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2025年中考数学复习:锐角三角函数
一．选择题（共10小题）
1．（2015 苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（　　）
A．4km B．（2）km C．2km D．（4）km
2．（2018 贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
3．（2015 崇左）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA B．cosA C．tanA D．tanB
4．（2017 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
5．（2017 深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（　　）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
6．（2020 河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024 秦都区校级一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　）
A． B． C．或 D．或
8．（2015 包头）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
9．（2016 金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．米2 B．米2
C．（4）米2 D．（4+4tanθ）米2
10．（2015 温州模拟）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2016 浙江）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为　 　．
12．（2015 桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是 　 　．
13．（2014 攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB）2＝0，那么∠C＝　 　．
14．（2015 齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD，则CD的长为　 　．
15．（2014 贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2015 义乌市）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．
备用数据：，．
17．（2020 余杭区一模）已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．
18．（2014 兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
19．（2019 杭州模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
20．（2018 抚顺）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
2025年中考数学复习:锐角三角函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C B D C D D B
一．选择题（共10小题）
1．（2015 苏州）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（　　）
A．4km B．（2）km C．2km D．（4）km
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD＝DE，设BD＝DE＝x，则由AD与CD的关系和勾股定理可求得x，从而可求得CD的长．
【解答】解：方法一：
在CD上取一点E，使BD＝DE，设BD＝DE＝x km．
∵BD＝DE，
∴∠EBD＝45°，
由题意可得∠CAD＝45°，
∴AD＝DC，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝EC，
∵AB＝AD﹣BD＝2km，
∴EC＝BE＝DC﹣DE＝2km，
∵BD＝DE＝x，
∴CE＝BEx，
∴2+x＝xx，
解得x．
∴DC＝（2）km．
方法二：
过点B作BE⊥AC，
由题意可得，∠EAB＝45°，AB＝2km，
故AE＝BEkm，
由题意可得∠CAD＝45°，
∴AD＝DC，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE＝∠BCD＝22.5°，
∴BE＝BDkm，
∴AD＝DC＝AB+BD＝（2）km．
故选：B．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE＝BD是解题关键．
2．（2018 贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（　　）
A． B．1 C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；解直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】B
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【解答】解：连接BC，
由网格可得AB＝BC，AC，即AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°，
则tan∠BAC＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
3．（2015 崇左）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（　　）
A．sinA B．cosA C．tanA D．tanB
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】A
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC5，
A、sinA，故本选项正确；
B、cosA，故本选项错误．
C、tanA，故本选项错误；
D、tanB，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
4．（2017 宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（　　）
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1
【考点】锐角三角函数的定义．
【答案】C
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【解答】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC，
∴sinα＝cosα，故A正确，
tanC2，故B正确，
tanα＝1，故D正确，
∵sinβ，cosβ，
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2017 深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（　　）m．
A．20 B．30 C．30 D．40
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】B
【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝20m，DE＝10m，
∴sin∠DCE，
∴∠DCE＝30°．
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC20m，
∴AB＝BC sin60°＝2030m．
故选：B．
方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30（m），
故选：B．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
6．（2020 河池）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴AB13，
∴sinB．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角关系是解题关键．
7．（2024 秦都区校级一模）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cosA的值等于（　　）
A． B． C．或 D．或
【考点】锐角三角函数的定义．
【专题】解直角三角形及其应用．
【答案】C
【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．
【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：
①当AB为斜边，∠C＝90°，
∵AC＝8，BC＝6，
∴AB10．
∴cosA；
②当AC为斜边，∠B＝90°，
由勾股定理得：AB2，
∴cosA；
综上所述，cosA的值等于或．
故选：C．
【点评】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．
8．（2015 包头）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是（　　）
A． B．3 C． D．2
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．
【答案】D
【分析】设BC＝x，则AB＝3x，由勾股定理求出AC，根据三角函数的概念求出tanB．
【解答】解：设BC＝x，则AB＝3x，
由勾股定理得，AC＝2x，
tanB2，
故选：D．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的概念和勾股定理的应用，应用勾股定理求出直角三角形的边长、正确理解锐角三角函数的概念是解题的关键．
9．（2016 金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）
A．米2 B．米2
C．（4）米2 D．（4+4tanθ）米2
【考点】解直角三角形的应用．
【答案】D
【分析】由三角函数表示出BC，得出AC+BC的长度，由矩形的面积即可得出结果．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝AC tanθ＝4tanθ（米），
∴AC+BC＝4+4tanθ（米），
∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）＝4+4tanθ（米2）；
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出BC是解决问题的关键．
10．（2015 温州模拟）正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理的逆定理．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】找出OB边上的格点C，连接AC，利用勾股定理求出AO、AC、CO的长度，再利用勾股定理逆定理证明△AOC是直角三角形，然后根据余弦计算即可得解．
【解答】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO2，
AC，
OC，
所以，AO2＝AC2+OC2＝20，
所以，△AOC是直角三角形，
cos∠AOB．
故选：B．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，勾股定理逆定理，找出格点C并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2016 浙江）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为　4　．
【考点】解直角三角形．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．
【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，
∴AB＝2，BO，
①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，
②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ＝90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，
当点P从B→C时，
∵∠ABO＝30°
∴∠BAO＝60°
∴∠OQD＝90°﹣60°＝30°
∴cos30°
∴AQ2
∴OQ＝2﹣1＝1
则点Q运动的路程为QO＝1，
③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′＝2，
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1，
∴点Q运动的总路程为：1+21＝4
故答案为：4
【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．
12．（2015 桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是 　　．
【考点】解直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°．
∴∠A＝∠BCD．
∴tan∠BCD＝tan∠A．
故答案为．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
13．（2014 攀枝花）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB）2＝0，那么∠C＝　75°　．
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据△ABC中，tanA＝1，cosB，求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，|tanA﹣1|+（cosB）2＝0
∴tanA＝1，cosB
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
14．（2015 齐齐哈尔）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD＝1，tan∠ABD，则CD的长为　2或2或　．
【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况：①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义即可得到结果；②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，在Rt△ABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果；③如图3，∠A为底角，由tan∠ABD，得到∠ABD＝60°于是得到∠A＝30°，求得∠C＝120°，在Rt△BCD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果．
【解答】解：分三种情况：
①如图1，∠A为钝角，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD，
∴AD，AB＝2，
∴AC＝2，
∴CD＝2，
②如图2，∠A为锐角，AB＝AC，
在Rt△ABD中，∵BD＝1，tan∠ABD，
∴AD，AB＝2，
∴AC＝2，
∴CD＝2，
③如图3，∠A为底角，
∵tan∠ABD，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠C＝120°，
∴∠BCD＝60°
∵BD＝1，
∴CD；
④∠C为锐角且为顶角时，
如图4，∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵tan∠ABD，
∴∠ABD＝60°，
∴∠A＝30°，
∵∠CBA＝∠A＝30°，∴∠C＝120°＞90°，
∴这种情况不存在；
综上所述；CD的长为：2或2或，
故答案为：2或2或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，难点在于要分情况讨论．
15．（2014 贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA＝　　．
【考点】锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据各边长得知△ABC为等腰三角形，作出BC、AB边的高AD及CE，根据面积相等求出CE，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．
【解答】解：如图，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB＝AC＝2，BC＝2，AD＝3，
可以得知△ABC是等腰三角形，
由面积相等可得，BC ADAB CE，
即CE，
sinA，
故答案为：．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
三．解答题（共5小题）
16．（2015 义乌市）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．
备用数据：，．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；
（2）设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BEPEx米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则xx＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（33）米．
在直角△BEQ中，QEBE（33）＝（3）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3（3）＝6+29（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
【点评】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．
17．（2020 余杭区一模）已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．
【考点】解直角三角形；正方形的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作辅助线，过点A作AE⊥PB于点E，在Rt△PAE中，已知∠APE，AP的值，根据三角函数可将AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在Rt△ABE中，根据勾股定理可将AB的值求出；
求PD的值有两种解法，解法一：可将△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，可得△PAD≌△P'AB，求PD长即为求P′B的长，在Rt△AP′P中，可将PP′的值求出，在Rt△PP′B中，根据勾股定理可将P′B的值求出；
解法二：过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，交PB于G，在Rt△AEG中，可求出AG，EG的长，进而可知PG的值，在Rt△PFG中，可求出PF，在Rt△PDF中，根据勾股定理可将PD的值求出；
（2）将△PAD绕点A顺时针旋转90°，得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，故当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值，根据P'B＝PP'+PB可求P'B的最大值，此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135°．
【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE＝45°，PA，
∴AE＝PE1，
∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．
∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°
∴PP′PA＝2，
∴PD＝P′B；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG，EG，PG＝PE﹣EG．
在Rt△PFG中，
可得PF＝PG cos∠FPG＝PG cos∠ABE，FG．
在Rt△PDF中，可得，
PD．
（2）如图所示，
将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′PA＝2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．
【点评】考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力，在解题过程中要求学生充分发挥想象空间，确定P′B取得最大值时点P′的位置．
18．（2014 兰州）如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】计算题；几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．
【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，
由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，
∴AB＝DH＝1.5（米），BD＝AH＝6（米），
在Rt△ACH中，tan∠CAH，
∴CH＝AH tan∠CAH，
∴CH＝AH tan∠CAH＝6tan30°＝6（米），
∵DH＝1.5米，∴CD＝（21.5）（米），
在Rt△CDE中，
∵∠CED＝60°，sin∠CED，
∴CE（4）米，
答：拉线CE的长为（4）米．
【点评】命题立意：此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
19．（2019 杭州模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．
（1）求线段CD的长；
（2）求cos∠ABE的值．
【考点】解直角三角形；勾股定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sinA，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，于是可计算出BE，然后在Rt△BDE中利用余弦的定义求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴sinA，
而BC＝8，
∴AB＝10，
∵D是AB中点，
∴CDAB＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC6，
∵D是AB中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，
∴S△BDCS△ABC，即CD BE AC BC，
∴BE，
在Rt△BDE中，cos∠DBE，
即cos∠ABE的值为．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．
20．（2018 抚顺）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．
（1）求灯杆CD的高度；
（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC＝CD即可；
（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在 Rt△ADH中求出AH即可解决问题；
【解答】解：（1）延长DC交AN于H．
∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠CBH＝30°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BC＝CD＝10（米）．
（2）在Rt△BCH中，CHBC＝5米，BH＝58.65（米），
∴DH＝15（米），
在Rt△ADH中，AH20（米），
∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．
答：AB的长度约为11.4米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
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