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(共20张PPT)
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问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动, 其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲乙，甲丙，乙丙
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素，按照一定的顺序排成一列。
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组
有顺序
无顺序
排列
组合
甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙
环节一：创设情境，引入课题
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
将具体背景舍去，上述问题可以概括为：
从3个不同元素中取出2个元素作为一组，一共有多少个不同的组
这就是我们要研究的问题．
环节二：观察分析，感知概念
排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
组合定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义：一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点：排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.
组合
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列
问题一和问题二中“排列”和“组合”的对应关系：
探究：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
思考一：ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么
思考二：两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
排列
组合
组合
环节三：抽象概括，形成概念
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
组合问题
(2)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
组合问题
(3)从4个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法
组合问题
(4)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法
排列问题
组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.
组合
排列
校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各有3辆.下面的问题是排列问题，还是组合问题？
①从中选3辆，有多少种不同的方法
②从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法
思考：
判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
环节四：辨析理解，深化概念
例5：平面内有A、B、C、D共4个点.
(1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2)以其中2个点为端点的线段共有多少条
解：(1)一条有向线段的端点要分起点和终点，以平面内4个点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条.
(2)将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB，AC，AD，BC，BD，CD.
这12条有向线段分别为
环节五：课堂练习，巩固运用
结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半
利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？
思考：
1.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
（2)列出所有冠亚军的可能情况.
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
解：
请看课本P22：练习
2.已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
解：ΔABC，ΔACD，ΔABD，ΔBCD
3.现有1，3，7，13这4个数．
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
请看课本P23：练习
1.组合的定义
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination).
课堂小结：
判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
1.从a，b，c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是：
ab , ac , bc
2.已知4个元素a，b，c，d，写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3个)
(6个)
概念理解：
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
如：从 a，b，c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是：
如：已知4个元素a、b、c、d，写出每次取出两个元素的所有组合个数是：
概念讲解
组合数：
注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
1.写出从a，b，c，d四个元素中任取三个元素的
所有组合。
abc， abd， acd， bcd
b
c
d
d
c
b
a
c
d
练一练:
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
你发现了什么
如何计算：
根据分步计数原理，得到：
因此：
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ．
这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式．
例：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
例：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

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