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2025年中考数学复习:不等式与不等式组
一．选择题（共10小题）
1．（2020春 商水县期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2015 绥化）关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1
3．（2018 海宁市二模）若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．
4．（2015 广元）当0＜x＜1时，x，，x2的大小顺序是（　　）
A．x＜x2 B．x＜x2 C．x2＜x D．x2＜x
5．（2009春 锦江区校级期末）已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x，则nx﹣m＜0的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
6．（2023 碑林区校级自主招生）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
7．（2021 九原区模拟）已知关于x的不等式1的解都是不等式0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
8．（2024 郧阳区校级开学）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　）
A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y
C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6
9．（2018 荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
10．（2021 铁岭模拟）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
二．填空题（共5小题）
11．（2015 黄冈中学自主招生）如果不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
12．（2011 眉山）关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是 　 　．
13．（2009 凉山州）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009＝　 　．
14．（2021秋 源汇区校级期末）关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是　 　．
15．（2023春 鱼台县期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2023 苍溪县一模）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
17．（2017 杜尔伯特县二模）如果关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
18．（2017 黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
19．（2017 呼和浩特）已知关于x的不等式x﹣1．
（1）当m＝1时，求该不等式的解集；
（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
20．（2024春 颍州区校级期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
2025年中考数学复习:不等式与不等式组
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D C C D A D
一．选择题（共10小题）
1．（2020春 商水县期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞8，
解不等式②得：x＜2﹣4a，
∴不等式组的解集是8＜x＜2﹣4a，
∵关于x的不等式组有四个整数解，是9、10、11、12，
∴12＜2﹣4a≤13，
解得：a，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a的不等式组是解此题的关键．
2．（2015 绥化）关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1
【考点】不等式的解集．
【答案】D
【分析】根据同大取大得出关于a的不等式，解答即可．
【解答】解：因为不等式组的解集为x＞1，
所以可得a≤1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式组的解集，关键是根据其解集得出关于a的不等式．
3．（2018 海宁市二模）若x＞y，则下列式子中错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解答】解：A、不等式的两边都减3，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式的两边都加3，不等号方向不变，故B正确；
C、不等式的两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故C错误；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向改变，故D正确；
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2015 广元）当0＜x＜1时，x，，x2的大小顺序是（　　）
A．x＜x2 B．x＜x2 C．x2＜x D．x2＜x
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【分析】采取取特殊值法，取x，求出x2和的值，再比较即可．
【解答】解：∵0＜x＜1，
∴取x，
∴2，x2，
∴x2＜x，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较的应用，能选择适当的方法比较整式的大小是解此题的关键．
5．（2009春 锦江区校级期末）已知m，n为常数，若mx+n＞0的解集为x，则nx﹣m＜0的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣3 D．x＜﹣3
【考点】解一元一次不等式．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】第一个不等式的方向改变，说明不等式两边除以的m小于0，由解集是x，可以继续判断n的符号；就可以得到第二个不等式的解集．
【解答】解：由mx+n＞0的解集为x，不等号方向改变，
∴m＜0且，
∴0，
∵m＜0．
∴n＞0；
由nx﹣m＜0得x3，
所以x＜﹣3；
故选：D．
【点评】当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向．同理，当不等号的方向改变后，也可以知道不等式两边除以的是一个负数．
6．（2023 碑林区校级自主招生）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≥2 C．m≤1 D．m＞1
【考点】不等式的解集．
【答案】C
【分析】根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＞2，
解不等式①得x＞2，
解不等式②得x＞m+1，
不等式组的解集是x＞2，
∴不等式，①解集是不等式组的解集，
∴m+1≤2，
m≤1，
故选：C．
【点评】本题考查了不等式组的解集，不等式组中的两个不等式的解集都是大于，不等式组的解集大于大的，不等式②的解集是不等式组的解集．
7．（2021 九原区模拟）已知关于x的不等式1的解都是不等式0的解，则a的范围是（　　）
A．a＝5 B．a≥5 C．a≤5 D．a＜5
【考点】不等式的解集．
【答案】C
【分析】先把a看作常数求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出不等式求解即可．
【解答】解：由1得，x，
由0得，x，
∵关于x的不等式1的解都是不等式0的解，
∴，
解得a≤5．
即a的取值范围是：a≤5．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的解集，解一元一次不等式，分别求出两个不等式的解集，再根据同大取大列出关于a的不等式是解题的关键．
8．（2024 郧阳区校级开学）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（　　）
A．x﹣6＞y﹣6 B．3x＞3y
C．﹣2x＜﹣2y D．﹣3x+6＞﹣3y+6
【考点】不等式的性质．
【专题】探究型．
【答案】D
【分析】分别根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵x＞y，∴x﹣6＞y﹣6，故本选项错误；
B、∵x＞y，∴3x＞3y，故本选项错误；
C、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴﹣2x＜﹣2y，故选项错误；
D、∵x＞y，∴﹣3x＜﹣3y，∴﹣3x+6＜﹣3y+6，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，解答此题的关键注意不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．
9．（2018 荆门）已知关于x的不等式3x﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（　　）
A．4≤m＜7 B．4＜m＜7 C．4≤m≤7 D．4＜m≤7
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】A
【分析】先解出不等式，然后根据最小整数解为2得出关于m的不等式组，解之即可求得m的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣m+1＞0，得：x，
∵不等式有最小整数解2，
∴12，
解得：4≤m＜7，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
10．（2021 铁岭模拟）若不等式组有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣2 C．a≤﹣2 D．a＞﹣2
【考点】不等式的解集．
【答案】D
【分析】先解不等式组，然后根据题意可得a≥﹣2，由此求得a的取值．
【解答】解：，
解不等式x+a≥0得，x≥﹣a，
由不等式4﹣2x＞x﹣2得，x＜2，
∵不等式组：不等式组有解，
∴a＞﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查了不等式组有解的条件，属于中档题．
二．填空题（共5小题）
11．（2015 黄冈中学自主招生）如果不等式组无解，则a的取值范围是　a≤1　．
【考点】解一元一次不等式组．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据不等式组解集的定义可知，不等式x﹣1＞0的解集与不等式x﹣a＜0的解集无公共部分，从而可得一个关于a的不等式，求出此不等式的解集，即可得出a的取值范围．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得x＞1，
解不等式x﹣a＜0，x＜a．
∵不等式组无解，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
【点评】本题中由两个一元一次不等式组成的不等式组无解，根据“大大小小无解集”，可知x﹣1＞0的解集不小于不等式x﹣a＜0的解集，尤其要注意不要漏掉a＝1．
12．（2011 眉山）关于x的不等式3x﹣a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是 　6≤a＜9　．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】解不等式得x，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断的取值范围，求出a的取值范围．
【解答】解：原不等式解得x，
∵解集中只有两个正整数解，
则这两个正整数解是1，2，
∴23，
解得6≤a＜9．
故答案为：6≤a＜9．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
13．（2009 凉山州）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009＝　﹣1　．
【考点】解一元一次不等式组；代数式求值．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集﹣1＜x＜1比较，可以求出a、b的值，然后相加求出2009次方，可得最终答案．
【解答】解：由不等式得x＞a+2，x，
∵﹣1＜x＜1，
∴a+2＝﹣1，1
∴a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2009＝（﹣1）2009＝﹣1．
【点评】本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得零一个未知数．
14．（2021秋 源汇区校级期末）关于x的不等式组的整数解共有3个，则a的取值范围是　﹣3≤a＜﹣2　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解：由不等式①得x＞a，
由不等式②得x＜1，
所以不等式组的解集是a＜x＜1，
∵关于x的不等式组的整数解共有3个，
∴3个整数解为0，﹣1，﹣2，
∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．
【点评】考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．（2023春 鱼台县期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是　﹣2≤a＜﹣1　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】方程与不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解每一个不等式，确定不等式的解集，再根据不等式组解集中，整数解的个数，确定a的取值范围．
【解答】解：，
由①得：x≤3，
由②得：x＞a，
∴不等式的解集为：a＜x≤3，
∵关于x的不等式组有5个整数解，
∴x＝﹣1，0，1，2，3，
∴a的取值范围是：﹣2≤a＜﹣1．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解个数，判断字母的取值范围．
三．解答题（共5小题）
16．（2023 苍溪县一模）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．
（1）求A、B型号衣服进价各是多少元？
（2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案．
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】应用题；方案型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）等量关系为：A种型号衣服9件×进价+B种型号衣服10件×进价＝1810，A种型号衣服12件×进价+B种型号衣服8件×进价＝1880；
（2）关键描述语是：获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件．关系式为：18×A型件数+30×B型件数≥699，A型号衣服件数≤28．
【解答】解：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元，
则：，
解之得．
答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元；
（2）设B型号衣服购进m件，则A型号衣服购进（2m+4）件，
可得：，
解之得，
∵m为正整数，
∴m＝10、11、12，2m+4＝24、26、28．
答：有三种进货方案：
（1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件；
（2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件；
（3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件．
【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及方程组．
17．（2017 杜尔伯特县二模）如果关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
【考点】不等式的解集．
【答案】见试题解答内容
【分析】解题时，要先根据已知条件找出m，并且求出m的取值范围，再解关于x的不等式mx＞n即可求解．
【解答】解：移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，
∵关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x，
∴2m﹣n＜0，且x，
∴，
整理得nm，
把nm代入2m﹣n＜0得，
2mm＜0，解得m＜0，
∵mx＞n，
∴mxm，
∴x．
∴关于x的不等式mx＞n的解集是x．
【点评】考查了不等式的解集，注意解含字母系数的一元一次不等式要注意不等式性质3的应用，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
18．（2017 黔东南州）解不等式组，并将它的解集在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．
【解答】解：由①得：﹣2x≥﹣2，即x≤1，
由②得：4x﹣2＜5x+5，即x＞﹣7，
所以﹣7＜x≤1．
在数轴上表示为：
【点评】本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．
19．（2017 呼和浩特）已知关于x的不等式x﹣1．
（1）当m＝1时，求该不等式的解集；
（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
【考点】不等式的解集．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把m＝1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，不等式为1，
去分母得：2﹣x＞x﹣2，
解得：x＜2；
（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，
移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），
当m≠﹣1时，不等式有解，
当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；
当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．
【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
20．（2024春 颍州区校级期末）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 4台 1200元
第二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解；
（3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案．
【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，
依题意得：，
解得：，
答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台．
依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500，
解得：a≤37，
∵a是整数，
∴a最大是37，
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元．
（3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得：
（200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850，
解得：x＞35，
∵x≤37，且x应为整数，
∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种：
当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；
当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台．
【点评】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
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