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2025年中考数学复习:二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2015 包头）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．（2015 沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2016 达州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④a
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
4．（2015 孝感）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②0；③ac﹣b+1＝0；④OA OB．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（2015 泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2018 兰州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
7．（2015 咸宁）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2016 贺州）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024秋 天河区校级月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2013 呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2014 湖北）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　 　米．
12．（2013 贵阳）已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是　 　．
13．（2015 淮安）二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为　 　．
14．（2018 绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　 　m．
15．（2015 黄冈中学自主招生）二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2015 青岛）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
17．（2015 天津）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
18．（2022 红安县校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
19．（2024秋 昂仁县期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
20．（2015 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
2025年中考数学复习:二次函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B C B B B D D
一．选择题（共10小题）
1．（2015 包头）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＜0；③﹣1≤a；④4ac﹣b2＞8a；其中正确的结论是（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】①先由抛物线的对称性求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），从而可知当x＞3时，y＜0；
②由抛物线开口向下可知a＜0，然后根据x1，可知：2a+b＝0，从而可知3a+b＝0+a＝a＜0；
③设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，令x＝0得：y＝﹣3a．由抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，可知2≤﹣3a≤3．④由4ac﹣b2＞8a得c﹣2＜0与题意不符．
【解答】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴令一个交点的坐标为（3，0），当x＞3时，y＜0，故①正确；
②抛物线开口向下，故a＜0，
∵x1，
∴2a+b＝0．
∴3a+b＝0+a＝a＜0，故②正确；
③设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），则y＝ax2﹣2ax﹣3a，
令x＝0得：y＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤﹣3a≤3．
解得：﹣1≤a，故③正确；
④．∵抛物线y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间，
∴2≤c≤3，
由4ac﹣b2＞8a得：4ac﹣8a＞b2，
∵a＜0，
∴c﹣2
∴c﹣2＜0
∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a、b、c之间的关系是解题的关键．
2．（2015 沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象．
【专题】压轴题．
【答案】D
【分析】根据二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
【解答】解：二次函数y＝a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．
3．（2016 达州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：
①abc＞0
②4a+2b+c＞0
③4ac﹣b2＜8a
④a
⑤b＞c．
其中含所有正确结论的选项是（　　）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】D
【分析】根据对称轴为直线x＝1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2a+b×（﹣1）+c＝0，
∴a﹣b+c＝0，即a＝b﹣c，c＝b﹣a，
∵对称轴为直线x＝1
∴1，即b＝﹣2a，
∴c＝b﹣a＝（﹣2a）﹣a＝﹣3a，
∴4ac﹣b2＝4 a （﹣3a）﹣（﹣2a）2＝﹣16a2＜0
∵8a＞0
∴4ac﹣b2＜8a
故③正确
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴a；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确；
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
4．（2015 孝感）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC．则下列结论：
①abc＜0；②0；③ac﹣b+1＝0；④OA OB．
其中正确结论的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题；数形结合．
【答案】B
【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA＝OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA＝﹣x1，OB＝x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1 x2，于是OA OB，则可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
而a＜0，
∴0，所以②错误；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③正确；
设A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴x1和x2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，
∴x1 x2，
∴OA OB，所以④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．（2015 泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
【解答】解：A、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x位于y轴的右侧，故符合题意，
D、对于直线y＝bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
6．（2018 兰州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确结论的有（　　）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】函数及其图象．
【答案】B
【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵对称轴在y轴的右侧，
∴ab＜0，
由图象可知：c＞0，
∴abc＜0，
故①不正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴b﹣a＞c，
故②正确；
③由对称知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，
故③正确；
④∵x1，
∴b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
3a＜﹣c，
故④不正确；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），
故⑤正确．
故②③⑤正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．
7．（2015 咸宁）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
【答案】B
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；
②根据x＝2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．
8．（2016 贺州）抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y在同一平面直角坐标系内的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
【专题】函数的综合应用．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与系数的关系确定a＞0，b＜0，c＜0，根据一次函数和反比例函数的性质确定答案．
【解答】解：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y的图象在第二、四象限，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的图象与系数的关系，掌握二次函数、一次函数和反比例函数的性质是解题的关键．
9．（2024秋 天河区校级月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【答案】D
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
10．（2013 呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】代数综合题．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y＝ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为直线x，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，二次函数的对称轴为直线x0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y＝mx+m的图象可知m＞0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y＝mx+m的图象可知m＜0，即函数y＝﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为直线x0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二．填空题（共5小题）
11．（2014 湖北）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为　　米．
【考点】二次函数的应用．
【专题】函数思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x，
所以水面宽度增加到米，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
12．（2013 贵阳）已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是　m≥﹣2　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线xm，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案为：m≥﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
13．（2015 淮安）二次函数y＝x2﹣2x+3图象的顶点坐标为　（1，2）　．
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】将二次函数解析式配方，写成顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了抛物线的性质．抛物线的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k）．
14．（2018 绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加　（44）　m．
【考点】二次函数的应用．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA＝OBAB＝2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过将A点坐标（﹣2，0）代入抛物线解析式可得出：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：
﹣2＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（44）米，
故答案为：44．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
15．（2015 黄冈中学自主招生）二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为　5或　．
【考点】二次函数的最值．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】分三种情况考虑：对称轴在x＝﹣1的左边，对称轴在﹣1到2的之间，对称轴在x＝2的右边，当对称轴在x＝﹣1的左边和对称轴在x＝2的右边时，可根据二次函数的增减性来判断函数取最小值时x的值，然后把此时的x的值与y＝﹣4代入二次函数解析式即可求出a的值；当对称轴在﹣1到2的之间时，顶点为最低点，令顶点的纵坐标等于﹣4，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到满足题意a的值．
【解答】解：分三种情况：
当﹣a＜﹣1，即a＞1时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为增函数，
所以当x＝﹣1时，y有最小值为﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
当﹣a＞2，即a＜﹣2时，二次函数y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上为减函数，
所以当x＝2时，y有最小值为﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a2，舍去；
当﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1时，此时抛物线的顶点为最低点，
所以顶点的纵坐标为4，解得：a或a1，舍去．
综上，a的值为5或．
故答案为：5或
【点评】此题考查二次函数的增减性和二次函数最值的求法，是一道综合题．求二次函数最值时应注意顶点能否取到．
三．解答题（共5小题）
16．（2015 青岛）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用yx2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x＝6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入yx2+bx+c得，
解得．
所以抛物线解析式为yx2+2x+4，
则y（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8，则（x﹣6）2+10＝8，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
则x1﹣x2＝4，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
17．（2015 天津）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．
（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
【考点】二次函数的最值；二次函数的性质．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）把b＝2，c＝﹣3代入函数解析式，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）根据当c＝5时，若在函数值y＝l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
（Ⅲ）当c＝b2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；
（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，
由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，
∴Δ＝b2﹣16＝0，
解得，b1＝4，b2＝﹣4，
∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；
（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，
图象开口向上，对称轴为直线x，
①当b，即b＞0时，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝b时，y＝b2+b b+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝21，解得，b1（舍去），b2；
②当bb+3时，即﹣2≤b≤0，
∴x，yb2为最小值，
∴b2＝21，解得，b1＝﹣2（舍去），b2＝2（舍去）；
③当b+3，即b＜﹣2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；
∴b时，解析式为：y＝x2x+7
b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2x+7或y＝x2﹣4x+16．
【点评】本题考查了二次函数的最值：当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y；当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y；确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
18．（2022 红安县校级模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）令y＝0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO＝∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；
（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵直线l：yx+m经过点B（0，﹣1），
∴m＝﹣1，
∴直线l的解析式为yx﹣1，
∵直线l：yx﹣1经过点C（4，n），
∴n4﹣1＝2，
∵抛物线yx2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为yx2x﹣1；
（2）令y＝0，则x﹣1＝0，
解得x，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA，
在Rt△OAB中，OB＝1，
∴AB，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO＝∠DEF，
在矩形DFEG中，EF＝DE cos∠DEF＝DE DE，
DF＝DE sin∠DEF＝DE DE，
∴p＝2（DF+EF）＝2（）DEDE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t，t2t﹣1），E（t，t﹣1），
∴DE＝（t﹣1）﹣（t2t﹣1）t2+2t，
∴p（t2+2t）t2t，
∵p（t﹣2）2，且0，
∴当t＝2时，p有最大值；
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
∴x2x﹣1（x+1）2（x+1）﹣1，
解得x，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x2x﹣1（x+1）2（x+1）﹣1，
解得x，
综上所述，点A1的横坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．
19．（2024秋 昂仁县期中）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为（20+2x）件，因此每天盈利为（40﹣x）（20+2x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得2x2﹣60x+400＝0
解得x1＝20，x2＝10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天盈利y元，则
y＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x2﹣30x﹣400）＝﹣2[（x﹣15）2﹣625]
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多，最大利润为1250元．
【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都盈利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
20．（2015 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标，然后利用待定系数法法即可求得直线l的函数表达式．
（2）设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE＝k1x+b1，利用待定系数法确定yAE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），从而确定S△ACE（m+1）[a（m﹣3）﹣a]（m）2a，根据最值确定a的值即可；
（3）分以AD为边或对角线2种情况讨论即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
如图1，作DF⊥x轴于F，
∴DF∥OC，
∴，
∵CD＝4AC，
∴4，
∵OA＝1，
∴OF＝4，
∴D点的横坐标为4，
代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，
∴D（4，5a），
把A、D坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．
（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N
设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE＝k1x+b1，
则，
解得：，
∴yAE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））
∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m
∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM[a（m﹣3）﹣a][a（m﹣3）﹣a]m（m+1）[a（m﹣3）﹣a]（m）2a，
∴有最大值a，
∴a；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴D（4，5a），
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设P1（1，m），
①若AD是矩形的一条边，
由AQ∥DP知|xD﹣xP|＝|xA﹣xQ|，可知Q点横坐标为﹣4或6（6不符合题意，舍去），
将x＝﹣4代入抛物线方程得Q（﹣4，21a），
m＝yD+yQ＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，
∴AD2+PD2＝AP2，
∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，
PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，
∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，
即a2，∵a＜0，∴a，
∴P1（1，）．
②若AD是矩形的一条对角线，
则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），
m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），
∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，
∴AP2+PD2＝AD2，
∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，
PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，
AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，
∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，
解得a2，∵a＜0，∴a，
∴P2（1，﹣4）．
综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键.
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