【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺:尺规作图(含解析)

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【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺:尺规作图(含解析)

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2025年中考数学复习:尺规作图
一.选择题(共10小题)
1.(2020 济南)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A、B为圆心,以适当的长为半径作弧,两弧分别交于E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一点.若BC=4,△ABC面积为10,则BM+MD长度的最小值为(  )
A. B.3 C.4 D.5
2.(2024春 平房区期末)如图,是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图,该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质,则判定图中两三角形全等的条件是(  )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
3.(2024秋 郯城县期中)如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是(  )
A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA
4.(2015 嘉兴)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(  )
A. B.
C. D.
5.(2018 河南)如图,已知 AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为(  )
A.(1,2) B.(,2) C.(3,2) D.(2,2)
6.(2023 浙江模拟)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=(  )
A.56° B.68° C.28° D.34°
7.(2018 双清区模拟)如图,点C在∠AOB的边OB上,用尺规作出了∠BCN=∠AOC,作图痕迹中,弧FG是(  )
A.以点C为圆心,OD为半径的弧
B.以点C为圆心,DM为半径的弧
C.以点E为圆心,OD为半径的弧
D.以点E为圆心,DM为半径的弧
8.(2014 安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(  )
A.(SAS) B.(SSS) C.(ASA) D.(AAS)
9.(2018 安顺)已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是
(  )
A.
B.
C.
D.
10.(2020 成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为(  )
A.2 B.3 C.4 D.6
二.填空题(共5小题)
11.(2020 辽宁)如图,在△ABC中,AB=5,AC=8,BC=9,以A为圆心,以适当的长为半径作弧,交AB于点M,交AC于点N.分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,点F在AC边上,AF=AB,连接DF,则△CDF的周长为    .
12.(2017 天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(1)AB的长等于    ;
(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)    .
13.(2021 成都)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则BC的长为    .
14.(2020 扬州)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB、BC于点D、E.
②分别以点D、E为圆心,大于DE的同样长为半径作弧,两弧交于点F.
③作射线BF交AC于点G.
如果AB=8,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为    .
15.(2023 成都)如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M′;
③以点M′为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N′;
④过点N′作射线DN′交BC于点E.
若△BDE与四边形ACED的面积比为4:21,则的值为    .
三.解答题(共5小题)
16.(2017 福建)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
17.(2020 无锡)如图,已知△ABC是锐角三角形(AC<AB).
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作直线l,使l上的各点到B、C两点的距离相等;设直线l与AB、BC分别交于点M、N,作一个圆,使得圆心O在线段MN上,且与边AB、BC相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若BM,BC=2,则⊙O的半径为   .
18.(2020 福建)如图,C为线段AB外一点.
(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,AB,CD的中点分别为M,N,求证:M,P,N三点在同一条直线上.
19.(2015 庆阳)如图,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.
(1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)求证:BD平分∠CBA.
20.(2019 广东)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若2,求的值.
2025年中考数学复习:尺规作图
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A A A D B D C
一.选择题(共10小题)
1.(2020 济南)如图,在△ABC中,AB=AC,分别以点A、B为圆心,以适当的长为半径作弧,两弧分别交于E,F,作直线EF,D为BC的中点,M为直线EF上任意一点.若BC=4,△ABC面积为10,则BM+MD长度的最小值为(  )
A. B.3 C.4 D.5
【考点】作图—基本作图;轴对称﹣最短路线问题;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.
【专题】作图题;三角形;几何直观.
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB,则MB=MA,所以BM+MD=MA+MD,连接MA、DA,如图,利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD,再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC,然后利用三角形面积公式计算出AD即可.
【解答】解:由作法得EF垂直平分AB,
∴MB=MA,
∴BM+MD=MA+MD,
连接MA、DA,如图,
∵MA+MD≥AD(当且仅当M点在AD上时取等号),
∴MA+MD的最小值为AD,
∵AB=AC,D点为BC的中点,
∴AD⊥BC,
∵S△ABC BC AD=10,
∴AD5,
∴BM+MD长度的最小值为5.
故选:D.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质.
2.(2024春 平房区期末)如图,是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图,该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质,则判定图中两三角形全等的条件是(  )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
【考点】作图—尺规作图的定义;全等三角形的判定.
【专题】作图题;几何直观.
【答案】D
【分析】如图,由作图可知,OA=OB=CE=EF,BA=CF.根据SSS证明△AOB≌△CEF.
【解答】解:如图,由作图可知,OA=OB=CE=EF,BA=CF.
在△AOB和△CEF中,

∴△AOB≌△CEF(SSS),
故选:D.
【点评】本题考查作图﹣尺规作图,全等三角形的判定等知识,解题的关键是读懂图象信息,灵活运用所学知识解决问题.
3.(2024秋 郯城县期中)如图所示,是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图,则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是(  )
A.SAS B.SSS C.AAS D.ASA
【考点】作图—基本作图;全等三角形的判定.
【答案】B
【分析】由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,根据SSS可得到三角形全等.
【解答】解:由作法易得OD=O′D′,OC=O′C′,CD=C′D′,依据SSS可判定△COD≌△C'O'D',得到∠A′O′B′=∠AOB.
故选:B.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定,关键是掌握全等三角形的判定定理.
4.(2015 嘉兴)数学活动课上,四位同学围绕作图问题:“如图,已知直线l和l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(  )
A. B.
C. D.
【考点】作图—基本作图.
【答案】A
【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l;
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧,交直线l,于两点,再以两点为圆心,大于它们的长为半径画弧,得出其交点,进而作出判断;
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断;
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断.
【解答】解:根据分析可知,
选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q;选项A不能够得到PQ⊥l于点Q.
故选:A.
【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线,熟练掌握基本作图方法是解题关键.
5.(2018 河南)如图,已知 AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为(  )
A.(1,2) B.(,2) C.(3,2) D.(2,2)
【考点】作图—基本作图;坐标与图形性质;平行四边形的性质.
【专题】多边形与平行四边形.
【答案】A
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO,进而得出HG1,可得G(1,2).
【解答】解:∵ AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),
∴AH=1,HO=2,
∴Rt△AOH中,AO,
由题可得,OF平分∠AOB,
∴∠AOG=∠EOG,
又∵AG∥OE,
∴∠AGO=∠EOG,
∴∠AGO=∠AOG,
∴AG=AO,
∴HG1,
∴G(1,2),
故选:A.
【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
6.(2023 浙江模拟)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α=(  )
A.56° B.68° C.28° D.34°
【考点】作图—基本作图.
【专题】作图题.
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC,故可得出∠DAC的度数,由角平分线的定义求出∠EAF的度数,再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数,根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数,进而可得出结论.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=68°.
∵由作法可知,AF是∠DAC的平分线,
∴∠EAF∠DAC=34°.
∵由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线,
∴∠AEF=90°,
∴∠AFE=90°﹣34°=56°,
∴∠α=56°.
故选:A.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键.
7.(2018 双清区模拟)如图,点C在∠AOB的边OB上,用尺规作出了∠BCN=∠AOC,作图痕迹中,弧FG是(  )
A.以点C为圆心,OD为半径的弧
B.以点C为圆心,DM为半径的弧
C.以点E为圆心,OD为半径的弧
D.以点E为圆心,DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图.
【答案】D
【分析】运用作一个角等于已知角可得答案.
【解答】解:根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心,DM为半径的弧.
故选:D.
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图,解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法.
8.(2014 安顺)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是(  )
A.(SAS) B.(SSS) C.(ASA) D.(AAS)
【考点】作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.
【专题】作图题;几何直观.
【答案】B
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析,作图时满足了三条边对应相等,于是我们可以判定是运用SSS,答案可得.
【解答】解:作图的步骤:
①以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA、OB于点D、C;
②任意作一点O′,作射线O′B′,以O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′B′于点C′;
③以C′为圆心,CD长为半径画弧,交前弧于点D′;
④过点D′作射线O′A′.
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角;
作图完毕.
在△OCD与△O′C′D′,

∴△OCD≌△O′C′D′(SSS),
∴∠A′O′B′=∠AOB,
显然运用的判定方法是SSS.
故选:B.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;由全等得到角相等是用的全等三角形的性质,熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键.
9.(2018 安顺)已知△ABC(AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使PA+PC=BC,则符合要求的作图痕迹是
(  )
A.
B.
C.
D.
【考点】作图—复杂作图.
【专题】作图题.
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可.
【解答】解:A、如图所示:此时BA=BP,则无法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此选项错误;
B、如图所示:此时PA=PC,则无法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此选项错误;
C、如图所示:此时CA=CP,则无法得出AP=BP,故不能得出PA+PC=BC,故此选项错误;
D、如图所示:此时BP=AP,故能得出PA+PC=BC,故此选项正确;
故选:D.
【点评】此题主要考查了复杂作图,根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键.
10.(2020 成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B和C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为(  )
A.2 B.3 C.4 D.6
【考点】作图—基本作图.
【专题】作图题;推理能力.
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论.
【解答】解:由作图知,MN是线段BC的垂直平分线,
∴BD=CD,
∵AC=6,AD=2,
∴BD=CD=4,
故选:C.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:作已知线段的垂直平分线;并掌握线段垂直平分线的性质是关键.
二.填空题(共5小题)
11.(2020 辽宁)如图,在△ABC中,AB=5,AC=8,BC=9,以A为圆心,以适当的长为半径作弧,交AB于点M,交AC于点N.分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC的内部相交于点G,作射线AG,交BC于点D,点F在AC边上,AF=AB,连接DF,则△CDF的周长为  12 .
【考点】作图—基本作图.
【专题】作图题;图形的全等;推理能力.
【答案】12.
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD=DF,即可得出答案.
【解答】解:∵AB=5,AC=8,AF=AB,
∴FC=AC﹣AF=8﹣5=3,
由作图方法可得:AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
在△ABD和△AFD中

∴△ABD≌△AFD(SAS),
∴BD=DF,
∴△DFC的周长为:DF+FC+DC=BD+DC+FC=BC+FC=9+3=12.
故答案为:12.
【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质,正确理解基本作图方法是解题关键.
12.(2017 天津)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上.
(1)AB的长等于   ;
(2)在△ABC的内部有一点P,满足S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)  如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N.连接DN,EM,DN与EM相交于点P,点P即为所求. .
【考点】作图—应用与设计作图;勾股定理.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)利用勾股定理即可解决问题;(2)如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N,G.连接DN,EM,DG,DN与EM相交于点P,点P即为所求.
【解答】解:(1)AB.
故答案为.
(2)如图AC与网格相交,得到点D、E,取格点F,连接FB并且延长,与网格相交,得到M,N,G.连接DN,EM,DG,DN与EM相交于点P,点P即为所求.
理由:平行四边形ABME的面积:平行四边形CDNB的面积:平行四边形DEMG的面积=1:2:3,
△PAB的面积平行四边形ABME的面积,△PBC的面积平行四边形CDNB的面积,△PAC的面积=△PNG的面积△DGN的面积平行四边形DEMG的面积,
∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3.
补充方法:如图点P即为所求(可以证明△PAB的面积:△PBC的面积:△PAC的面积=1:2:3)
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识,解题的关键是利用数形结合的思想解决问题,求出△PAB,△PBC,△PAC的面积,属于中考常考题型.
13.(2021 成都)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,按以下步骤作图:①以点A为圆心,以任意长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠BAC内交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则BC的长为  1 .
【考点】作图—基本作图;特殊角的三角函数值;角平分线的性质;等腰直角三角形.
【专题】三角形;几何直观;推理能力.
【答案】1.
【分析】由题目作图知,AD是∠CAB的平分线,过点D作DH⊥AB,则CD=DH=1,进而求解.
【解答】解:过点D作DH⊥AB,则DH=1,
由题目作图知,AD是∠CAB的平分线,
则CD=DH=1,
∵△ABC为等腰直角三角形,故∠B=45°,
则△DHB为等腰直角三角形,故BDHD,
则BC=CD+BD=1,
故答案为:1.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等,有一定的综合性,难度适中.
14.(2020 扬州)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB、BC于点D、E.
②分别以点D、E为圆心,大于DE的同样长为半径作弧,两弧交于点F.
③作射线BF交AC于点G.
如果AB=8,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为  27 .
【考点】作图—基本作图;角平分线的性质.
【专题】作图题;几何直观;运算能力;推理能力.
【答案】27.
【分析】过点G作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线,根据角平分线的性质可得GM=GN,再根据△ABG的面积为18,求出GM的长,进而可得△CBG的面积.
【解答】解:如图,过点G作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,
根据作图过程可知:
BG是∠ABC的平分线,
∴GM=GN,
∵△ABG的面积为18,
∴AB×GM=18,
∴4GM=18,
∴GM,
∴△CBG的面积为:BC×GN1227.
故答案为:27.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质,解决本题的关键是掌握角平分线的性质.
15.(2023 成都)如图,在△ABC中,D是边AB上一点,按以下步骤作图:
①以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点M,N;
②以点D为圆心,以AM长为半径作弧,交DB于点M′;
③以点M′为圆心,以MN长为半径作弧,在∠BAC内部交前面的弧于点N′;
④过点N′作射线DN′交BC于点E.
若△BDE与四边形ACED的面积比为4:21,则的值为   .
【考点】作图—基本作图;相似三角形的判定与性质.
【专题】线段、角、相交线与平行线;图形的相似;尺规作图;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】由作图知∠A=∠BDE,由平行线的性质得到DE∥AC,证得△BDE∽△BAC,根据相似三角形的性质即可求出答案.
【解答】解:由作图知,∠A=∠BDE,
∴DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC,
△BAC的面积:△BDE的面积=(△BDE的面积+四边形ACED的面积):△BDE的面积=1+四边形ACED的面积:△BDE的面积=1,
∴△BDE的面积:△BAC的面积=()2,
∴,
∴.
故答案为:.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,相似三角形的性质和判定,平行线的判定和性质等知识,解题的关键是读懂图象信息,灵活运用所学知识解决问题.
三.解答题(共5小题)
16.(2017 福建)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
【考点】作图—基本作图.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可.先根据垂直的定义得出∠ADB=90°,故∠BPD+∠PBD=90°.
再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°,根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD,再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP,据此可得出结论.
【解答】解:BQ就是所求的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.
证明:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BPD+∠PBD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠AQP+∠ABQ=90°.
∵∠ABQ=∠PBD,
∴∠BPD=∠AQP.
∵∠BPD=∠APQ,
∴∠APQ=∠AQP,
∴AP=AQ.
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图,熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键.
17.(2020 无锡)如图,已知△ABC是锐角三角形(AC<AB).
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图:作直线l,使l上的各点到B、C两点的距离相等;设直线l与AB、BC分别交于点M、N,作一个圆,使得圆心O在线段MN上,且与边AB、BC相切;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若BM,BC=2,则⊙O的半径为  .
【考点】作图—复杂作图;角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;切线的判定与性质.
【专题】作图题;应用意识.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)作线段BC的垂直平分线交AB于M,交BC于N,作∠ABC的角平分线交MN于点O,以O为圆心,ON为半径作⊙O即可.
(2)过点O作OE⊥AB于E.设OE=ON=r,利用面积法构建方程求解即可.
【解答】解:(1)如图直线l,⊙O即为所求.
(2)过点O作OE⊥AB于E.设OE=ON=r,
∵BM,BC=2,MN垂直平分线段BC,
∴BN=CN=1,
∴MN,
∵s△BNM=S△BNO+S△BOM,
∴11×rr,
解得,r.
故答案为:.
【点评】本题考查作图﹣复杂作图,角平分线的性质,线段的垂直平分线的性质,切线的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.(2020 福建)如图,C为线段AB外一点.
(1)求作四边形ABCD,使得CD∥AB,且CD=2AB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的四边形ABCD中,AC,BD相交于点P,AB,CD的中点分别为M,N,求证:M,P,N三点在同一条直线上.
【考点】作图—复杂作图;相似三角形的判定与性质.
【专题】作图题;证明题;转化思想;图形的相似;尺规作图;几何直观;推理能力.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)利用尺规作图作CD∥AB,且CD=2AB,即可作出四边形ABCD;
(2)在(1)的四边形ABCD中,根据相似三角形的判定与性质即可证明M,P,N三点在同一条直线上.
【解答】解:(1)如图,四边形ABCD即为所求;
(2)证明:如图,
∵CD∥AB,
∴∠ABP=∠CDP,∠BAP=∠DCP,
∴△ABP∽△CDP,
∴,
∵AB,CD的中点分别为M,N,
∴AB=2AM,CD=2CN,
∴,
连接MP,NP,
∵∠BAP=∠DCP,
∴△APM∽△CPN,
∴∠APM=∠CPN,
∵点P在AC上,
∴∠APM+∠CPM=180°,
∴∠CPN+∠CPM=180°,
∴M,P,N三点在同一条直线上.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.
19.(2015 庆阳)如图,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.
(1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);
(2)求证:BD平分∠CBA.
【考点】作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
【专题】作图题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)分别以A、B两点为圆心,以大于AB长度为半径画弧,在AB两边分别相交于两点,然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线;
(2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可.
【解答】解:(1)如图1所示:
(2)连接BD,如图2所示:
∵∠C=60°,∠A=40°,
∴∠CBA=80°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴∠A=∠DBA=40°,
∴∠DBA∠CBA,
∴BD平分∠CBA.
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图,解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
20.(2019 广东)如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点.
(1)请用尺规作图法,在△ABC内,求作∠ADE,使∠ADE=∠B,DE交AC于E;(不要求写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若2,求的值.
【考点】作图—基本作图;相似三角形的判定与性质.
【专题】作图题.
【答案】见试题解答内容
【分析】(1)利用基本作图(作一个角等于已知角)作出∠ADE=∠B;
(2)先利用作法得到∠ADE=∠B,则可判断DE∥BC,然后根据平行线分线段成比例定理求解.
【解答】解:(1)如图,∠ADE为所作;
(2)∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC,
∴2.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).
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