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2025年中考数学复习：一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2016 攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
2．（2017 凉州区）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
3．（2015 来宾）已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0
C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0
4．（2015 烟台）如果x2﹣x﹣1＝（x+1）0，那么x的值为（　　）
A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1
5．（2013 呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
6．（2017 温州）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
7．（2024秋 通道县期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2
C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056
8．（2018 临沂）一元二次方程y2﹣y0配方后可化为（　　）
A．（y）2＝1 B．（y）2＝1
C．（y）2 D．（y）2
9．（2022 黄冈模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠﹣2 B．k
C．k且k≠﹣2 D．k
10．（2014 泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
二．填空题（共5小题）
11．（2018 黔西南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　 　．
12．（2014 贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　 　秒时，S1＝2S2．
13．（2015 兰州）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝　 　．
14．（2015 内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足3，则k的值是　 　．
15．（2014 广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2020 赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
17．（2016 濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
18．（2017 泰兴市校级二模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　 　只粽子，利润为　 　元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
19．（2024秋 潮南区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
20．（2016 十堰）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足3x1x2，求实数p的值．
2025年中考数学复习：一元二次方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C A D C B C A
一．选择题（共10小题）
1．（2016 攀枝花）若x＝﹣2是关于x的一元二次方程x2ax﹣a2＝0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【考点】一元二次方程的解．
【答案】C
【分析】把x＝﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣2代入方程x2ax﹣a2＝0，得：
4﹣3a﹣a2＝0，即a2+3a﹣4＝0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）＝0，
∴a﹣1＝0，或a+4＝0，
解得：a＝1或﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
2．（2017 凉州区）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】A
【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．
【解答】解：如图所示：设道路的宽为x m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．
3．（2015 来宾）已知实数x1，x2满足x1+x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣7x+12＝0 B．x2+7x+12＝0
C．x2+7x﹣12＝0 D．x2﹣7x﹣12＝0
【考点】根与系数的关系．
【答案】A
【分析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2＝0，列出方程进行判断即可．
【解答】解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12＝0，
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2＝0是具体点关键．
4．（2015 烟台）如果x2﹣x﹣1＝（x+1）0，那么x的值为（　　）
A．2或﹣1 B．0或1 C．2 D．﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；零指数幂．
【答案】C
【分析】首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝（x+1）0，
∴x2﹣x﹣1＝1，
即（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
当x＝﹣1时，x+1＝0，故x≠﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意x+1≠0是解题关键．
5．（2013 呼和浩特）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值是（　　）
A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】压轴题．
【答案】A
【分析】由于方程有两个不相等的实数根可得Δ＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
【解答】解：根据条件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故选：A．
【点评】1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1 x2．
6．（2017 温州）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3
C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3
【考点】一元二次方程的解．
【答案】D
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，
所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3，
所以x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（2024秋 通道县期中）某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2
C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】其他问题；应用意识．
【答案】C
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1056．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
8．（2018 临沂）一元二次方程y2﹣y0配方后可化为（　　）
A．（y）2＝1 B．（y）2＝1
C．（y）2 D．（y）2
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】配方法．
【答案】B
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2﹣y0
y2﹣y
y2﹣y1
（y）2＝1
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
9．（2022 黄冈模拟）若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k且k≠﹣2 B．k
C．k且k≠﹣2 D．k
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题；一元二次方程及应用；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k+2） 1≥0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k+2） 1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
10．（2014 泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）
A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15
C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【答案】A
【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）＝15即可．
【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得
（3+x）（4﹣0.5x）＝15，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利＝总盈利得出方程是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2018 黔西南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则此三角形的周长是　13　．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．
【专题】计算题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出方程的解，有两种情况：x＝2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x＝4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去，
当x＝4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
12．（2014 贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t＝　6　秒时，S1＝2S2．
【考点】一元二次方程的应用；等腰直角三角形；矩形的性质．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后根据S1＝2S2，即可列方程求解．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8cm，
又∵APt，
则S1AP BD8t＝8t，PD＝8t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE＝APt，
∴S2＝PD PE＝（8t） t，
∵S1＝2S2，
∴8t＝2（8t） t，
解得：t＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
13．（2015 兰州）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝　2015　．
【考点】一元二次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015＝0得：a+b﹣2015＝0，
即a+b＝2015．
故答案为：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
14．（2015 内江）已知关于x的方程x2﹣6x+k＝0的两根分别是x1，x2，且满足3，则k的值是　2　．
【考点】根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值．
【解答】解：∵x2﹣6x+k＝0的两个解分别为x1、x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝k，
3，
解得：k＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
15．（2014 广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为　　．
【考点】根与系数的关系；二次函数的最值．
【专题】压轴题；判别式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可得Δ＝b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．
【解答】解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根，
则Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣4（m2+3m﹣2）＝8﹣12m≥0，
∴m，
∵x1（x2+x1）+x22
＝（x2+x1）2﹣x1x2
＝（﹣2m）2﹣（m2+3m﹣2）
＝3m2﹣3m+2
＝3（m2﹣m）+2
＝3（m）2；
∴当m时，有最小值；
∵，
∴m成立；
∴最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．
总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0 方程没有实数根．
三．解答题（共5小题）
16．（2020 赫山区校级自主招生）等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．
（1）求出S关于t的函数关系式；
（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？
（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．
【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．
【专题】几何动点问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题可以看出P沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，SQC×PB，所以求出QC、PB与t的关系式就可得出S与t的关系，另外应注意P点的运动轨迹，它不仅在B点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．
【解答】解：（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ＝t，PB＝10﹣t，
∴St（10﹣t）（10t﹣t2），
当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ＝t，PB＝t﹣10，
∴St（t﹣10）（t2﹣10t）．
（2）∵S△ABC，
∴当t＜10秒时，S△PCQ，
整理得t2﹣10t+100＝0，此方程无解，
当t＞10秒时，S△PCQ，
整理得t2﹣10t﹣100＝0，解得t＝5±5（舍去负值），
∴当点P运动秒时，S△PCQ＝S△ABC．
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
证明：过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，
易证△APE≌△QCM，
∴AE＝PE＝CM＝QMt，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．
又∵EM＝AC＝10∴DE＝5
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
同理，当点P在点B右侧时，DE＝5
综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．
17．（2016 濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．
【专题】几何图形问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；
（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有ac+b＝0，即a+bc
∵2a+2bc＝6，即2（a+b）c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABCab＝1．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
18．（2017 泰兴市校级二模）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．
（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出　（300+100）　只粽子，利润为　（1﹣m）（300+100）　元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出（300+100）只粽子，利润为 （1﹣m）（300+100）元．
（2）令（1﹣m）（300+100）＝420．
化简得，100m2﹣70m+12＝0．
即，m2﹣0.7m+0.12＝0．
解得m＝0.4或m＝0.3．
可得，当m＝0.4时卖出的粽子更多．
答：当m为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
19．（2024秋 潮南区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】根的判别式；等边三角形的性质；一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．（2016 十堰）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0．
（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足3x1x2，求实数p的值．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）化成一般形式，求根的判别式，当Δ＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程．
【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，
x2﹣5x+6﹣p2＝0，
Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝1+4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，
∴1+4p2＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2，
∵3x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3x1x2，
∴52＝5（6﹣p2），
∴p＝±1．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则有，．
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