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2025年中考数学复习:二元一次方程组
一．选择题（共10小题）
1．（2015 巴中）若单项式2x2ya+b与xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣1
2．（2015 长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（　　）
A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元
3．（2014 襄阳）若方程mx+ny＝6的两个解是，，则m，n的值为（　　）
A．4，2 B．2，4 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4
4．（2016秋 沈河区期末）若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．a＜﹣2
5．（2015 绵阳）若|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2015＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．52015 D．﹣52015
6．（2015 泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2023秋 七里河区校级期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023春 高青县期末）如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
9．（2014 锦州）哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024春 江油市期末）方程2x0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题（共5小题）
11．（2021春 桥西区校级期末）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则　 　．
12．（2018 临安区）已知：222，332，442，552，…，若10102符合前面式子的规律，则a+b＝　 　．
13．（2014 涪城区校级自主招生）小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行　 　分钟遇到来接他的爸爸．
14．（2023秋 烈山区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　 　．
15．（2024春 垦利区期末）若方程x﹣y＝﹣1的一个解与方程组的解相同，则k的值为　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2013 凉山州）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 　 　cm，放入一个大球水面升高 　 　cm；
（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
17．（2023秋 庄浪县期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　 　元．
18．（2014春 休宁县期末）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
19．（2014 灌南县模拟）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过180千瓦时的部分
a
超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分
b
超过350千瓦时的部分
a+0.3
（1）若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值；
（2）实行“阶梯电价”收费以后，该户居民用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
20．（2015 佛山）某景点的门票价格如表：
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
每人门票价/元 12 10 8
某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．
（1）两个班各有多少名学生？
（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
2025年中考数学复习:二元一次方程组
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C A A A A D D
一．选择题（共10小题）
1．（2015 巴中）若单项式2x2ya+b与xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝3，b＝1 B．a＝﹣3，b＝1 C．a＝3，b＝﹣1 D．a＝﹣3，b＝﹣1
【考点】解二元一次方程组；同类项．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
【解答】解：∵单项式2x2ya+b与xa﹣by4是同类项，
∴，
解得：a＝3，b＝1，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2015 长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（　　）
A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元
【考点】二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】设该商品的进价为x元，标价为y元，根据题意可以得到x，y的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润．
【解答】解：设该商品的进价为x元，标价为y元，由题意得
，
解得：x＝2500，y＝3750．
则3750×0.9﹣2500＝875（元）．
故选：B．
【点评】此题考查二元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键．
3．（2014 襄阳）若方程mx+ny＝6的两个解是，，则m，n的值为（　　）
A．4，2 B．2，4 C．﹣4，﹣2 D．﹣2，﹣4
【考点】二元一次方程的解．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】将x与y的两对值代入方程计算即可求出m与n的值．
【解答】解：将，分别代入mx+ny＝6中，
得：，
①+②得：3m＝12，即m＝4，
将m＝4代入①得：n＝2，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4．（2016秋 沈河区期末）若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是（　　）
A．a＞2 B．a＝2 C．a＝﹣2 D．a＜﹣2
【考点】二元一次方程的定义．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，得
|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：
（1）方程中只含有2个未知数；
（2）含未知数项的最高次数为一次；
（3）方程是整式方程．
5．（2015 绵阳）若|2a﹣b+1|＝0，则（b﹣a）2015＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．52015 D．﹣52015
【考点】解二元一次方程组；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出原式的值．
【解答】解：∵|2a﹣b+1|＝0，
∴，
解得：，
则（b﹣a）2015＝（﹣3+2）2015＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2015 泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【答案】A
【分析】设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，根据两种水果共花去28元，乙种水果比甲种水果少买了2千克，据此列方程组．
【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，
由题意得．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
7．（2023秋 七里河区校级期末）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可．
【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
8．（2023春 高青县期末）如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（　　）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】A
【分析】把代入2x+y＝16先求出■，再代入x+y求★．
【解答】解：把代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4，
再把代入x+y＝★得★＝6+4＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意，代入法求解．
9．（2014 锦州）哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】年龄问题．
【答案】D
【分析】由弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“哥哥与弟弟的年龄和是18岁，”，哥哥与弟弟的年龄差不变得出18﹣y＝y﹣x，列出方程组即可．
【解答】解：设现在弟弟的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，由题意得
．
故选：D．
【点评】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．
10．（2024春 江油市期末）方程2x0，3x+y＝0，2x+xy＝1，3x+y﹣2x＝0，x2﹣x+1＝0中，二元一次方程的个数是（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】二元一次方程的定义．
【专题】模型思想．
【答案】D
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
【解答】解：2x0是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y＝0是二元一次方程；
2x+xy＝1不是二元一次方程；
3x+y﹣2x＝0是二元一次方程；
x2﹣x+1＝0不是二元一次方程．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2021春 桥西区校级期末）已知x+2y﹣3z＝0，2x+3y+5z＝0，则　　．
【考点】解三元一次方程组．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x、y写成用z表示的代数式进行计算．
【解答】解：由题意得：，
①×2﹣②得y＝11z，
代入①得x＝﹣19z，
原式．
故本题答案为：．
【点评】此题需将三元一次方程组中的一个未知数当做已知数来处理，转化为二元一次方程组来解．
12．（2018 临安区）已知：222，332，442，552，…，若10102符合前面式子的规律，则a+b＝　109　．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】压轴题；规律型．
【答案】见试题解答内容
【分析】要求a+b的值，首先应该认真仔细地观察题目给出的4个等式，找到它们的规律，即中，b＝n+1，a＝（n+1）2﹣1．
【解答】解：根据题中材料可知，
∵10102，
∴b＝10，a＝99，
a+b＝109．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出式子的规律．
13．（2014 涪城区校级自主招生）小林每天下午5点放学时，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家，有一天学校提前一个小时放学，小林自己步行回家，在途中遇到开车来接他的爸爸，结果比平时早20分钟到家，则小林步行　50　分钟遇到来接他的爸爸．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设小林自己走的路程为S，根据：结果比平时早20分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少2S，得到车速，小林走这段路程比车走这段路段多用时60﹣20＝40分钟（早出发1小时，提前到达20分钟），依此列出式子求解．
【解答】解：设小林自己走的路程为S．
根据题意得：4040＝50（分钟）．
故填50．
【点评】此题涉及实际问题，考查学生的分析能力，难度偏难．注意：结果比平时早20分钟到家．
14．（2023秋 烈山区期末）在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为　79　．
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
∴S阴影＝17×（9+3×2）﹣8×11×2＝79．
故答案为：79．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
15．（2024春 垦利区期末）若方程x﹣y＝﹣1的一个解与方程组的解相同，则k的值为　﹣4　．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值．
【解答】解：联立得：，
解得：，
代入方程得：2﹣6＝k，
解得：k＝﹣4，
故答案为：﹣4
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2013 凉山州）根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 　2　cm，放入一个大球水面升高 　3　cm；
（2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可；
（2）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【解答】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x＝32﹣26，解得x＝2；
设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y＝32﹣26，解得：y＝3．
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm；
（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，得
解得：，
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个．
【点评】本题考查了列二元一次方程组和列一元一次方程解实际问题的运用，二元一次方程组及一元一次方程的解法的运用，解答时理解图画含义是解答本题的关键．
17．（2023秋 庄浪县期末）某中学为了表彰在书法比赛中成绩突出的学生，购买了钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元，其中每支毛笔比钢笔贵4元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①学校仍需要购买上面的两种笔共105支（每种笔的单价不变）．陈老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领2447元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么账肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的账算错了．
②陈老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为小于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为 　2或6　元．
【考点】二元一次方程的应用；一元一次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．根据买钢笔30支，毛笔45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设单价为21元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支，签字笔的单价为a元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+4）元．由题意得：
30x+45（x+4）＝1755，
解得：x＝21，
∴毛笔的单价为：x+4＝25．
答：钢笔的单价为21元，毛笔的单价为25元．
（2）①设单价为21元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（105﹣y）支．根据题意，得
21y+25（105﹣y）＝2447．
解之得：y＝44.5 （不符合题意）．
∴陈老师肯定搞错了．
②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元，则根据题意，得
21z+25（105﹣z）＝2447﹣a．
∴4z＝178+a，
∵a、z都是整数，
∴178+a应被4整除，
∴a为偶数，又因为a为小于10元的整数，
∴a可能为2、4、6、8．
当a＝2时，4z＝180，z＝45，符合题意；
当a＝4时，4z＝182，z＝45.5，不符合题意；
当a＝6时，4z＝184，z＝46，符合题意；
当a＝8时，4z＝186，z＝46.5，不符合题意．
所以签字笔的单价可能2元或6元．
故答案为：2元或6元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用及二元一次不定方程的运用，在解答时根据题意等量关系建立方程是关键．
18．（2014春 休宁县期末）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解．
【考点】二元一次方程组的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】把所求方程组转化为关于a、b的形式，然后根据已知方程组的解列出关于x、y的方程组的解，再求解即可．
【解答】解：方程组变形为，
∵关于x，y的方程组的解是，
∴所求的方程组中，
整理得，，
解得，
即所求方程组的解是．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，把所求方程整理成关于a、b、m、n的形式，并列出关于x、y的方程组是解题的关键，整体思想的利用是解题的关键．
19．（2014 灌南县模拟）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：
一户居民一个月用电量的范围 电费价格（单位：元/千瓦时）
不超过180千瓦时的部分
a
超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分
b
超过350千瓦时的部分
a+0.3
（1）若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时，应缴电费186元，9月份用电400千瓦时，应缴电费263.5元．求a，b的值；
（2）实行“阶梯电价”收费以后，该户居民用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？
【考点】二元一次方程组的应用．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意条件及表中的数据运用总价等于单价×数量建立方程组求出其解就可以了；
（2）设该户居民用电x千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元．根据条件建立不等式，求出其解就可以了．
【解答】解：（1）根据题意得：
，
解得：．
答：a＝0.6，b＝0.65．
（2）设该户居民用电x千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元，由题意，得
∵第一部分时，0.6＜0.62，符合要求，第三部分平均电价＞0.62，不符合要求，
∴只有第二部分符合题意，
∴180×0.6+0.65（x﹣180）≤0.62x，
解得：x≤300．
答：该户居民用电量不超过300千瓦时，月平均电价每千瓦时不超过0.62元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答时先建立方程组求出a、b的值是建立不等式求用电量的关键．
20．（2015 佛山）某景点的门票价格如表：
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
每人门票价/元 12 10 8
某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．
（1）两个班各有多少名学生？
（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
【考点】二元一次方程组的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，根据如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元建立方程组求出其解即可；
（2）用一张票节省的费用×该班人数即可求解．
【解答】解：（1）若不超过100人时，设人数为w人，则有10w＝816，则w不是整数，不合题意，故两个班学生人数之和超过100人；设七年级（1）班有x人、七年级（2）班有y人，由题意，得
，
解得：．
答：七年级（1）班有49人、七年级（2）班有53人；
（2）七年级（1）班节省的费用为：（12﹣8）×49＝196（元），
七年级（2）班节省的费用为：（10﹣8）×53＝106（元）．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时建立方程组求出各班的人数是关键．
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