，他一共花了40元钱，则小明的购买方案有（ ）．
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴上，顶点B在第一象限，AB⊥x轴，函数（x＞0）的图象经过边OB上的一点C．若BC＝2OC，则△OAB的面积为（　　）
A．9 B．4 C．4.5 D．3
9．如图，在菱形中，于点E，，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，交于点G，连接交于点H，连接．下列结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的序号是（ ）

A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
11．2025年春运全社会跨区域人员流动量达亿人次，比2024年同期增长．将亿用科学记数法表示为 ．
12．已知函数，则自变量的取值范围是 ．
13．如图，四边形是平行四边形，使它成为菱形的条件可以是 ．
14．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ．
15．已知关于的不等式组的整数解仅为1、2，则的最大值为 ．
16．如图所示，是的外接圆，是的直径，若，则 ．
17．已知圆锥的侧面展开的扇形面积是6π，圆心角是60°，则这个圆锥的底面圆的半径是 ．
18．如图，正方形的边长为8，E是平面上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，M为边上的点，且，则线段长的最小值是 ．
19．在矩形中，，E是的中点，点M在线段上，点N在直线上，将沿折叠，使点A与点E重合，连接．当时，的长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为，过点作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点，以为邻边作；过点作y轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交y轴于点，以为邻边作……按此作法继续下去，则点的坐标是 ．
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标为．
(1)画出关于y轴对称的；
(2)画出绕点O逆时针旋转后的；
(3)在（2）的条件下，求点A所经过的路径长．
23．如图，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，请直接写出面积的最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B足球，C篮球，D武术．为了解学生最喜欢哪一种运动项目（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．
(1)本次调查的样本容量是______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，“A乒乓球”对应的圆心角的度数是______；
(3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“B足球”的学生人数．
25．一辆巡逻车从地出发沿一条笔直的公路匀速驶向地，小时后，一辆货车从地出发，沿同一路线以千米/时的速度匀速驶向地，货车到达地装货耗时分钟，然后立即以低于来时的速度按原路匀速返回地．巡逻车、货车离地的距离（单位：千米）与货车出发时间（单位：小时）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)两地之间的距离是_____千米，_____；
(2)求巡逻车离地的距离与货车出发时间之间的函数解析式；
(3)请直接写出货车出发多长时间与巡逻车相遇．
26．在中，，点D与点B在所在直线的同侧，且，过点B作交于点E，M为的中点，连接．
(1)当时，如图①，易证线段与的数量关系是；
(2)当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段与的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
27．近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．
28．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线交于点E，的长（）是一元二次方程的两个根，D为直线上一点，作轴交直线于点G，连接．
(1)求点E的坐标；
(2)若点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)若点，点M在直线上，在直线上是否存在点N，使以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年黑龙江省龙东地区九年级数学中考二模试卷》参考答案
1．D
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意，
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
2．C
解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．B
解：如图所示：
或 ，
故组成该几何体的小正方体的个数最少为：（个）．
故选：B．
4．A
解：数据排序后，第15个和第16个数据为7和9，
∴中位数为，
∵9出现的次数最多，
∴众数为9．
故选：A．
5．D
解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
6．C
解：去分母，得，
移项、合并同类项，得，
分式方程无解，
①当方程有增根时，原方程无解，即，
，解得；
②当时，原方程无解，即，
综合①②，若分式方程无解，的值为或．
故选：C．
7．B
解：设购买A型口罩x个，B型口罩y个，
由题意得：6x＋4y＝40，
∴，
因为x，y是正整数，
∴或或，
所以小明的购买方案有3种，
故选：B．
8．A
解：如图作CD⊥x轴垂足为D，
∵函数（x＞0）的图象经过点C，
∴S△ODC=×2=1，
∵BC=2OC，
∴BO=3OC，
∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OBA，
∴，
∴S△OBA=9S△ODE=9，
故选：A．
9．B
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．C
解：①四边形是正方形，
．
由折叠可知：
．故①正确；
②过点作于，
由折叠可得：，
，
，
，
在和中，
，
．
．
，
，
，
∴，
∴②不正确；
③由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
即平分．
∴③正确；
④连接，如图，

∵，
∴
∴，
∵，
∴．
∴．
由折叠可得：，
∴．
∴．
由折叠可知：．
∴．
∵，
∴，
∴四点共圆，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④．
故选：C．
11．
亿．
故答案为．
12．
解：函数，
∴，
解得，，
故答案为： ．
13．（答案不唯一）
解：根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，平行四边形是菱形；
故答案为：（答案不唯一）．
14．
解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种，
∴小灯泡发光的概率为；
故答案为：．
15．11
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的整数解仅为1、2，
∴，，
∴，
∴，
∴的最大值为11，
故答案为：11．
16．
解：连接，如图所示，
∵是的直径，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．1
解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．
由题意，，
解得：r＝6或﹣6（舍弃），
∵扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长，
∴，
∴R＝1，
故答案为：1．
18．
解：连接，如图：
∵四边形是正方形，
，，
，
∵绕点顺时针旋转得到，
，
，
∴，
，
∴，
∵，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，
，
，
∴点落在上时，最小，最小值为，
故答案为：．
19．或
解：根据题意，在矩形中，，
∵点是的中点，
∴，
①当点N在AB的延长线上时，如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，

∴，，
由折叠的性质可得，
∵，
∴在中，由勾股定理得；
∴；
②当点N在线段上时，过点E作于G，

同理得，，
在中，由勾股定理，得；
∴；
③当点N在延长线上时，将沿折叠，点A与点E不可能重合，此种情形不存在；
综合上述，的长为或；
故答案为：或．
20．
解：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为，
∴直线l的解析式为，
∵轴，点，
∴可设B点坐标为，
将代入，得，
解得，
∴B点坐标为，，
在中，，，
∴，，
∵中，，
∴点的坐标为，即；
由，
解得，
∴点坐标为，，
在中，，，
∴，，
∵中，，
∴点的坐标为，即；
同理，可得点的坐标为，即；
以此类推，则的坐标是．
当时，的坐标是
故答案为：．
21．，
解：
，
∵，
∴原式．
22．(1)见详解
(2)见详解
(3)
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）解：如图所示：
则，
在（2）的条件下，，
∴．
即点A所经过的路径长为．
23．(1)
(2)面积的最大值是，此时点P的坐标为
（1）解：把点，代入，得
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点在抛物线上，
∴，
∴，
设点P的坐标为，
如图，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，，
∴
，
∴当时，面积的最大值是，此时点P的坐标为．
24．(1)200，图见解析
(2)
(3)100名
（1）解：本次调查的样本容量是，
故答案为：200；
B项目的人数为：，
补全条形统计图如下：
（2）解：在扇形统计图中，“A乒乓球”对应的圆心角的度数是．
故答案为：；
（3）解：（名），
答：估计该校最喜欢“B足球”的学生人数大约100名．
25．(1)60，1
(2)
(3)，
（1）解：千米，
∴A，B两地之间的距离是60千米，
∵货车到达B地填装货物耗时15分钟，
∴，
故答案为：60，1；
（2）解：由题意得，巡逻车的速度为：，
故
则点，点，
设巡逻车对应的函数表达式为：，
∴，
解得，
∴巡逻车对应的函数表达式为：；
（3）解：由题意得，点，点，点，
设所在直线的函数解析式为
故解得
所以，
货车对应的函数表达式为：，
当时，，解得：；
当时，，解得：；
综上所述：巡逻车与货车相遇时间为小时或小时．
26．(1)见解析
(2)当时，；当时，；选择图②，证明见解析
（1）解：如图1，延长交于F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，平分，
∴，
∴；
（2）解：当时，如图②，，
当时，如图③，，
选择图②证明如下：
如图，延长交于F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，平分，
∴，
在中，，
∴．
选择图③证明如下：
如图，延长交于F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，平分，
∴，
在中，，
∴．
27．(1)新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元
(2)有4种方案，分别为：方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩
(3)
（1）解：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，
依题意得，，
解得，
答：该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要0.2万元和0.3万元．
（2）解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，
由题意得，
解得，
∴整数m的值为17，18，19，20．
一共有4种方案，分别为：
方案①新建个地上充电桩，43个地下充电桩；
方案②新建个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案③新建个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案④新建个地上充电桩，40个地下充电桩．
（3）解：由题意可得，解得，
∵仅有两种方案可供选择，
∴ ，
解得：
因此，a 的取值范围为：．
28．(1)
(2)
(3)或
（1）解：解一元二次方程得，
，
∵的长（）是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，
直线的解析式为，
联立得，
解得，
∴；
（2）解：由已知得，
∵轴，
∴，
∵，，
∴，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上，S与t的函数关系式为；
（3）解：点M，N分别在直线和上，以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设，，
∵，垂直x轴于F，
∴，
分以下三种情况讨论：
①若，为对角线，则的中点即是的中点，
，
解得：，
∴，
∴；
②若，为对角线，则的中点即是的中点，
，
解得：，
∴，
∴；
③若，为对角线，则的中点即为的中点，
，
解得：，
∴，
∴；
综上可得，N的坐标为或．

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