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2025年中考数学复习:二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2016 贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
2．（2023秋 鼓楼区校级期末）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023春 柯桥区期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简|2k﹣5|的结果是（　　）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
4．（2011 金牛区校级自主招生）已知a﹣b＝2，b﹣c＝2，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．10 B．12 C．10 D．15
5．（2016 自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2021春 宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
7．（2017 济宁）若1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x B．x C．x D．x
8．（2004 十堰）若4与可以合并，则m的值不可以是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023 安徽模拟）设a为的小数部分，b为的小数部分．则的值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．1
10．（2016 重庆模拟）如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是（　　）
A．x≥1，y≥0 B．（x﹣1） y≥0 C．0 D．x≥1，y＞0
二．填空题（共5小题）
11．（2024春 莆田期末）化简：　 　．
12．（1997 内江）已知1＜x＜2，，则的值是　 　．
13．（2021春 永嘉县校级期末）把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是　 　．
14．（2022春 芙蓉区校级期末）计算：的结果为 　 　．
15．（2013 庄浪县校级模拟）观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2015 陕西）计算：（）+|﹣2|+（）﹣3．
17．（2024秋 新安县期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　（　 　+　 　）2；
（3）化简
18．（2021秋 沿河县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得m+n．
化简：．
∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．
∴．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
19．（2023秋 天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|．
20．（2013 黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　（ 　 　+　 　）2；
（3）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值？
2025年中考数学复习:二次根式
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D D B B C D B C
一．选择题（共10小题）
1．（2016 贵港）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】C
【分析】被开方数是非负数，且分母不为零，由此得到：x﹣1＞0，据此求得x的取值范围．
【解答】解：依题意得：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．注意：本题中的分母不能等于零．
2．（2023秋 鼓楼区校级期末）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．
【解答】解：∵有意义，
∴﹣a3b≥0，
∴a3b≤0，
又∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
∴a．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
3．（2023春 柯桥区期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简|2k﹣5|的结果是（　　）
A．﹣k﹣1 B．k+1 C．3k﹣11 D．11﹣3k
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；绝对值．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】求出k的范围，化简二次根式得出|k﹣6|﹣|2k﹣5|，根据绝对值性质得出6﹣k﹣（2k﹣5），求出即可．
【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴k，
∴3＜k＜4，
|2k﹣5|，
|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值，二次根式的性质，三角形的三边关系定理的应用，解此题的关键是去绝对值符号，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
4．（2011 金牛区校级自主招生）已知a﹣b＝2，b﹣c＝2，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　）
A．10 B．12 C．10 D．15
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】由a﹣b＝2，b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后整体代入．
【解答】解：∵a﹣b＝2，b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴原式15．
故选：D．
【点评】此题的关键是把原式转化为的形式，再整体代入．
5．（2016 自贡）下列根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【答案】B
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：因为2，因此不是最简二次根式．
故选：B．
【点评】规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
6．（2021春 宁津县期末）在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系；绝对值．
【答案】B
【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，a；a＜0时，a；a＝0时，0．
绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．
7．（2017 济宁）若1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x B．x C．x D．x
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的值．
【解答】解：由题意可知：
解得：x
故选：C．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
8．（2004 十堰）若4与可以合并，则m的值不可以是（　　）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的定义，把每个选项代入两个根式化简，检验化简后被开方数是否相同．
【解答】解：A、把代入根式分别化简：44，，故选项不符合题意；
B、把代入根式化简：44；，故选项不合题意；
C、把代入根式化简：441；，故选项不合题意；
D、把代入根式化简：44，，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．需要注意化简前，被开方数不同也可能是同类二次根式．
9．（2023 安徽模拟）设a为的小数部分，b为的小数部分．则的值为（　　）
A．1 B．1 C．1 D．1
【考点】二次根式的化简求值．
【答案】B
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后代入、化简、运算、求值，即可解决问题．
【解答】解：∵
，
∴a的小数部分1；
∵
，
∴b的小数部分2，
∴
．
故选：B．
【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．
10．（2016 重庆模拟）如果是二次根式，那么x，y应满足的条件是（　　）
A．x≥1，y≥0 B．（x﹣1） y≥0 C．0 D．x≥1，y＞0
【考点】二次根式有意义的条件．
【答案】C
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式即可．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件可知，
x，y满足0时，是二次根式．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024春 莆田期末）化简：　π﹣3　．
【考点】二次根式的性质与化简；二次根式的定义．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】二次根式的性质：a（a≥0），根据性质可以对上式化简．
【解答】解：π﹣3．
故答案为：π﹣3．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
12．（1997 内江）已知1＜x＜2，，则的值是　﹣2　．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于（）2＝x﹣1﹣2x3，又∵，由此可以得到（）2＝4，又由于1＜x＜2，由此可以得到的值＜0，最后即可得到的值．
【解答】解：∵（）2＝x﹣1﹣2
＝x3，
又∵，
∴（）2＝4，
又∵1＜x＜2，
∴0，
∴2．
故填：﹣2．
【点评】此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题．
13．（2021春 永嘉县校级期末）把 a中根号外面的因式移到根号内的结果是　　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题；实数．
【答案】见试题解答内容
【分析】判断得到a为负数，利用二次根式性质化简即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式性质是解本题的关键．
14．（2022春 芙蓉区校级期末）计算：的结果为 　1　．
【考点】二次根式的乘除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3，
，
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能力．
15．（2013 庄浪县校级模拟）观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．　2009　．
【考点】分母有理化．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．
【解答】解：原式＝（1）（1）
＝（1）（1）＝2009．
【点评】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发现式子的规律是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2015 陕西）计算：（）+|﹣2|+（）﹣3．
【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式28，然后化简后合并即可．
【解答】解：原式28
＝﹣328
＝8．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数整数幂、
17．（2024秋 新安县期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2（1）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+bm2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　21　+　4　（　1　+　2　）2；
（3）化简
【考点】二次根式的化简求值；完全平方式．
【专题】压轴题；阅读型；配方法；二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）将（m+n）2用完全平方公式展开，与原等式左边比较，即可得答案；
（2）设a+b，则m2+2mn+5n2，比较完全平方式右边的值与a+b，可将a和b用m和n表示出来，再给m和n取特殊值，即可得答案；
（3）利用题中描述的方法，将要化简的双重根号，先化为一重根号，再利用分母有理化化简，再合并同类二次根式和同类项即可．
【解答】解：（1）∵，m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b
则m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
（3）
【点评】本题考查了利用分母有理化和利用完全平方公式对二次根式化简，以及对这种方法的拓展应用，本题具有一定的计算难度．
18．（2021秋 沿河县期末）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得m+n．
化简：．
∵5+23+2+2（）2+（）2+2（）2．
∴．
请你仿照上例将下列各式化简：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用完全平方公式把4+2化为（1）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣2化为（）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）∵4+21+3+2122（1）2，
∴1；
（2）．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
19．（2023秋 天元区期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用数轴判断得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，进而化简即可．
【解答】解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，
则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b
＝a﹣b．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分的正负是解题关键．
20．（2013 黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3（1）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+bm2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　4　+　2　（ 　1　+　1　）2；
（3）若a+4，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4＝2mn，首先确定m、n的值，通过分析m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，然后即可确定好a的值．
【解答】解：（1）∵a+b，
∴a+bm2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）令m＝1，n＝1，
∴a＝m2+3n2＝4，b＝2mn＝2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由（1）可知：
a＝m2+3n2，b＝2mn
∵b＝4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，
∴a＝22+3×12＝7，或a＝12+3×22＝13．
∴a＝7或13．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．
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