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2025年中考数学复习：无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．（2018 安顺）的算术平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
2．（2020 福田区校级模拟）π、，，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024春 来凤县校级月考）已知|a|＝5，7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12
4．（2016 怀化）（﹣2）2的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
5．（2015 杭州）若kk+1（k是整数），则k＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2020春 大同期末）若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（　　）
A．1，7 B．﹣1，7 C．1，﹣7 D．﹣1，﹣7
7．（2021春 饶平县校级期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1
8．（2016 泰州）实数a、b满足4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
9．（2016 毕节市）估计的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
10．（2023春 崆峒区校级期中）若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　）
A．﹣3 B． C．或 D．3或﹣3
二．填空题（共5小题）
11．（2018 徐州）化简：||＝　 　．
12．（2019 常州）4是 　 　的算术平方根．
13．（2015 青海）若实数m，n满足（m﹣1）20，则（m+n）5＝　 　．
14．（2024秋 耒阳市期中）如果的平方根等于±2，那么a＝　 　．
15．（2015 庆阳）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2021 饶平县校级模拟）若x、y都是实数，且y8，求x+3y的立方根．
17．（2024春 金安区校级期末）一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
18．（2024春 天河区校级月考）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
19．（2021 饶平县校级模拟）计算：|﹣3|（﹣2）2．
20．（2021春 饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：　 　；　 　．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　 　．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，　 　次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　 　．
2025年中考数学复习：无理数与实数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2018 安顺）的算术平方根是（　　）
A． B． C．±2 D．2
【考点】算术平方根．
【答案】B
【分析】直接利用算术平方根的定义得出即可．
【解答】解：2，2的算术平方根是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，利用算术平方根即为正平方根求出是解题关键．
2．（2020 福田区校级模拟）π、，，，3.1416，0.中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数．
【专题】数感．
【答案】B
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在π、，，，3.1416，0.中，
无理数是：π，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．本题中是有理数中的整数．
3．（2024春 来凤县校级月考）已知|a|＝5，7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12
【考点】算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．
【解答】解：∵|a|＝5，
∴a＝±5，
∵7，
∴b＝±7，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b＞0，
所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，
当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，
所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．
4．（2016 怀化）（﹣2）2的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【考点】平方根．
【答案】C
【分析】直接利用有理数的乘方化简，进而利用平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵（﹣2）2＝4，
∴4的平方根是：±2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
5．（2015 杭州）若kk+1（k是整数），则k＝（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】估算无理数的大小．
【答案】D
【分析】根据9，10，可知910，依此即可得到k的值．
【解答】解：∵kk+1（k是整数），910，
∴k＝9．
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题关键是估算的取值范围，从而解决问题．
6．（2020春 大同期末）若|a|＝4，，且a+b＜0，则a﹣b的值是（　　）
A．1，7 B．﹣1，7 C．1，﹣7 D．﹣1，﹣7
【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据题意，利用绝对值的代数意义及二次根式性质化简，确定出a与b的值，即可求出a﹣b的值．
【解答】解：∵|a|＝4，，且a+b＜0，
∴a＝﹣4，b＝﹣3或a＝﹣4，b＝3，
则a﹣b＝﹣1或﹣7．
故选：D．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2021春 饶平县校级期末）若2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，则m为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣3或1
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，可得到2m﹣4与3m﹣1互为相反数，2m﹣4与3m﹣1也可以是同一个数．
【解答】解：∵2m﹣4与3m﹣1是同一个正数的平方根，
∴2m﹣4+3m﹣1＝0，或2m﹣4＝3m﹣1，
解得：m＝1或﹣3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的概念，解题时注意要求是一个正数的平方根．
8．（2016 泰州）实数a、b满足4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【答案】B
【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：整理得，（2a+b）2＝0，
所以，a+1＝0，2a+b＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
所以，ba＝2﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
9．（2016 毕节市）估计的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】利用“夹逼法“得出的范围，继而也可得出的范围．
【解答】解：∵23，
∴34，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．
10．（2023春 崆峒区校级期中）若a是（﹣3）2的平方根，则等于（　　）
A．﹣3 B． C．或 D．3或﹣3
【考点】立方根；平方根．
【专题】常规题型．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义求出a的值，再利用立方根的定义进行解答．
【解答】解：∵（﹣3）2＝（±3）2＝9，
∴a＝±3，
∴，或，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，立方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
二．填空题（共5小题）
11．（2018 徐州）化简：||＝　　．
【考点】实数的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】要先判断出0，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵0
∴||＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
12．（2019 常州）4是 　16　的算术平方根．
【考点】算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．
【解答】解：∵42＝16，
∴4是16的算术平方根．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．
13．（2015 青海）若实数m，n满足（m﹣1）20，则（m+n）5＝　﹣1　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而可求出（m+n）5的值．
【解答】解：由题意知，
m，n满足（m﹣1）20，
∴m＝1，n＝﹣2，
∴（m+n）5＝（1﹣2）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
14．（2024秋 耒阳市期中）如果的平方根等于±2，那么a＝　16　．
【考点】平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据平方根的定义，可以求得的值，再利用算术平方根的定义即可求出a的值．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4，
∴a＝（）2＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．要注意在平方和开方之间的转化．
15．（2015 庆阳）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是 　2　．
【考点】立方根；合并同类项；解二元一次方程组．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同类项的定义可以得到m，n的值，继而求出m﹣3n的立方根．
【解答】解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，
∴，
解方程得：．
∴m﹣3n＝2﹣3×（﹣2）＝8．
8的立方根是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了同类项的概念以及立方根的求法，解题的关键是根据定义求出对应m、n的值．
三．解答题（共5小题）
16．（2021 饶平县校级模拟）若x、y都是实数，且y8，求x+3y的立方根．
【考点】立方根；非负数的性质：算术平方根．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解．
【解答】解：∵y8，
∴，
解得：x＝3，
将x＝3代入原式，得到y＝8，
∴x+3y＝3+3×8＝27，
∴3，
即x+3y的立方根为3．
【点评】本题考查了代数式的求值和立方根的定义，关键是学会构建不等式组解决问题．
17．（2024春 金安区校级期末）一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，求a和x的值．
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根的定义得出2a﹣3+5﹣a＝0，进而求出a的值，即可得出x的值．
【解答】解：∵一个正数的x的平方根是2a﹣3与5﹣a，
∴2a﹣3+5﹣a＝0，
解得：a＝﹣2，
∴x＝（﹣7）2＝49．
【点评】此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
18．（2024春 天河区校级月考）已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2＝4，2x+y+7＝27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．
【解答】解：∵x﹣2的平方根是±2，
∴x﹣2＝4，
∴x＝6，
∵2x+y+7的立方根是3
∴2x+y+7＝27
把x的值代入解得：
y＝8，
∴x2+y2的算术平方根为10．
【点评】本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．
19．（2021 饶平县校级模拟）计算：|﹣3|（﹣2）2．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝3﹣4（﹣2）+4＝3﹣4﹣1+4＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2021春 饶平县校级期末）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，．
（1）仿照以上方法计算：　2　；　5　．
（2）若，写出满足题意的x的整数值 　1，2，3　．
如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次，这时候结果为1．
（3）对100连续求根整数，　3　次之后结果为1．
（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是 　255　．
【考点】估算无理数的大小；实数的运算．
【专题】新定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果；
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对100进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵22＝4，52＝25，62＝36，
∴56，
∴[2]＝2，[]＝5，
故答案为：2，5；
（2）∵12＝1，22＝4，且，
∴x＝1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）第一次：[]＝10，
第二次：[]＝3，
第三次：[]＝1，
故答案为：3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵[]＝15，[]＝3，[]＝1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255；
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
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