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2025年中考数学复习：圆
一．选择题（共10小题）
1．（2018 泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2017 宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
3．（2018 安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm
C．2cm或4cm D．2cm或4cm
4．（2017 阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2015 泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）
A．4 B．6 C．2 D．8
6．（2020 连云港模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2022秋 周村区期末）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
8．（2015 海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）
A．45° B．30° C．75° D．60°
9．（2015 贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2013 温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2，则S3﹣S4的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2020 黔西南州）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 　 　．
12．（2013 广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　 　．
13．（2015 河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为　 　．
14．（2014 陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 　 　．
15．（2016 宿迁）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2020 潮安区校级一模）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED＝60°，，求PA的长．
（3）在（2）的条件下，将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
17．（2014 天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
18．（2021 兴平市一模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝8，求CD的长．
19．（2020 南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
20．（2017 成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值；
（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．
2025年中考数学复习：圆
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A A B B D B D
一．选择题（共10小题）
1．（2018 泰安）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【考点】点与圆的位置关系；关于原点对称的点的坐标；勾股定理．
【专题】常规题型；与圆有关的位置关系．
【答案】C
【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．
2．（2017 宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BC＝CD C． D．∠BCA＝∠DCA
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【答案】B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴，∴BC＝CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
3．（2018 安顺）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B．4cm
C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AMAB8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC2（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
4．（2017 阿坝州）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】垂径定理；勾股定理．
【答案】A
【分析】根据垂径定理由OC⊥AB得到ADAB＝4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC﹣OD即可得到DC．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝BDAB8＝4，
在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，
∴OD3，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念解决问题，属于基础题．
5．（2015 泰安）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（　　）
A．4 B．6 C．2 D．8
【考点】垂径定理；圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【答案】A
【分析】首先连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得∠AOC的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半，由此得解．
【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD∠AOC，
∴∠COD＝∠B＝60°；
在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，
∴CDOC＝2，
∴AC＝2CD＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大．
6．（2020 连云港模拟）如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质；三角形三边关系；三角形中位线定理．
【专题】动点型；圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】B
【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．利用三角形的中位线定理可得EH＝1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆．
【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH．
∵CE＝EP，CH＝AH，
∴EHPA＝1，
∴点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，
∵C（0，4），A（3，0），
∴H（1.5，2），
∴OH2.5，
∴OE的最小值＝OH﹣EH＝2.5﹣1＝1.5，
故选：B．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
7．（2022秋 周村区期末）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是（　　）
A．3 B． C． D．4
【考点】切线的性质；三角形的面积．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．设EF＝x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积最大．
连接AC，
∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC，
∴AD＝AO＝2，
连接CD，设EF＝x，
∵CF＝1，
∴DE，
∵∠DEC＝∠AEO，∠EDC＝∠EOA＝90°，
∴△CDE∽△AOE，
∴，
即，
解得x，
S△ABE．
故选：B．
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
8．（2015 海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）
A．45° B．30° C．75° D．60°
【考点】圆周角定理；翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】D
【分析】作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD＝CD，则ODOA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD＝30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB＝120°，
然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
【解答】解：作半径OC⊥AB于D，连接OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD＝CD，
∴ODOCOA，
∴∠OAD＝30°，
又OA＝OB，
∴∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠APB∠AOB＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．
9．（2015 贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】点与圆的位置关系；轨迹；三角形中位线定理．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】取OP的中点N，连接MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MNOQ＝1，则点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1．
【解答】解：设OP与⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图，
∵OP＝4，ON＝2，
∴N是OP的中点，
∵M为PQ的中点，
∴MN为△POQ的中位线，
∴MNOQ2＝1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，
当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，
∴线段OM的最小值为1．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
10．（2013 温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2，则S3﹣S4的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝2，
∴S1+S3π×（AB2）π×4＝2π，S2+S4π×12π，
∵S1﹣S2，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）π+（S3﹣S4）＝2π
∴S3﹣S4，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．
二．填空题（共5小题）
11．（2020 黔西南州）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 　　．
【考点】扇形面积的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
【解答】解：连接CD，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵点D为AB的中点，
∴DCAB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，
∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，
在△DCH和△DBG中，
，
∴△DCH≌△DBG（ASA），
∴S四边形DGCH＝S△BDCS△ABCAB CD2×1．
∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC．
故答案为．
【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DCH≌△DBG，得到S四边形DGCH＝S△BDC是关键．
12．（2013 广州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为　（3，2）　．
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
【专题】压轴题；探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案．
【解答】解：过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，
∵A（6，0），PD⊥OA，
∴ODOA＝3，
在Rt△OPD中，
∵OP，OD＝3，
∴PD2，
∴P（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13．（2015 河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为　　．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OE、AE，根据点C为OA的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOEπ，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
（π1）
ππ
．
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S．
14．（2014 陕西）如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是 　4　．
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠AMB＝90°，则△OAB为等腰直角三角形，所以ABOA＝2，由于S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，而当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，所以四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EABAB CDAB CEAB（CD+CE）AB DE24＝4．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
∵∠AMB＝45°，
∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴ABOA＝2，
∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，
∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EABAB CDAB CEAB（CD+CE）AB DE24＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．
15．（2016 宿迁）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 　2　．
【考点】垂径定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD．
【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．
∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣130°＝30°，
在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2，
∴CEBC＝1，BECE，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EB，
∴BD＝2EB＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查垂径定理、三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据垂径定理添加辅助线，记住直角三角形30度角性质，属于基础题，中考常考题型．
三．解答题（共5小题）
16．（2020 潮安区校级一模）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED＝60°，，求PA的长．
（3）在（2）的条件下，将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【考点】切线的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理．
【专题】代数几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB＝90°，进而求得∠ADO+∠PDA＝90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA＝90°，即可求得∠P＝30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO＝90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB＝90°，设∠PBD＝x°，则可表示出∠DAF＝∠PAD＝90°+x°，∠DBF＝2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【解答】（1）解：直线PD为⊙O的切线
证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠ADO+∠BDO＝90°，
又∵DO＝BO，∴∠BDO＝∠PBD
∵∠PDA＝∠PBD，∴∠BDO＝∠PDA
∴∠ADO+∠PDA＝90°，即PD⊥OD
∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．
（2）解：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA＝90°
∵∠BED＝60°，∴∠P＝30°
∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO＝90°
在Rt△PDO中，∠P＝30°，
∴，解得OD＝1
∴
∴PA＝PO﹣AO＝2﹣1＝1
（3）（方法一）证明：如图2，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠PAD＝∠DAF
∵∠PDA＝∠PBD∠ADF＝∠ABF
∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF
∵AB是圆O的直径∴∠ADB＝90°
设∠PBD＝x°，则∠DAF＝∠PAD＝90°+x°，∠DBF＝2x°
∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF＝180°
即90°+x+2x＝180°，解得x＝30°
∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF＝30°
∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE＝BE，∠EBA＝90°
∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形．
∴BD＝DE＝BE
又∵∠FDB＝∠ADB﹣∠ADF＝90°﹣30°＝60°∠DBF＝2x°＝60°
∴△BDF是等边三角形．∴BD＝DF＝BF
∴DE＝BE＝DF＝BF，∴四边形DFBE为菱形
（方法二）证明：如图3，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠APD＝∠AFD，
∵∠PDA＝∠PBD，∠ADF＝∠ABF，∠PAD＝∠DAF，
∴∠ADF＝∠AFD＝∠BPD＝∠ABF
∴AD＝AF，BF∥PD
∴DF⊥PB∵BE为切线∴BE⊥PB
∴DF∥BE
∴四边形DFBE为平行四边形
∵PE、BE为切线∴BE＝DE
∴四边形DFBE为菱形
【点评】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
17．（2014 天津）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC8．
∵AD平分∠CAB，
∴，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
18．（2021 兴平市一模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若AB＝8，求CD的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】计算题；证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OEOBOC，即证明∠OCE＝30°即可．
（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，，
∴，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB＝8，
∴，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴，
∴．
【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
19．（2020 南京）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
20．（2017 成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是圆O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值；
（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径．
【考点】圆的综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图2，先证明∠E＝∠B＝∠C，则H是EC的中点，设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，由OD是△ABC的中位线，得：ODAC，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，证明DF＝OD＝r，则DE＝DF+EF＝r+1，BD＝CD＝DE＝r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则，求出r的值即可．
【解答】证明：（1）连接OD，如图1，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）如图2，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵DH⊥AC，且点A是EH中点，
设AE＝x，EC＝4x，则AC＝3x，
连接AD，则在⊙O中，∠ADB＝90°，AD⊥BD，
∵AB＝AC，
∴D是BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，ODAC3x，
∵OD∥AC，
∴∠E＝∠ODF，
在△AEF和△ODF中，
∵∠E＝∠ODF，∠OFD＝∠AFE，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∴，
∴；
（3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，
∵EF＝EA，
∴∠EFA＝∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD＝∠EAF，
则∠FOD＝∠EAF＝∠EFA＝∠OFD，
∴DF＝OD＝r，
∴DE＝DF+EF＝r+1，
∴BD＝CD＝DE＝r+1，
在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，
∴∠BFD＝∠EFA＝∠EAB＝∠BDE，
∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，
∴BF＝BD＝r+1，
∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（1+r）＝r﹣1，
在△BFD和△EFA中，
∵，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴，
解得：r1，r2（舍），
综上所述，⊙O的半径为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题．
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