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2025年中考数学复习：一次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2019 河池）函数y＝x﹣2的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2017 泰安）已知一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
3．（2015 黄州区校级自主招生）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2014 娄底）一次函数y＝kx﹣k（k＜0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2015 南平）直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0）
6．（2020 拱墅区一模）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐标系中的大致位置是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2018 昭阳区模拟）要使函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，应满足（　　）
A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
8．（2015 鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2014 镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s＝a+2b，则s的取值范围是（　　）
A．﹣5≤s B．﹣6＜s C．﹣6≤s D．﹣7＜s
10．（2014 孝感）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
二．填空题（共5小题）
11．（2013 茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　 　．
12．（2013 湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　 　．
13．（2014 永嘉县校级模拟）已知函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1，当k 　 　时，它是一次函数，当k＝　 　时，它是正比例函数．
14．（2011 长春）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是　 　．
15．（2014 威海）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2014 河南）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
17．（2024春 富锦市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2023 甘南县一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
19．（2015 黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？
20．（2024春 桦甸市期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
2025年中考数学复习：一次函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A A D C C B B D
一．选择题（共10小题）
1．（2019 河池）函数y＝x﹣2的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数的性质．
【答案】B
【分析】根据k＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b＜0确定与y轴负半轴相交，从而判断得解．
【解答】解：一次函数y＝x﹣2，
∵k＝1＞0，
∴函数图象经过第一三象限，
∵b＝﹣2＜0，
∴函数图象与y轴负半轴相交，
∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，k＞0，函数经过第一、三象限，k＜0，函数经过第二、四象限．
2．（2017 泰安）已知一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜0，m＜0
【考点】一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】A
【分析】由一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k﹣2＜0、﹣m＜0，解之即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而减小，
∴k﹣2＜0，﹣m＜0，
∴k＜2，m＞0．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质找出k﹣2＜0、﹣m＜0是解题的关键．
3．（2015 黄州区校级自主招生）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】A
【分析】根据题目已知条件可推出，AA1OC，B1A2A1B1，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
【解答】解：∵OB，OC＝1，
∴BC＝2，
∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．
而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，
∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°．
在Rt△CAA1中，AA1OC，
同理得：B1A2A1B1，
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数综合题．解题时，将一次函数、等边三角形的性质及解直角三角形结合在一起，从而归纳出边长的规律．
4．（2014 娄底）一次函数y＝kx﹣k（k＜0）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【答案】A
【分析】首先根据k的取值范围，进而确定﹣k＞0，然后再确定图象所在象限即可．
【解答】解：∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数图象，直线y＝kx+b，可以看作由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
5．（2015 南平）直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（　　）
A．（﹣4，0） B．（﹣1，0） C．（0，2） D．（2，0）
【考点】一次函数图象与几何变换．
【答案】D
【分析】根据平移可得直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y＝2x+2﹣6＝2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．
【解答】解：直线y＝2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y＝2x+2﹣6＝2x﹣4，
当y＝0时，x＝2，
因此与x轴的交点坐标是（2，0），
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数与几何变换，关键是计算出平移后的函数解析式．
6．（2020 拱墅区一模）直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝bx+k在同一坐标系中的大致位置是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】模型思想．
【答案】C
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案．
【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：
A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；
B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；
C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，k、b的取值相一致，故本选项正确；
D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．
7．（2018 昭阳区模拟）要使函数y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，应满足（　　）
A．m≠2，n≠2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝2 D．m＝2，n＝0
【考点】一次函数的定义．
【答案】C
【分析】根据y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）是一次函数，可得m﹣2≠0，n﹣1＝1，可得答案．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）xn﹣1+n是一次函数，
∴m﹣2≠0，n﹣1＝1，
∴m≠2，n＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数，y＝kx+b，k、b是常数，k≠0，x的次数等于1是解题关键．
8．（2015 鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t或．
其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】一次函数的应用．
【答案】B
【分析】观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【解答】解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t，
又当t时，y甲＝50，此时乙还没出发，
当t时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距50千米，
∴④不正确；
综上可知正确的有①②共两个，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．
9．（2014 镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s＝a+2b，则s的取值范围是（　　）
A．﹣5≤s B．﹣6＜s C．﹣6≤s D．﹣7＜s
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【答案】B
【分析】根据直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，可知a＜0，b≤0，直线y＝ax+b（a≠0）过点（2，﹣3），可知2a+b＝﹣3，依此即可得到s的取值范围．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）不经过第一象限，
∴a＜0，b≤0，
∵直线y＝ax+b（a≠0）过点（2，﹣3），
∴2a+b＝﹣3，
∴a，b＝﹣2a﹣3，
∴s＝a+2b2bb，
s＝a+2b＝a+2（﹣2a﹣3）＝﹣3a﹣6＞﹣6，
即s的取值范围是﹣6＜s．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．
k＞0时，直线必经过一、三象限；
k＜0时，直线必经过二、四象限；
b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
b＝0时，直线过原点；
b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
10．（2014 孝感）如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）
A．﹣1 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣3
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】数形结合．
【答案】D
【分析】满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是直线y＝﹣x+m位于直线y＝nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n的解集为x＜﹣2，
∵y＝nx+4n＝0时，x＝﹣4，
∴nx+4n＞0的解集是x＞﹣4，
∴﹣x+m＞nx+4n＞0的解集是﹣4＜x＜﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
二．填空题（共5小题）
11．（2013 茂名）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为　a＜c＜b　．
【考点】正比例函数的图象．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＞c，进而得到答案．
【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞c．
则b＞c＞a，
故答案为：a＜c＜b．
【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大
12．（2013 湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y＝﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　　．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；
（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．
【解答】解：由题意可知，OM，点N在直线y＝﹣x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ONOM．
如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn
∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC＝∠B0ABn，
又∵AB0＝AO tan30°，ABn＝AN tan30°，∴AB0：AO＝ABn：AN＝tan30°（此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得），
∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，
∴B0Bn＝ON tan30°．
现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi
∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP＝∠B0ABi，
又∵AB0＝AO tan30°，ABi＝AP tan30°，∴AB0：AO＝ABi：AP，
∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi＝∠AOP．
又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn＝∠AOP，
∴∠AB0Bi＝∠AB0Bn，
∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．
综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为．
故答案为：．
【点评】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中．
13．（2014 永嘉县校级模拟）已知函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1，当k 　≠1　时，它是一次函数，当k＝　﹣1　时，它是正比例函数．
【考点】一次函数的定义；正比例函数的定义．
【专题】待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正比例函数的定义可得出k的值及取值范围．
【解答】解：∵函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1是一次函数，
∴k﹣1≠0，即k≠1；
函数y＝（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k﹣1≠0，k2﹣1＝0，
∴k＝﹣1．
故答案为：≠1，﹣1．
【点评】本题考查对正比例函数和一次函数的概念理解．形如y＝kx，（k≠0）为正比例函数；y＝kx+b，（k≠0）为一次函数．
14．（2011 长春）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A．当y＜3时，x的取值范围是　x＞2　．
【考点】一次函数的图象．
【专题】压轴题；数形结合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一次函数的图象可直接进行解答．
【解答】解：由函数图象可知，此函数是减函数，当y＝3时x＝2，
故当y＜3时，x＞2．
故答案为：x＞2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求出x的取值范围是解答此题的关键．
15．（2014 威海）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　x＜﹣2　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】整体思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】不等式组kx+b＞x+a的解是一次函数y2＝x+a的图象在y1＝kx+b下方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．
【解答】解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2014 河南）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进A型电脑70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．
【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y＝﹣50x+15000，
②利用不等式求出x的范围，又因为y＝﹣50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值，
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
解得
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y＝100x+150（100﹣x），即y＝﹣50x+15000，
②据题意得，100﹣x≤2x，解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
（3）据题意得，y＝（100+m）x+150（100﹣x），即y＝（m﹣50）x+15000，
33x≤70
①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，
∴当x＝34时，y取最大值，
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．
②m＝50时，m﹣50＝0，y＝15000，
即商店购进A型电脑数量满足33x≤70的整数时，均获得最大利润；
③当50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随x的增大而增大，
∴当x＝70时，y取得最大值．
即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑的销售利润最大．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．
17．（2024春 富锦市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
（1）求AB的长；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）y轴上是否存在一点P，使得S△PABS△OCD？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，则可得到OA、OB的长，然后依据勾股定理可求得AB的长，
（2）依据翻折的性质可得到AC的长，于是可求得OC的长，从而可得到点C的坐标；设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，﹣6）．
（3）先求得S△PAB的值，然后依据三角形的面积公式可求得BP的长，从而可得到点P的坐标．
【解答】解：（1）令x＝0得：y＝4，
∴B（0，4）．
∴OB＝4
令y＝0得：0x+4，解得：x＝3，
∴A（3，0）．
∴OA＝3．
在Rt△OAB中，AB5．
（2）∵AC＝AB＝5，
∴OC＝OA+AC＝3+5＝8，
∴C（8，0）．
设OD＝x，则CD＝DB＝x+4．
在Rt△OCD中，DC2＝OD2+OC2，即（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，
∴D（0，﹣6）．
（3）存在，理由如下：
∵S△PABS△OCD，
∴S△PAB6×8＝12．
∵点P在y轴上，S△PAB＝12，
∴BP OA＝12，即3BP＝12，解得：BP＝8，
∴P点的坐标为（0，12）或（0，﹣4）．
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
18．（2023 甘南县一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
（2）根据函数图象中的数据，可以得到线段CD对应的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
【解答】解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．（2015 黔西南州）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过12吨（含12吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过12吨，超过部分每吨按市场调节价收费，小黄家1月份用水24吨，交水费42元．2月份用水20吨，交水费32元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少元；
（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，写出y与x之间的函数关系式；
（3）小黄家3月份用水26吨，他家应交水费多少元？
【考点】一次函数的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；
（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；
（3）根据小黄家的用水量判断其再哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可．
【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为a元，市场调节价为b元．
根据题意得，
解得：．
答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．
（2）∵当0≤x≤12时，y＝x；
当x＞12时，y＝12+（x﹣12）×2.5＝2.5x﹣18，
∴所求函数关系式为：y．
（3）∵x＝26＞12，
∴把x＝26代入y＝2.5x﹣18，得：y＝2.5×26﹣18＝47（元）．
答：小黄家三月份应交水费47元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．
20．（2024春 桦甸市期末）已知：如图一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）若一次函数y1＝﹣x﹣2与y2＝x﹣4的图象与x轴分别相交于点B、C，求△ABC的面积．
（3）结合图象，直接写出y1≥y2时x的取值范围．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的性质．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标；
（2）先根据函数解析式求得B、C两点的坐标，可得BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
（3）根据函数图象以及点A坐标即可求解．
【解答】解：（1）解方程组，得，
所以点A坐标为（1，﹣3）；
（2）当y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则B点坐标为（﹣2，0）；
当y2＝0时，x﹣4＝0，x＝4，则C点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积6×3＝9；
（3）根据图象可知，y1≥y2时x的取值范围是x≤1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积．
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