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2025年中考数学复习:尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．（2020 济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
2．（2024春 平房区期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
3．（2024秋 郯城县期中）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
4．（2015 嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2018 河南）如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（，2） C．（3，2） D．（2，2）
6．（2023 浙江模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
7．（2018 双清区模拟）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
8．（2014 安顺）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
9．（2018 安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2020 成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共5小题）
11．（2020 辽宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 　 　．
12．（2017 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于 　 　；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
13．（2021 成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 　 　．
14．（2020 扬州）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 　 　．
15．（2023 成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2017 福建）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
17．（2020 无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM，BC＝2，则⊙O的半径为　 　．
18．（2020 福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
19．（2015 庆阳）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：BD平分∠CBA．
20．（2019 广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若2，求的值．
2025年中考数学复习:尺规作图
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A A A D B D C
一．选择题（共10小题）
1．（2020 济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）
A． B．3 C．4 D．5
【考点】作图—基本作图；轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【解答】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC BC AD＝10，
∴AD5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
2．（2024春 平房区期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【考点】作图—尺规作图的定义；全等三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．
【解答】解：如图，由作图可知，OA＝OB＝CE＝EF，BA＝CF．
在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
3．（2024秋 郯城县期中）如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．
【答案】B
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，得到∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
4．（2015 嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—基本作图．
【答案】A
【分析】A、根据作法无法判定PQ⊥l；
B、以P为圆心大于P到直线l的距离为半径画弧，交直线l，于两点，再以两点为圆心，大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断；
C、根据直径所对的圆周角等于90°作出判断；
D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断．
【解答】解：根据分析可知，
选项B、C、D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q．
故选：A．
【点评】此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
5．（2018 河南）如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（，2） C．（3，2） D．（2，2）
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形．
【答案】A
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO，进而得出HG1，可得G（1，2）．
【解答】解：∵ AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH＝1，HO＝2，
∴Rt△AOH中，AO，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO，
∴HG1，
∴G（1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
6．（2023 浙江模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　）
A．56° B．68° C．28° D．34°
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题．
【答案】A
【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF∠DAC＝34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，
∴∠α＝56°．
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
7．（2018 双清区模拟）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN＝∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（　　）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【答案】D
【分析】运用作一个角等于已知角可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法．
8．（2014 安顺）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．（SAS） B．（SSS） C．（ASA） D．（AAS）
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【解答】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′B′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′A′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△OCD与△O′C′D′，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
9．（2018 安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【答案】D
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
10．（2020 成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；并掌握线段垂直平分线的性质是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2020 辽宁）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，BC＝9，以A为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB于点M，交AC于点N．分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点G，作射线AG，交BC于点D，点F在AC边上，AF＝AB，连接DF，则△CDF的周长为 　12　．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；图形的全等；推理能力．
【答案】12．
【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出BD＝DF，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝5，AC＝8，AF＝AB，
∴FC＝AC﹣AF＝8﹣5＝3，
由作图方法可得：AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AFD中
，
∴△ABD≌△AFD（SAS），
∴BD＝DF，
∴△DFC的周长为：DF+FC+DC＝BD+DC+FC＝BC+FC＝9+3＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．
12．（2017 天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AB的长等于 　　；
（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N．连接DN，EM，DN与EM相交于点P，点P即为所求．　．
【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）AB．
故答案为．
（2）如图AC与网格相交，得到点D、E，取格点F，连接FB并且延长，与网格相交，得到M，N，G．连接DN，EM，DG，DN与EM相交于点P，点P即为所求．
理由：平行四边形ABME的面积：平行四边形CDNB的面积：平行四边形DEMG的面积＝1：2：3，
△PAB的面积平行四边形ABME的面积，△PBC的面积平行四边形CDNB的面积，△PAC的面积＝△PNG的面积△DGN的面积平行四边形DEMG的面积，
∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝1：2：3．
补充方法：如图点P即为所求（可以证明△PAB的面积：△PBC的面积：△PAC的面积＝1：2：3）
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题，求出△PAB，△PBC，△PAC的面积，属于中考常考题型．
13．（2021 成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为 　1　．
【考点】作图—基本作图；特殊角的三角函数值；角平分线的性质；等腰直角三角形．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】1．
【分析】由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB，则CD＝DH＝1，进而求解．
【解答】解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝1，
∵△ABC为等腰直角三角形，故∠B＝45°，
则△DHB为等腰直角三角形，故BDHD，
则BC＝CD+BD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，涉及到几何作图、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
14．（2020 扬州）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、BC于点D、E．
②分别以点D、E为圆心，大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．
③作射线BF交AC于点G．
如果AB＝8，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为 　27　．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】27．
【分析】过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，根据作图过程可得AG是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质可得GM＝GN，再根据△ABG的面积为18，求出GM的长，进而可得△CBG的面积．
【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥BC于点N，
根据作图过程可知：
BG是∠ABC的平分线，
∴GM＝GN，
∵△ABG的面积为18，
∴AB×GM＝18，
∴4GM＝18，
∴GM，
∴△CBG的面积为：BC×GN1227．
故答案为：27．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质．
15．（2023 成都）如图，在△ABC中，D是边AB上一点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；
②以点D为圆心，以AM长为半径作弧，交DB于点M′；
③以点M′为圆心，以MN长为半径作弧，在∠BAC内部交前面的弧于点N′；
④过点N′作射线DN′交BC于点E．
若△BDE与四边形ACED的面积比为4：21，则的值为 　　．
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的相似；尺规作图；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由作图知∠A＝∠BDE，由平行线的性质得到DE∥AC，证得△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：由作图知，∠A＝∠BDE，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
△BAC的面积：△BDE的面积＝（△BDE的面积+四边形ACED的面积）：△BDE的面积＝1+四边形ACED的面积：△BDE的面积＝1，
∴△BDE的面积：△BAC的面积＝（）2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．（2017 福建）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—基本作图．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB＝90°，故∠BPD+∠PBD＝90°．
再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ＝90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ＝∠PBD，再由∠BPD＝∠APQ可知∠APQ＝∠AQP，据此可得出结论．
【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BPD+∠PBD＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠AQP+∠ABQ＝90°．
∵∠ABQ＝∠PBD，
∴∠BPD＝∠AQP．
∵∠BPD＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴AP＝AQ．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
17．（2020 无锡）如图，已知△ABC是锐角三角形（AC＜AB）．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作直线l，使l上的各点到B、C两点的距离相等；设直线l与AB、BC分别交于点M、N，作一个圆，使得圆心O在线段MN上，且与边AB、BC相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若BM，BC＝2，则⊙O的半径为　　．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；切线的判定与性质．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于M，交BC于N，作∠ABC的角平分线交MN于点O，以O为圆心，ON为半径作⊙O即可．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，利用面积法构建方程求解即可．
【解答】解：（1）如图直线l，⊙O即为所求．
（2）过点O作OE⊥AB于E．设OE＝ON＝r，
∵BM，BC＝2，MN垂直平分线段BC，
∴BN＝CN＝1，
∴MN，
∵s△BNM＝S△BNO+S△BOM，
∴11×rr，
解得，r．
故答案为：．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．（2020 福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
【考点】作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质．
【专题】作图题；证明题；转化思想；图形的相似；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用尺规作图作CD∥AB，且CD＝2AB，即可作出四边形ABCD；
（2）在（1）的四边形ABCD中，根据相似三角形的判定与性质即可证明M，P，N三点在同一条直线上．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）证明：如图，
∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠CDP，∠BAP＝∠DCP，
∴△ABP∽△CDP，
∴，
∵AB，CD的中点分别为M，N，
∴AB＝2AM，CD＝2CN，
∴，
连接MP，NP，
∵∠BAP＝∠DCP，
∴△APM∽△CPN，
∴∠APM＝∠CPN，
∵点P在AC上，
∴∠APM+∠CPM＝180°，
∴∠CPN+∠CPM＝180°，
∴M，P，N三点在同一条直线上．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
19．（2015 庆阳）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°．
（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；
（2）求证：BD平分∠CBA．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可．
【解答】解：（1）如图1所示：
（2）连接BD，如图2所示：
∵∠C＝60°，∠A＝40°，
∴∠CBA＝80°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠A＝∠DBA＝40°，
∴∠DBA∠CBA，
∴BD平分∠CBA．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图，解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
20．（2019 广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若2，求的值．
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．
【专题】作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；
（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴2．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
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