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(共45张PPT)
6.1 分类加法计数原理
与
分步乘法计数原理
问题导学：
2022年3月4日政协十三届五次会议在北京人民大会堂举行，某政协委员3月2日要从湖北前往北京参加会议．他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘坐动车组．假如这天飞机有3个航班可乘，动车组有4个班次可乘．
问：此委员这一天从湖北到北京共有多少种快捷途径可选？
3+4=7（种）
　 用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？
思考：
　　因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出 26＋10＝36
种不同的号码．
探究：你能说一说这个问题的特征吗
　　首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．
　　上述计数过程的基本环节是：
（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
（2）分别计算各类号码的个数；
（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
　　 一般地，有如下分类加法计数原理：
问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法
分析：从甲地到乙地有3类方法，
第一类方法：乘火车，有4种方法；
第二类方法：乘汽车，有2种方法；
第三类方法：乘轮船，有3种方法；
所以从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。
　 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法．
一、分类加法计数原理
完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
各类办法之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加。
N=m1+m2+… + mn 种不同的方法
　 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法．
例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A大学
B大学
生物学
化学
医学
物理学
工程学
数学
会计学
信息技术学
法学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
解：这名同学在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法。因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5+4＝9。
　　　用前6个大写英文字母和1～9这九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，A9，B1，B2，···的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考？
　 分析：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54种不同的号码。
字母　　　　　数字　　　　　得到的号码
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
树形图
问题2：如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法
A村
B村
C村
北
南
中
北
南
分析：从A村经B村去C村有2步，
第一步，由A村去B村有3种方法，
第二步，由B村去C村有2种方法，
所以，从A村经B村去C村共有 3 ×2 = 6种不同的方法。
二、分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数。
说明：
N=m1×m2×…×mn种不同的方法
例2：某班有男生30名，女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
30×24=720种
例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同的取法？
解：
（1）从书架上任取一本书，有三类方案：
第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2类方案是从第2层取1本文艺书，有3种方法；
第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法；
根据分类加法计数原理，不同取法的种数为
答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。
解：
（2）从书架的1、2、3层各取1本书，可分3个步骤完成：
第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；
第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；
根据分步乘法计数原理，从书架的1、2、3层各取1本书，不同取法的种数为
答：从书架的1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。
请看课本P5：练习
第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法.
例3：书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，有多少种不同的取法？
练习1：某县的部分电话号码是057764××××××，后面每个数字来自0～9这10个数，问可以产生多少个不同的电话号码
变式：若要求最后6个数字不重复，则又有多少种不同的电话号码
057764
=151200
10
10
10
10
10
10
×
×
×
×
×
=106
分析：
分析：
10
9
8
7
6
5
×
×
×
×
×
练习2：一个三位密码锁，各位上数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字组成，可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？
分析：按密码位数，从左到右依次设置第一位、第二位、第三位，需分为三步完成；
第一步：m1=10；第二步：m2=10；第三步：m2=10.
根据分步乘法计数原理，共可以设置N=10×10×10=103种三位数的密码。
答：首位数字不为0的密码数是N=9×10×10=9×102种,首位数字是0的密码数是N=1×10×10=102 种。由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。
请看课本P7：练习
小结：
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……，在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N=m1+m2+… + mn种不同的方法
1.分类加法计数原理
2.分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
1.乘积
展开后共有几项？
3.某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
请看课本P11：练习
2.如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丁地有3条路可通；从甲地到丙地有4条路可通，从丙地到丁地有2条路可通。从甲地到丁地共有多少种不同的走法？
甲地
乙地
丁地
丙地
解：从总体上看，由甲到丁有两类不同的走法，
第一类，由甲经乙去丁，又需分两步，所以有m1=2×3=6种不同的走法；
第二类，由甲经丙去丁，也需分两步，所以有m2=4×2=8种不同的走法；
所以从甲地到丁地共有N=6+8=14种不同的走法。
请看课本P11：习题6.1
1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________
学以致用：
答案：36
题型1：分类加法计数原理的应用
题型2：分步乘法计数原理的应用
2.从1，2，3，4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？
(1)三位数；(2)三位数的偶数．
3.5名同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有(　　)
A.10种 B.20种
C.25种 D.32种
D
解析：每位同学限报其中的一个小组，各有2种报名方法，根据分步乘法计数原理，不同的报名方法共有25＝32(种)．
学以致用：
4.从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有_______个，其中不同的偶函数共有______个(用数字作答)．
答案：18，6
5.(2023年太原模拟)现有10元、20元、50元的人民币各一张，一共可以组成的币值有________种．
答案：7
学以致用：
6.用0，1，…，9这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A.243 B.252 C.261 D.648
B
7.甲、乙等5个志愿者被分配到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少一个志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种．
72
学以致用：
8.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有(　　)
A.8种 B.9种 C.10种 D.11种
B
9.某城市的电话号码由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(　　)
A.9×8×7×6×5×4×3×2 B.8×96
C.9×106 D.8.1×106
D
学以致用：
10.如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂法种数为(　 )
A.280 B.180
C.96 D.60
B
学以致用：
请看课本P11：练习
4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点．
（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段
（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量
4.任意画一条直线，在直线上任取n个分点．
（1）从这n个分点中任取2个点形成一条线段，可得到多少条线段
（2）从这n个分点中任取2个点形成一个向量，可得到多少个向量
请看课本P11：练习
4.用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构成多少个不同的分数 可构成多少个不同的真分数
由真分数的定义，
①若1为分子，分母有4种选择；
②若5为分子，分母有3种选择；
③若9为分子，分母有2种选择；
④若13为分子，分母有1种选择；
请看课本P11：习题6.1
5.一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法
解：分两步进行：第一个口袋内取一个球有5种取法，另一个口袋内取一个球有6种取法；
请看课本P11：习题6.1
请看课本P11：习题6.1
7.一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个
数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在0~5这6个
数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码
请看课本P12：习题6.1
8.（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是34还是43
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是35还是53
请看课本P12：习题6.1
9.（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种 (一个抽屉可放多本书)
请看课本P12：习题6.1
10.口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球．
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种
（2）正好是两个白球的取法有多少种
请看课本P12：习题6.1
10.口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同
的号码，现从中取出2个球．
（3）至少有一个白球的取法有多少种
（4）两球的颜色相同的取法有多少种
请看课本P12：习题6.1
11.在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，有多少种可能的安排方法
解：利用分步乘法计数原理，分七步来求解．
第一步，安排第一天的值班人员，有7种方法；
第二步，安排第二天的值班人员．有6种方法；
第三步，安排第三天的值班人员，有6种方法；
同理．第四、五．六七步均有6种方法．
请看课本P12：习题6.1
12．2160有多少个不同的正因数
请看课本P12：习题6.1

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