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2025年中考数学复习：图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 城关区校级期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2．（2024秋 扬州期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）
A．69° B．111° C．141° D．159°
3．（2015 吉林）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 包头期末）如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
5．（2015 漳州）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 成华区校级月考）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都不对
7．（2024秋 滨海新区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021秋 南阳期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
9．（2023秋 偃师区期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2023秋 澧县期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（　　）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
二．填空题（共5小题）
11．（2012 随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为　 　．
12．（2022秋 紫金县期末）如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝　 　cm．
13．（2023秋 甘州区校级期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于 　 　度．
14．（2024秋 怀化期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝　 　度．
15．（2023秋 榆中县期末）现在的时间是9时20分，此时钟面上时针与分针夹角的度数是　 　度．
三．解答题（共5小题）
16．（2022秋 青云谱区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则　 　．
17．（2023秋 旌阳区期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BDABCD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
18．（2023秋 秦安县校级期末）已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
19．（2023秋 奉化区期末）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
20．（2024秋 楚雄市校级期末）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若以∠AOB＝10°为起始位置，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
2025年中考数学复习：图形认识初步
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A A B D D C C
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 城关区校级期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（　　）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【考点】直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线的性质以及线段的性质，正确把握相关性质是解题关键．
2．（2024秋 扬州期末）在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB的大小为（　　）
A．69° B．111° C．141° D．159°
【考点】方向角．
【答案】C
【分析】首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【解答】解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∠3＝90°﹣54°＝36°，
∠AOB＝36°+90°+15°＝141°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
3．（2015 吉林）如图，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是（　　）
A． B． C． D．
【考点】几何体的展开图．
【答案】B
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：观察图形可知，一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是．
故选：B．
【点评】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
4．（2024秋 包头期末）如图，已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB内任意一条射线，OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，下列结论：①∠COD＝∠BOE；②∠COE＝3∠BOD；③∠BOE＝∠AOC；④∠AOC+∠BOD＝90°，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【答案】A
【分析】根据角平分线的意义，互余的意义和等量代换，逐个结论进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵OB，OD分别平分∠COD，∠BOE，
∴∠COB＝∠BOD＝∠DOE，
∴∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE，
即：∠COD＝∠BOE，因此①正确；
∠COE＝∠COB+∠BOD+∠DOE＝3∠BOD，因此②正确；
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOC＝90°＝∠AOC+∠BOD，因此④正确；
∵∠AOC≠2∠BOC＝∠BOE，因此③不正确；
故选：A．
【点评】考查角平分线、互为余角的意义，利用等量代换和图形直观是解决问题的关键．
5．（2015 漳州）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】几何体的展开图．
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及长方体的展开图解题．
【解答】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，
A、可以拼成一个长方体；
B、C、D、不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图．
故选：A．
【点评】考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及长方体展开图的各种情形．
6．（2024秋 成华区校级月考）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．以上答案都不对
【考点】点、线、面、体．
【答案】B
【分析】汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
【解答】解：汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．故选B．
【点评】正确理解点线面体的概念是解题的关键．
7．（2024秋 滨海新区期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】角的概念．
【答案】D
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
8．（2021秋 南阳期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（　　）
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC
D．∠AOC也可用∠O来表示
【考点】角的概念．
【答案】D
【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠AOB表示同一个角，正确，故本选项错误；
B、∠β表示的是∠BOC，正确，故本选项错误；
C、图中共有三个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC，正确，故本选项错误；
D、∠AOC不能用∠O表示，错误，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了对角的表示方法的应用，主要检查学生能否正确表示角．
9．（2023秋 偃师区期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】余角和补角．
【答案】C
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
10．（2023秋 澧县期末）如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（　　）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可以得到∠CFG＝∠EFG，再根据FH平分∠BFE即可求解．
【解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE，
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH∠EFC∠EFB（∠EFC+∠EFB）180°＝90°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，注意在折叠的过程中存在的相等关系．
二．填空题（共5小题）
11．（2012 随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为　6　．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把15代入所得关系式进行解答即可．
【解答】解：∵平面内不同的两点确定1条直线，；
平面内不同的三点最多确定3条直线，即3；
平面内不同的四点确定6条直线，即6，
∴平面内不同的n点确定（n≥2）条直线，
∴平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，15，解得n＝﹣5（舍去）或n＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是直线、射线、线段，是个规律性题目，关键知道当在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入15即可求出n的值．
12．（2022秋 紫金县期末）如图，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC＝　6　cm．
【考点】比较线段的长短．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】理解线段的中点这一概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系进行解题．
【解答】解：CD＝DB﹣BC＝7﹣4＝3cm，
AC＝2CD＝2×3＝6cm．
故答案为：6．
【点评】灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
13．（2023秋 甘州区校级期末）如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于 　135　度．
【考点】角平分线的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平角和角平分线的定义求得．
【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD（30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故答案为135．
【点评】由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．
14．（2024秋 怀化期末）一副三角板AOB与COD如图1摆放，且∠A＝∠C＝90°，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，ON平分∠COB，OM平分∠AOD．当三角板COD绕O点顺时针旋转（从图1到图2）．设图1、图2中的∠NOM的度数分别为α，β，α+β＝　105　度．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的意义，以及角的和与差，分别表示出∠MON，然后利用两个图形分别计算α、β即可．
【解答】解：如图1，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．
∴∠NOB＝∠CON∠BOC（45°+∠BOD），
∠MOD＝∠MOA∠AOD（60°+∠BOD），
∴∠MON＝α＝∠NOB+∠MOD﹣∠BOD（45°+60°），
如图2，∵ON平分∠COB，OM平分∠AOD．
∴∠NOB＝∠CON∠BOC（45°﹣∠BOD），
∠MOD＝∠MOA∠AOD（60°﹣∠BOD），
∴∠MON＝β＝∠NOB+∠MOD+∠BOD（45°+60°），
∴α+β＝45°+60°＝105°，
故答案为：105．
【点评】考查角平分线的意义，图形中角的和与差，等量代换和恒等变形是常用的方法．
15．（2023秋 榆中县期末）现在的时间是9时20分，此时钟面上时针与分针夹角的度数是　160　度．
【考点】钟面角．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
【解答】解：∵“4”至“9”的夹角为30°×5＝150°，时针偏离“9”的度数为30°10°，
∴时针与分针的夹角应为150°+10°＝160°．
【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
三．解答题（共5小题）
16．（2022秋 青云谱区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则　或　．
【考点】两点间的距离．
【专题】压轴题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，根据中点定义即可求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，确定点F是BC的中点，即可求AD的长；
（2）根据AC＝2BC，AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，满足关系式，可以设CE＝x，DC＝y，用含x和y的式子表示线段长，从而得出x与y的等量关系，即可求出的值．
【解答】解：（1）AC＝2BC，AB＝18，DE＝8，
∴BC＝6，AC＝12，
①如图，
∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∴CD＝5，
∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；
②如图，
Ⅰ、当点E在点F的左侧，
∵CE+EF＝3，BC＝6，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，
∴ADAF＝5；
Ⅱ、当点E在点F的右侧，
∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴AF＝3AD＝9，
∴AD＝3．
其他情况不存在，舍去．
综上所述：AD的长为3或5；
（2）∵AC＝2BC，AB＝2DE，满足关系式，
Ⅰ、当点E在点C右侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝x+y，
∴AB＝2（x+y）
ACAB（x+y）
∴AD＝AC﹣DCxy
BCAB（x+y）
∴BE＝BC﹣CEyx
∴AD+ECxy
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（xy）＝3（yx）
解得，17x＝4y，
∴．
Ⅱ、当点E在点A左侧时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x）
ACAB（y﹣x）
∴AD＝DC﹣ACxy
BCAB（y﹣x）
∴BE＝BC+CEyx
∴AD+ECxy
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（xy）＝3（yx）
解得，11x＝8y，
∴．
点D在C点右侧，及点D在B点右侧，
无解，不符合题意；
当DE在线段AC内部时，如图，
设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x），
ACAB（y﹣x），
∴AD＝AC﹣DCyx，
BCAB（y﹣x），
∴BE＝BC+CEyx，
∴AD+ECxy，
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（xy）＝3（yx），
解得，﹣5x＝4y（不符合题意，舍去），
∴，不符合题意，舍去．
其他情况不存在，舍去．
故答案为或．
【点评】本题考查了两点间的距离，比较难，需要仔细思考和解答．
17．（2023秋 旌阳区期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，
（1）如图1，若AB＝6cm，BC＝4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度：
（2）如图2，若BDABCD，E为线段AB的中点，EC＝12cm，求线段AC的长度．
【考点】两点间的距离．
【专题】计算题；数形结合；线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度为1cm；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度为18cm．
【解答】解：（1）如图1所示：
∵AC＝AB+BC，AB＝6cm，BC＝4cm
∴AC＝6+4＝10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DCAC10＝5cm
∴DB＝DC﹣BC＝5﹣4＝1cm
（2）如图2所示：
设BD＝x cm
∵BDABCD
∴AB＝4BD＝4x cm，CD＝3BD＝3x cm，
又∵DC＝DB+BC，
∴BC＝3x﹣x＝2x，
又∵AC＝AB+BC，
∴AC＝4x+2x＝6x cm，
∵E为线段AB的中点
∴BEAB4x＝2x cm
又∵EC＝BE+BC，
∴EC＝2x+2x＝4x cm
又∵EC＝12cm
∴4x＝12，
解得：x＝3，
∴AC＝6x＝6×3＝18cm．
【点评】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法．
18．（2023秋 秦安县校级期末）已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC＝40°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
（1）求∠MON的大小；
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据∠AOB是直角，∠AOC＝40°，可得∠AOB+∠AOC＝90°+40°＝130°，再利用OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，即可求得答案．
（2）根据∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，又利用∠AOB是直角，不改变，可得．
【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC＝40°，
∴∠AOB+∠AOC＝90°+40°＝130°，
∵OM是∠BOC的平分线，ON是∠AOC的平分线，
∴，．
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣20°＝45°，
（2）当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小不发生改变．
∵，
又∠AOB是直角，不改变，
∴．
【点评】此题主要考查角的计算和角平分线的定义等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
19．（2023秋 奉化区期末）如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据：角度＝速度×时间进行计算，由等量关系：直角边OB恰好平分∠NOE，列出方程求解即可．
（2）①由于OE的旋转速度快，需要考虑2种情形列方程解决．
②通过计算分析OE，OB的位置，需要考虑2种情形列方程解决．
【解答】解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB∠NOE（180°﹣30°）＝75°，
∴90°﹣3°t＝75°，
解得：t＝5．
此时∠MOA＝3°×5＝15°∠MOE，
∴此时OA平分∠MOE．
（2）①OE平分∠AOB，
依题意有30°+9°t﹣3°t＝90°÷2，
解得t＝2.5；
OF平分∠AOB，
依题意有30°+9°t﹣3°t＝180°+90°÷2，
解得t＝32.5．
故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB
②OB在MN上面，
依题意有180°﹣30°﹣9°t＝（90°﹣3°t）÷2，
解得t＝14；
OB在MN下面，
依题意有9t﹣（360°﹣30°）＝（3°t﹣90°）÷2，
解得t＝38．
故EF能平分∠NOB，t的值为14或38．
【点评】本题目考查了角平分线的定义，旋转的速度，角度，时间的关系，应用方程的思想是解决问题的关键，还需要通过计算进行初步估计位置，掌握分类思想，注意不能漏解．
20．（2024秋 楚雄市校级期末）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若以∠AOB＝10°为起始位置，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
【考点】角平分线的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）因为∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线．若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，则∠MOB∠AOB，∠BON∠BOD．然后根据关系转化求出角的度数；
（2）利用各角的关系求解：∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC∠AOC∠BOD﹣∠BOC（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC；
（3）由题意得，，由此列出方程求解即可．
【解答】解：（1）因为∠AOD＝160°OM平分∠AOB，ON平分∠BOD
所以∠MOB∠AOB，∠BON∠BOD
即∠MON＝∠MOB+∠BON∠AOB∠BOD（∠AOB+∠BOD）
∠AOD＝80°；
（2）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
所以∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD
即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC∠AOC∠BOD﹣∠BOC
（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
180°﹣20°＝70°；
（3）∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC＝t°+15°．
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝150°﹣2t．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON∠BOD＝75°﹣t°．
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴（t+15）：（75﹣t）＝2：3，
解得t＝21．
答：t为21秒．
【点评】此题主要考查角平分线的定义，根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化，然后根据已知条件求解．
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